CHAPITRE I
EXTENSION DU PROBLÈME EXTÉRIEUR. — INTÉGRATION DE l'ÉQUÀTION DIFFÉRENTIELLE
1. Si Ton passe de l'équation à trais variables A (a) à Téquation analogue à quatre variables B(w), la belle méthode de M. Volterra pour le problème intérieur s'étend immédiatement, sans aucune difficulté, comme Ta montré M. Orazio Tedone (*).
Mais, pour le problème extérieury il se présente une particularité très remarquable.
Posons
(*) Annali di Matematica, série III, l. I, 1898. Milan.
Dans le Mémoire que nous venons de citer, M. Tedone montre que la méthode de M. Vol terra s^ étend facilement aux équations
A*"'*(tt) = F (problème extérieur).
// n'est pas question des équations
^î«+i.i^^^ = F (problème extérieur).
Or nous avons exposé, dans la deuxième Partie, la méthode de M. Volterra pour le problème extérieur relatif à
A(w) ou A^'X").
Ayant essayé de généraliser banalement cette méthode au cas
B(w) ou A'X").
nous avons reconnu une impossibilité absolue.
Il est inutile de transcrire ici les calculs : Ton ne peut aboutir.
M. Coulon m'a dit l'avoir reconnu de son côté.
Par une voie très sensiblement différente l'on arrive, au contraire, à intégrer l'équation ( * )
B(i^) = F(a;, jKî ^» 0 (problème extérieur).
Il faudra prendre des fonctions auxiliaires V autres que celles de M. Volterra, les combiner d'une manière différente^ enfin effectuer deux dérivations au lieu à^une.
2. Afin de faciliter l'intuition des choses nous parlerons le langage géométrique dans l'espace à quatre dimensions :
a, p. Y, 0 seront les cosinus d'une normale extérieure ; nous écrirons
rfx = dx,dy,dz,dt^
O.c?(o = dx.dy.dz'^ (*) J'ai annoncé ce résultat à l'Académie des Sciences le i5 décembre 1902.'
ic)8 R. d\dhéma.r.
enfin quand nous écrirons rf/, par analogie avec le cas de l'espace ordinaire, ce dl représentera un élément de variété à deux dimensions {*).
Il est bien évident que la formule fondamentale (G) dans l'Introduction s'étend immédiatement.
Nous appellerons encore T le plan horizontal de A, / = Z^, et A le cône de A, r= / — i^^
Nous affecterons de deux accents les éléments supérieurs à T, d'un seul les éléments inférieurs.
Fig. 17.
r(t^to)
tr<,.5fc.x^)
hi'.s fonctions auxiliaires, solutions de B(V) = o et nulles sur A" et A', seront
Dans le plan T on a
(^) Voir le calcul éléganl de d^p d'une variété h p dimensions dans un espace à n dimensions dans le Mémoire de M. Poincaré {Acta mathematica, t. XXII).
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. 1 99
Enfin Ton a constamment
^^^ dt " r ^ de'
5. Intégration. — Appliquons à W" et à W' la formule (G) et ajoutons membre à membre, il vient
I = 2 / - udxdydz.
C'est cette équation (i) qui, dérivée deux fois en /^,, donnera -^ et, par suile,
O'V^ oy* az^
et Ton appliquera alors Informulé classique de Green.
Les dérivations se font conformément aux formules démontrées dans la deuxième Partie. L'on a
<=) é[X.-X.]=XJ''*-X^''''^' è[X-^"^*"X-^'«H
= — / - -Jr^s d(}i -h I - -:^ d(x>
