CHAPITRE IL
CONDITIONS d'existence DE L*INTÉGRALB DANS LE PROBLÈME EXTÉRIEUR. «TUDE d'un cas PARTICULIER.
Soit donc A(m) = F(a;,^, z) avec des données extérieures. En prenant des différences d'intégrales, nous pouvons supposer
u = o sur S, F = o.
1. La condition de M. Volterra. — Pour obtenir l'intégrale, M. Volterra emploie une fonction V qui se réduit à
K4-K'logr dans le plan horizontal T.
Dans l'aire découpée par ce plan dans le volume W il a alors à appliquer la formule ordinaire de Green.
De même, soit une fonction V, nulle sur le cône, se réduisant à
K = const, dans le plan T.
L'application à la même aire de la formule ordinaire de Green donnera zéro d'un côté et une fonction des données de l'autre, d'où une condition imposée aux données.
La fonction V, intégrale de A(V) = o, sera, dans W",
V''=arcsini^^~^, dans W
Vf • z Zri TT
= arc sm 4- - ,
et alors la même marche exactement que celle suivie pour intégrer donne
(Mémoire de M. Volterra, p. i88).
Journ. de Math. (5* série) , tome X. — Fasc. II, 1904. ^5
1 88 R. d'adhémar.
Cette condition de M. Volterra, quHl ne commente aucunement^ se simplifie si nous prenons F ^ o et devient
Je l'appellerai une condition mobile puisquelle doit être réalisée pour toute aire (S) découpée par un cône A ayant son sommet en un point quelconque du volume W, en particulier pour toute aire (S©) relative à un cône A ayant son sommet en un point X de S.
2. La condition de V auteur. — Au moment où j'abordai cette étude, je proposai (*) une autre manière de trouver une condition mobile. Toute intégrale de A(i^) = o, soit '^a;, y, z, a?©, yoj -^o) nulle sur le cône A et exempte de singularités à l'extérieur de ce cône donne, par l'application delà formule fondamentale de l'Introduction, une condition.
Mais j'ai été amené à reconnaître que la fonction ^j/, que j'ai donnée, avait une dérivée discontinue, en sorte qu'elle n'est pas utilisable, et, à défaut de recherches plus profondes sur une équation de Laplace, je me borne à signaler cette idée : on pressent que ^ peut exister et qu'une condition peut donc exister (-).
Mais il y a encore autre chose, dont M. Volterra ne s'est point préoccupé.
Il faut que V intégrale prenne la valeur donnée à la frontière, et ceci me donne, dans les conditions où je me suis placé, et où il faut se placer pour pouvoir faire une discussion, (S©) étant l'aire relative à un point frontière dU,
(*) Comptes rendus, ii février 1901.
(*) Uexîstence effective de ^ parait résulter d'une remarque énoncée dans la Thèse de M. Le Roux.
c'est encore une condition mobile^ mais relative seulement aux points JU, et non, comme la précédente, aux points A et X.
Avant d'aborder la comparaison des deux conditions, je vais mon-
Fig. i4.
trer, sur un exemple simple, qu'elles peuvent parfois être compatibles.
5. Sur un cas particulier du problème extérieur. — Supposons les données portées par un cylindre à axe vertical et invariables pour une même génératrice. Soit a l'angle polaire qui caractérise une
génératrice, l'on donne :
u = o sur le cylindre,
^ =:f(^QL)=z dérivée normale extérieure.
Il est clair alors qu'il suffit d'examiner les conditions C^ et Ca dans une section droite.
La condition (G^) donne
r étant le rayon vecteur, par rapport à A, d'un point de la circonférence de la section droite, l'on voit que, pour une même généra-
trice.
"-^ =z u varie de — i à -f- i .
IQO R. D ADHEMAR.
Done (C,) devient
fill /(a)rf« = o,
ceci quel que soil le point A dans Taire de la section droite. Donc ici \sl condition mobile (C,) se résout en la seule condition fonctionnelle qui précède (*).
Fig. i5.
Envisageons la condition (C^) et supposons d'abord x dans le prolongement de wo;' {fig^ i5), alors on a
7' = jioM = 2R cos -,
et M doit parcourir successivement les demi-circonférences abx^ ah'x. D'ailleurs
l^g "" ^"""""^ = log2R 4- log cos- 4- log(i — lï^).
Donc 02(^1.) donne :
y'y*|^log2R + log cos ^ -+- log(i - u^) ^-==Rf{(i)dcL = o.
(*) Et qui a une signification physique : u étant mu potentiel des vitesses, elle exprimerait que Influx total k travers la circonférence est nuL
Il y a trois termes; le premier et le troisième nous donnent l'équation (^).
[L'on a d'ailleurs, en faisant
du t •
/ \0g(l — U^) -r=JL= = 2 I l0g(C0SP)6fp ~ 2-log- (EuLEr),
et
mais cette valeur numérique est sans importance.] Le second terme, au contraire, donne du nouveau, savoir :
Jr^ at r^ a
f /(a)logcos-rfa -H / /(2ir — a)logcos-â?a = o 0 •^o
ou
' [/(a) -f-/(2ir — a)] logcos-rfa = o. 0 ^
Supposons maintenant que le point x ait une position quelconque x\ caractérisée par l'angle h {/ig- 99), la condition devient, quel que soil A entre o et2ir,
[/(a'-f- A) 4-/(21: — a' H- A)]logcos-6fa' = o.
En un mot, la condition mobile Ca se réduit à ceci : l'intégrale
l/(^ -^7) -^-/(2TC - ^ -+-7)] logcos -rfo;
doit être nulle quel que soit y entre oetin:*
1Q2 R. D ADHEMÀR.
4. Je vais montrer, par rintuition- géométrique, que ceci est possible.
Soit, d'une manière plus générale.
L'on veut que z soit nul quel que soit y. Soit $(a;,y) une fonction telle que
On s'imposera en plus que la surface
contienne deux droites parallèles à 0/ de même cote, d'ailleurs quelconque, dans les plans
z sera bien nul, quel que soit y.
Il faut, bien entendu, que $ renferme y y c'est-à-dire que la surface ne soit pas un cylindre. $ renferme un très grand arbitraire, donc ç aussi, et il reste à résoudre l'équation fonctionnelle
log cos —
/contient une part d'arbitraire comme ç et l'on imposera, en plus, à/ la condition :
/(a)rfa = o.
L'on voit, sur ce cas simple, que les conditions de M. Volterra et de l'auteur peuvent bien être remplies en même temps, et même ici la condition (Gj) contient la condition (C|).
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. IqS
S. Sur un cas particulier (suite). Étude de la dérivée conormaie. — Nous allons étudier la dérivée conormale dans le cas du cylindre portant des données constantes sur une même génératrice. Pour simplifier, prenons seulement un point particulier, le point x sur (ùx'. En ce point l'on a
Fig. 16.
Le point <x peut être regardé comme la limite vers laquelle tend un point A.
Étudions la dérivée de l'intégrale
^^* J J s/r^-{z-z,)^ ^ r dN
pour un déplacement A A'. «
L'on trouve, comme toujours, d'abord la même intégrale avec,
sous le signe ^ la fonction dérivée^ puis deux intégrales curvilignes.
Ces deux dernières [^^ détruisent lorsque la donnée est la même sur
une même génératrice; cela est facile à reconnaître et je n'y insisterai
pas.
Il reste donc
L'on a
d^ df doL dçt [à^ j^ àf drl
dxo doL dxn da;o [d(x dr daj
Pour évaluer ( -^ j et ( j- ) » nous prendrons les limites respec-
194 ^* d\dhémar.
lives de
\à^o)k ^ \^a/ii
L'équation de la circonférence en a et r = AM s'obtient ainsi :
rcosoi) = x^-^ Rcosa, rsinot) = Rsina,
d'où d'où
de même
r^ = orj H- R^ -+- 2a7oRcosa,
^^'^-^ aRcos"
doi \ OTo+Rcosa
smat
{ àoL \ R(H-cosa) i a
alors on a
-Rsin^Aa)!"— ^ L__
(l'on pose toujours IZlfî = uj.
Ainsi
SUR UNE CLASSE D^ÉQUXTIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. IqS
d'où les 4 intégrales, à — ^ près,
I. =yycot^/'(a)[logr-H log(. - «»)]ti«-^-. Ij= / /cos -/(a) — î — rfg , , " :rï»
Mais, tt variant de — i à 4-i, les intégrales en w, dans la et I^, riront pas de sens.
La présence de^ conditions (j) et ((j) les élimine^ fort heureusement.
Les conditions étaient donc bien nécessaires pour la convergence de la dérivée conormale. Comme, d'ailleurs, I3 est nul en vertu aussi des conditions, il resterait à étudier la première intégrale et à montrer que l'on a bien
Or
logr = log2R-i- log cos ->
/"*' du /•"^' log (! — «»)</« , I
On devrait avoir
/(^)= -f^/V(«)-/'(2^-«)]col^rfa
lo
^ l [/'(a)-/'(27:-«)]cotMogcos^.;«.
Journ, de Math, {li* série), tome X. — Kasc. II, 1904. 20
igô R. d'adhémar.
6. Conclusion. — En général, Ton peut dire que les deux conditions y celle de M. Volterra, celle de l'auteur, peuvent ou non être compatibles.
Peut-être, même, la convergence de la dérivée conormale à la frontière conduit-elle à une nouçelle condition mobile qui serait (3C) pour le point particulier choisi et, pour embrasser tous les points frontière, plus complexe encore.
Le Problème extérieur appellerait donc des recherches excessivement difficiles.
