X. r ciN J r û?N
(certains termes se détruisent. D'autres sont nuls car V*' s'annule sur A" et V' s'annule sur A').
Nous appelons encore C" la variété à deux dimensions, intersection de A" par S, C' rintersection de A' par S, enfin C Tinterscction deSetT.
200 R. D ADHEMAR.
L'on a encore
(i — to)cos(n, r) -4- rcos{n, t) dl
sin(N,/)
~ 2 / a-cos(/i, ^)
dl
sin(N, 0
(car cela résulte de
^V^ ___ dY (f — /o)cos(n, r)-i-rcos(n, t) dN "" rfjN "~ 7^ '
n étant la normale extérieure, N laconormale).
D'autre part, la dérivée par rapport à t^ du deuxième membre de (i) est
/ ". 17^^^/^^ "^ ^ / -'^cot(N, t)
dl.
De
il résulte que l'intégrale relative à C, que l'on vient d'écrire, est égale à la dernière intégrale qui figure dans (4). Il reste donc, après une première dérivation^
f lYd^^f '-Ydz^f'^^di^
Jyt. r 7^., r Jg, r dN
/TV I . T' ^"^ r cos(/i,r) , f cos(/i, r) ,
Dérivons (I) comme nous avons dérivé (i); Ton a
Puis, pour les quatre intégrales de surface, Ton a
] f ida '• dl /-£ du^ dl
^^ J "" ^c-+r/^ ^N siii(N,0 "^ V^: r dN sin(N, 0
/^^ cos (/i,r) dl f* ^ co6(/i, r) dl
/*„ COS (/i,r) dl r „cos(n,
sin(N, /)
et il reste
■^^^o4^c"^N siii(N,0
et le second membre de (I) donne
2/4 -T^dxdydz 4- 2/ -. •^cot(N,/)rf/.
Or, nous avons quelques groupements intéressants : (7) . 1F+P = '^«'
en appelant v la normale à C situé dans le plan T (car G possède une variété à deux dimensions de normales^ tout comme une courbe gauche dans Tespace ordinaire).
De même nous avons
^ V I cos{/i, r) r
^^^ sin(N,0 ^^ ~~"57*
Or, ces combinaisons (7), (8), (()) se présentent naturellement et
202 R. D ADHEMMl.
nous avons enfin
[J a'' ^c^c'^ ^^ sin(N,0
\ r cos(/i, r) dl AFT '^'' ^^ 1
(II) I ""4.C''' '•' sin(N,/)"^d/oL4.c:'"^N sin(N,oJ
= 1 I -àiudxdydz — 7. jW-^ — u-^ jdL
Or, sur G, dl est l'élérnent de surface dans l'espace ordinaire. Done, le second membre de (H'), d'après la formule de Green^ est
U intégration est effectuée.
4. La valeur de u au point A (x», y^^z^^t^) est obtenue en fonc-tion des valeurs de u et --r^ sur les deux variétés à deux dimensions C" et G' sections de la surface S qui est donnée par le cône A relatif au point A.
Ainsi la valeur de l'intégrale n^est pa>s du tout la même fonction des données dans le problème extérieur pour A(tt) et dans le problème extérieur pour B(tt). Il n'est pas surprenant, par conséquent, que nous ayons dû prendre une méthode d'intégration différente de celle de M. Vol terra.
Remarque. ~ Par la même voie que M. Volterra, l'on trouve ici la même condition que dans le cas de trois variables.
Il existe encore d^autres conditions de possibilité du problème, comme je l'ai montré dans le cas de trois variables.
La conclusion est la même : il est extrêmement difficile de reconnaître si la solution obtenue est une véritable solution.
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. 2o3
