CHAPITRE I
1. Les conclusions de la première Partie montrent clairement que le problème intérieur n'est résoluble que pour certaines formes de la surface des données. Imaginons, par exemple, que cette surface soit une sphère.
Menons par le centre un cône à 45*^. Dans la région intérieure au cône, inférieure ou supérieure, l'on se trouve dans les conditions exigées par le problème intérieur: il n'en va plus de même pour les points intérieurs à la sphère et extérieurs au cône.
Nous devons donc étudier Vintégralion de A(w) = F(^, y, 5), lorsque la surface qui porte les données est analogue^ au point de vue de /'Analysis situs, à un cylindre à axe vertical et est découpée extérieurement ^ar le»cône à 45° et à axe vertical.
D'où cette désignation de « Problème extérieur ».
1^8 R. d\dhémar.
2. Principe de la méthode d'intégration. — L'idée de M. Vollerra ne'consiste plus, comme pour le problème intérieur, à trouver une sorte de fonction de Green et à faire une inversion d'intégrale, mais bien à revenir à une sorte de problème de Dirichlet dans le plan horizontal T passant par le point A(iro, y^^ Zo).
Pour cela, l'on appliquera la formule (G) au volume limité par S et par le cône A (extérieurement) avec une fonction auxiliaire V discontinue au passage par le plan T, c'est-à-dire l'on appliquera deux fois la formule (G) : i** au volume W'' limité par le plan T" de cote (;;o-l- e); 2^ au volume W limité par le plan T' de cote {z^ — £).
Comme nous aurons à faire plusieurs dérivations d'intégrales (dérivations que M. Volterra semble faire intuitivement)^ je vais donner, de suite, la théorie rigoureuse de ces dérivations.
3. Adaptations diverses de la formule d'Ostrogradski. — I. Nous aurons d'abord à dériver, par rapport à z^^ une intégrale de surface étendue à l'aire du plan T limitée par S
1= I I (fdxdy = I I (^rdrdoL.
(alwT.S)
Soient donc C la courbe d'intersection de S avec le plan T : 5 = ^o) et C| la courbe d'intersection de S avec le plan : z = z^-h ^z^.
Soit C la projection de C,, nous allons prendre un contour C" voisin de C et à une distance BD infiniment petite par rapport à DD' et
nous aurons à établir une correspondance sur un rayon vecteur fixe, entre les points de BD' et les points de BD •
Pour cela, nous donnerons à rla variation p (V^ Partie, Chap. I, n® 2)
p ^ Oy en B,
p = DD'=Azo.cot(N,z),
en D ;
ce qui donne, pour x :
pour y :
>; = pcosa; y) = psina;
(■freC)
(■ireC-C)
Fig, 12.
La seconde intégrale se réduit à
J' 9.A5o.cot(N, z).(dycosa — rfa;sina)
= àzo f (f.coi(NjZ)dl^
/ étant Télémenl de longueur de C.
Finalement,
■Ire C
4. II. Nous avons ensuite à dériver, par rapport à Zp, une intégrale de sur/ace étendue, par exemple, à la surface BG découpée extérieurement dans S par le cône A.
Journ. de McUh. (5* iiérie), lome X. -^ Fasc. II, 1904. 'l\
R. D ADHEMAR.
Soil AA' = Azo. L'aire découpée BC devient B'C.
Par une surface de revolution a^y située à une distance d'ordre supérieur à i en Az^ des deux nappes coniques, nous isolons une surface Py ^^^'^ ^^^s les points se correspondent à eux-mêmes. Puis, il faut faire correspondre les points de B'^ à ceux de B^ et ceux de Cy à ceux de Gy.
Soient mn = dlj mp = dXj {mnpq)^=^dldk et crk = K.dz.
Pour (m'n'p'g')^ dl est le même et X éprouve une variation p :
p = o en p, p = KAZo enB;
Fig. i3.
ce qui donne, pour la deuxième intégrale et pour la partie supérieure BB,,
(BB.) «^p ^^ «^(BB.)
Or
d'où
Pour la courbe GC, , l'on trouve, de la même manière,
SUR tJME CLA.SSB d'kQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. iSl
en tout :
"l J J àz, J sm^îi.z) J, sin(N,5) J'
(aire BB, ce,}
et la partie entre crochets donne donc
àzo'
5. III. Pour la même translation de CAB en C A'B' nous aurons à dériver une intégrale de volume.
Toujours de même l'on trouve
^^=^o[ff?dxdy-ff<fdxdy^fffll.dx].
( rarf. AB ) ( surf. AC ) ( vol. ABC )
Cela fait, nous pouvons intégrer, d'après M. Volterra.
