On peut résumer ainsi tous ces résultats

Les formes S sont de deux espèces. Les formes de la première espèce sont divisibles par 4 et sont du type l\f{x^ y, z), la forme if étant improprement primitive.

Les formes de la seconde espèce sont proprement primitives et sont équivalentes à des formes du type x^ -h [\f'{x^ y^^)-

Dans tout ce travail, afin de simplifier les démonstrations et les formules, nous nous bornerons à l'étude des formes de la première espèce, en indiquant, s'il y a lieu, les résultats relatifs aux formes de la seconde.

89. Formes canoniques d'un système et de la /orme associée. — Soit un système propre (ï), (2), (3), où les B/ sont tous pairs; on pourra, par une transformation ordinaire du premier degré et par des combinaisons linéaires d'équations, le ramener (n^ 86) au type

( cc',g + i^\h + y\g'+B', = o. On a le droit de supposer a, et ol\ premiers entre eux : car, s'ils ne

l'étaient pas, une transformation de degré un^ n'altérant pas la relation h} — gg' = D, remplacerait a, par la quantité ao, dont l'expression a été donnée (I, n^26), dans la deuxième Partie du Mémoire, et a, par une quantité analogue, a^ : or, on reconnaît sans difficulté, en s'appuyant sur ce que le système (i4) est propre, qu'on peut toujours choisir les entiers caractéristiques de la transformation de manière que oLq et ol^ soient premiers entre eux.

Il en résulte qu'en combinant linéairement les deux dernières relations (i3), on obtiendra deux relations de même forme, dans l'une desquelles le coefficient de g sera i, et qui seront arithmétiquement équivalentes aux précédentes; le système initial sera dès lors remplacé parle système propre équivalent :

(i5) j g^-h2pA 4-Yg^ +S =o.

Je dis qu'on peut supposer p = o : car, si P<o, la transformation du premier degré définie par les entiers

rf, = o,

n'altère pas la relation h^ — g g' — D = o (I, n"* 10) ; en vertu des formules (27), (I, n**26), elle remplace la relation g-\-2i^h'hyg' -^8 = 0 par une relation analogue où le coefficient de A a disparu, et où celui de g est encore H- i .

En ajoutant à la troisième relation (i5) la deuxième multipliée par — a', on obtient une équation privée de terme en g^ qui peut remplacer cette troisième, de sorte que le système initial est devenu

(•6) { g-pg\-9 =^^

^ap/i -+- Y^'4-S =0.

On peut aller plus loin et faire disparaître g" de la dernière relation : il suffît d'opérer, sur ce système, la transformation du premier degré définie par les entiers

aa = o,

Co=0, C, =-[*,

rf, = ^(ji[A'+DXX'-i-5'fiLX', dt = o,

rfj=0,

où X, fit,, X', (x' sont des entiers uniquement

liés par l'équation

X{jl'-X> = i.

En vertu de cette transformation, les périodes anciennes et nouvelles satisfont aux relations

H' - «G' = .-4^ [(.rf. - (x^ -h Krf.^+ }x'(A» - ^^)].

Or, le système (i6), où Ton écrit G, H, G' à la place de ^, A, ^, est arithmétiquement équivalent au système

X(H^ — GG' - D) + fx(G -/?G'- q) = o, V(H* - GG' - D) + fx'(G - pG' - ^) = o,

puisque Xtji' — X'fx = i . Par les formules (17), ce système se chanj^e en

a-(DX'=' + yX'[Jl'+;)Ul'=')^— (2DXX'+5r(Xfi'+X»-»-2/>{X[Jl'] = 0,

■2^h -+-(y[j>-'-i-oX')^-i-y(ji-*-oX = 0.

Si donc on choisit V et [jl' premiers entre eux, de manière à annuler yf'"+- ^^S ^^ si l'on détermine ensuite X et [x par X[jl'-- X'(jl = i , le terme en g' disparaîtra dans la troisième équation, et le système final, équivalent au système initial, sera du type

j A^-ê^^'-M = o, (i8) g ^mg'^n =o,

( 2pA — £ =o;

£ étant nécessairement impair, puisque le système transformé est propre.

Remarque L — Dans le cas d'un système singulier où les coefficienis de h ne sont pas tous pairs, on trouverait une forme canonique semblable ; 2 p serait seulement remplacé par 2^4-1 dans la troisième équation.

Remarque II. — La forme associée au système (18) est

(19) 4(Ma?^ -f- my^ -h ^^z^ -f- nxy + ixz)^

le coefficient de z^ est un carré et le terme en xy manque. Toute forme S^ divisible par 4? peut donc être ramenée à ce type par une substitution linéaire.

90. Propriétés caractéristiques des formes S . — D'après cela, et l'on aurait pu le reconnaître directement sur la forme (4), une forme S quelconque peut représenter proprement un carré : ici, le carré 4?^- Or, c'est là une propriété qui caractérise les formes 4^, ainsi que le montre le théorème suivant, relatif aux formes de la première espèce :

Théorème. — Soit ^p une forme quadratique ternaire positive et improprement primitive; désignons par ù le plus grand commun diviseur^ nécessairement impair, des coefficients de son adjointe : pour que 1^ soit une forme J?, c'est-à-dire soit représentable proprement par la forme à cinq variables X^ •— 4 YZ — 4 TU, il faut et il suffit que 2^ représente un carré premier à ù.

La condition est nécessaire, car la forme (19) représente le carré 4P*, que je dis être premier à û. En effet il est, par définition, le plus grand commun diviseur de

4mM — /i^, 4Mp*— £% 4^^?% 2me, 2/1^*, ne;

s'il avait un facteur premier commun avec 2 p, ce facteur diviserait e^, donc e ; et le système (i 8) ne serait pas propre, puisque 2 p et e auraient un diviseur commun.

91. Je dis maintenant que la condition est suffisante. Soit, en effet, une forme ternaire positive

(20) 2^ = 4(B^2^ -h Mzx 4- N^y -+- Po;^ -h Qxy -t- Ry^),

telle que ^ soit improprement primitive, et qui représente le carré 4 B*, premier à û; pour établir que c'est une forme -/, je distinguerai trois cas.

Premier cas. — Les quantités 2B, M, N n'ont pas de diviseur commun. Alors le système

2BA-N^-M = o donne naissance à la forme

/ == 4 B^z' + 4:K(Rr -+- Nz) -h 4^(P^ + Qr + Mz),

qui est identique à la forme proposée, 2^p; ce système est propre y ainsi qu'on le reconnaît de suite en s'appuyant sur ce que 2^, M, N sont sans facteur commun. La forme 2^» considérée est donc une forme J.

Deuxième cas. — Les quantités 2B, M, N ont un diviseur commun impair. Soient p ce plus grand commun diviseur, etj[?<, /?2, . . . , jt>„ ses facteurs premiers distincts. Aucun d'eux ne divise 4 PR — Q^) sinon, contrairement à l'hypothèse initiale, 2B etû admettraient ce même

facteur, ainsi qu'on le reconnaît de suite en écrivant les coefficients de la forme adjointe à ^. Il en résulte que la forme binaire

peut représenter proprement une infinité de nombres, dont chacun est résidu quadratique de/?,, j^j, ..., />„, et est premier à ces facteurs. On a le droit de supposer que R est un de ces nombres ; car il suffit pour cela d'effectuer, sur x et y dans la forme ternaire (20), une substitution linéaire convenable, de déterminant i, en laissant z inaltéré : cette opération ne change ni B, ni le- plus grand commun diviseur de 2B, M, N, ni û qui est un invariant de la forme ternaire.

Cela posé, divisons N par un nombre a, tel que 2B, M et - N n'aient

pas de diviseur commun : on peut évidemment supposer que a ne contient pas d'autres facteurs premiers que /?,, /?2> • • • > Pn- Considérons maintenant le système singulier

(21) ] ^g-^^^^-^yg" -Q = o»

2BA-^^'— M = o;

la forme associée est

(22) ^^[B^z^ -hUzx -\- Nzy -h Px' -^ Qxy -h (^^ ^ OLy)y^]',

elle coïncide avec la forme proposée (20) si l'on peut choisir ^ et y de manière que R = ^^ — ay : il faut et il suffit pour cela que R soit résidu quadratique de a, c'est-à-dire des facteurs premiers, /?,, p^, . . ., /?«, de a, condition qui est réalisée en vertu d'une hypothèse légitime faite tout à l'heure. Donc la forme (20) est associée au système (21).

Tout revient ainsi à établir que ce système (21) est propre, c'està-dire que les nombres

(23) 2Ba, N, Ma, 2(BY + ^NpV 2(Mp-BQ), My+iNQ

320 G. HUMBEÏlt.

n'ont aucun diviseur premier commun. Or 2 B, -N et M étant premiers entre eux, ce diviseur diviserait a, et serait dès lors un des facteurs />,, p^y pn- Mais /?/, premier à R par hypothèse, ne peut

diviser p , puisque R = P' — ay ; comme il divise B , il ne peut

diviser 2(By H- -Np), car — » en vertu même de la définition de a,

n'admet aucun des facteurs p^. Il résulte de là que le système (21) est propre; et la forme 2^, définie par (20), est bien encore une forme JF.

Troisième cas. — Les quantités 2B, M, N ont un diviseur commun paiPy dont les facteurs premiers sont ^, pn Pi^ • • • ? Pn-

En ce cas, M et N sont pairs et Q est impair, puisque, par hypothèse, la forme '^|; est improprement primitive.

Soit encore a un nombre formé avec les facteurs 2, p, ,...,/?„, et tel

que 2 B, M et — soient premiers entre eux. Le système (21) donne naissance à la forme (22), qui est identique à (19) si R est résidu quadratique de a : il en sera évidemment ainsi si R est résidu quadratique de 8, de /?i, de /?2, . . . , de p^'^ c'est-à-dire si la forme

(24) Px^-^Qxy^Ry^

peut représenter proprement un nombre de la forme 8A -+- 1, qui soit résidu quadratique de chacun des /?,•, et premier à ces facteurs.

Or, la quantité 4PR — Q'^ étant première à />,,..., /?;,, comme on l'a vu plus haut (deuxième cas), la forme (24) représente proprement des nombres résidus quadratiques des /?,■; soit x^y y^ une solution : si tiT est le produit p^p^.. .pnt une autre solution sera x = %x^ -\- Xgj, y = Sy^ + (xcT, X et (JL étant des entiers quelconques. Cherchons à les déterminer de manière que, pour ces valeurs de x et de y^ la forme (24) représente un nombre 8A n- i, c'est-à-dire qu'on ait

(25) PX^-hQX(jL-hR(JL'=i (mod8).

Or, Q étant impair, on peut supposer P et R simultanément pairs ou impairs, car si, par exemple, P est pair et R impair, le changement de variable X = X' -f- (jt. rendra R pair.

Il résulte maintenant d'un beau travail de M. Jordan (ce Journaly 2* série, t. XVII, p. 876 et suivantes) que la congruence (25) est alors réductible à l'une ou l'autre de celles-ci :

Vul'=i (modS), X'«-hX>'H-(jL'^=i (modS),

qui ont manifestement des solutions et donnent, dès lors, des solutions correspondantes de (25).

Donc, P et Y étant déterminés d'après ces indications, la forme proposée (20) sera associée au système (21), et il ne reste plus qu'à montrer que ce système est propre. On reconnaît, comme dans le deuxième cas y que les six quantités (28) ne sauraient avoir, comme facteur premier commun, que l'un des nombres i^p^^p^y ..., /?„, et que Pi ne peut les diviser toutes. Quant au facteur 2, il ne les divise

pas non plus, car la dernière, My -f- -NQ, est impaire, puisque M est

pair, Q et - impairs.

Par suite encore, la forme 2^, donnée par (20), est une forme iF, et le théorème énoncé au n® 90 est complètement établi.