Calculons donc
OSo
Or
Jt
Jytf» Jyif, •/§- J^
R. D ADHEMAR.
Pour alléger l'exposition, supposons m == o sur S, ce que l'on peut toujours obtenir par une différence d'intégrales.
1° Expression de -r^^ l • — D'après le n*^ 5, c'est
Yf (T) W (T) ''
2^ Expression de -r- l . — C'est le même résultat, car il y a double changement de signe pour l'intégrale de surface.
3<> Expression de -^ f f^ ^''^^^' ~ D'après le n^4 c'est
J J dz^ dN X dN sin(N, z)
4** Expression de-^ j . — De même on obtient
J J dzo dN l dN sin(N, z)
Finalement
dJt r 17 (^V, r du d\' , àzo ^,w.^v^ dzo ^.+8')^^ ^^0
-h^ffq -h ^log7-jFrfû) alors, posant W = W + W" et S = S' + S",
SUR UNE CLASSE D^ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. l8^
Le crochet se réduit, dans l'intégrale curviligne, à ( * )
du enfin, donc
(') Soit M un point de la courbe C, Mv la normale à.C, M/i la normale à la surface S. Soit MP =i, on a
a=MQ, P = QÏÏ, Y = RP
(a, p, Y ^^^^ l^s cosinus de Mn).
Fig. i3 bis.
Soient a, b les cosinus de Mv, on a
a = MQ^, . h = ^^ (MR^=i),
d'où
sin(/i, js) ~" sin(N, ;5) ~sin(N, ^)'
Or cos(N, ^) = — Yi d'où
I \du ,-, .du'\ du ,du du
. .TVT — c JÂT— cos(N, 5)-T- =a^ h6-r-=:-i--
sin(N, z)L^N ^ ^ âz ] dx dy d^
i86 • R. d\dhémak.
c'est-à-dire
C'est la formule donnée par M. Volterra (p. igS), sauf que, si nous n'avions pas choisi la donnée u nulle sur S, nous aurions, en plus, un terme
que Von ne peut mettre sous une forme simple parce qu'il se présenterait des intégrales curvilignes dont l'élément différentiel est infini.
8. Conclusion. — Cette intégration exige donc la donnée de u et •^ et V unicité de la section extérieure de S par A.
Il est encore des surfaces priçilégiées.
Mais l'intégrale prend-elle la valeur donnée à la frontière? Ceci entraîne des conditions de possibilité et M. Volterra a montré la présence d^ autres conditions encore.
L'intégration précédente appelle donc quelques remarques fondamentales.
Jusqu'ici elle n'est ({Mt formelle :
Si l'intégrale existe^ elle est représentée par la formule obtenue, mais la formule peut ne pas représenter une véritable intégrale du problème extérieur.
