Il y a deux espèces de formes S

Si, dans les trois équations (i), (2), (3) d'un système singulier propre, les coefficients de A, à savoir B„, B<, Bg, sont pairs, cette pro-

2l8 G. HUMBERT.

priélé se conserve, comme on sait, dans toute transformation ordinaire de degré un; en ce cas, la forme /, associée au système et donnée par (4), a tous ses coefficients divisibles par 4? de sorte qu'on peut écrire

Si, dans les équations (i), (2), (3), un des coefficients B/, le premier Bjj, par exemple, est impair, on aura le droit de supposer les deux autres pairs : car si B^ était impair, il suffirait de remplacer F< = o par l'équation équivalente F< -h Fj,= o. Dès lors, B, et B^ étant pairs, la forme S associée au système est du type

Les formes /sont donc, soit du type ( ï 2), soit réductibles au type (i 3) par une substitution linéaire de déterminant 1 .

86. Une forme S ne peut admettre d'autre diviseur que 4? c'està-dire que, si elle est du type (i3), elle est proprement primitive, et que, si elle est du type (12), les coefficients de/ n'ont aucun facteur commun.

Nous pouvons toujours en effet, par une transformation ordinaire de degré uriy ramener une des équations singulières (1), (2), (3), ou une de leurs combinaisons linéaires, au type h^ — gg^ = D ; dès lors, les deux autres équations du système, si l'on tient compte de celle-ci, prendront la forme

ag-hbh-hcg'-hd =0,

Par des combinaisons linéaires des deux dernières, on obtiendra deux relations arithmétiquement équivalentes dans l'une desquelles le coefficient de g sera nul, c'est-à-dire qu'on a le droit de supposer a'= o ; la forme associée au système est par suite

J==/^Dx''+(b''—4ac)y'-i-b''z''-h^(bb''-'2ac')yz-idxy^4d'zx. Or : i*" lorsque b et b' sont pairs, S ne peut admettre d'autre divi-

LES FONCTIONS ABÉLIENNES SINGULIÈRES. SîtQ

seur que 4 : car, si les coefficients D, -b'^ 7^^ "" ^^' —b — ac\ rf, d/ avaient un facteur premier commun, p, impair ou pair, ce facteur diviserait a ou c\ S'il divisait a, il diviserait aussi -6, et dès lors le système des deux relations

ag -^bh + cg'+d = o, b'h -h d g' -f- rf' = o,

ne serait pas propre, puisque a, -b^ d^ -b\ d' admettant le facteur p, les déterminants compris dans la matrice

a b c d^ o b' c' rf',

l'admettraient également, contrairement à l'hypothèse initiale. Si p divisait c', la relation b'h -h c'g'-\- d'=o aurait tous ses coefficients divisibles par p, et, là encore, le système considéré ne serait pas propre.

2? Lorsque b et b' ne sont pas tous deux pairs, J ne peut admettre aucun diviseur : car, si les coefficients D, 6', b^ — ^ac^ bb' — 2ac', rf, d' avaient un facteur premier impair commun, ce facteur diviserait a ou c', et Ton reconnaîtrait comme plus haut que le système considéré ne serait pas propre^ contrairement à l'hypothèse.

87. Reprenons le cas où, dans les trois équations initiales (i), (2), (3), du système, les trois coefficients B©, B,, B^ sont pairs; comme nous venons de le voir, la forme associée est du type 4/(^> ^j ^)? les coefficients de la forme / n'ayant aucun facteur commun. Je dis de plus que cette forme /ne peut être proprement primitive, c'est-à-dire que les coefficients des rectangles xy^ xz^ yz ne peuvent y être simultanément pairs.

Ces coefficients, en effet, sont, d'après (4), les quantités

2?^ ^ - A,C,- A,Q- D,E, - D,E,; si elles étaient paires, il en serait de même des trois nombres a^, a,, a^

Journ. de Afath, (5" série), tome X. — Fasc. II, 190^ 2()

donnés par

a, = A,C. - AoC, H- D,Eo - D,E„ a,= AoC,-A,Co-l-DoE,~D,Eo;

dès lors les déterminants (AjjC^Da), (A,,C<Ea),(AoD<E2), (CoDjEj) seraient pairs, car, le premier, par exemple, est égal à

aoDo-ha^D^-haaDj.

Donc, puisque les B,- sont pairs, les dix déterminants (A^ÔiCa), . . . , (CoD^Ej) seraient pairs, et le système initial, (i), (2), (3), ne serait pas propre, contrairement à l'hypothèse.