W) "^(W'} ^^IS

Cei/e dernière intégrale est donc connue en fonction de z^ et des données.

Nous avons donc

//(s' + îlogr)^rf<o = J,-

Il suffit de dériver par rapport k z = Zq pour arriver au but. D'après le n® 5, Ton a

SUR UNE CLASSE D^ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES» l83

u et ses dérivées étant donnés sur S, l'intégrale de surface est connue :

Or

//(?-^^logr)^rfo> = J,

T-: -^ XT =àu= -5-r -h 1< ,

d'où

Mais V étant la normale extérieure à la courbe plane C, l'on a (problème de Dirichlet)

Ceci donne :

J3 = yj[^^' -^ l ^inzu(x,,y,, zo) -^ (w ^ logr ~ logr ^) dî\ ,

d'où

^^"(^o.ro.^o) = J3 - yjr^«f/ + ^jr(«^logr- logr^)^

J4 est connu, donc m aussi, si l'on donne, sur S, les valeurs de u et de toutes ses dérivées.

V intégration est achetée, en principe, mais nous devons tout

exprimer plus.explicitement pour montrer que ^ intervient seul.