On peut lui donner une autre forme
Théorème. — Soit ^ une forme quadratique ternaire positive, improprement primitive; soit Cl le plus grand commun diviseur y nécessairement impair , des coefficients de V adjointe : pour que 2^ soit une forme S^ il faut et il suffit qu^elle puisse représenter un carré et que ses caractères quadratiques par rapport aux facteurs premiers a),, coa, ..., de ùy soient tous égaux à -f-i, c^est-à-dire qu^on ait
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Pour ramener cette proposition au théorème précédent, observons
Journ, de Math, (5" série), tome X. — Fasc. II, 1904. "^^
2'i8 G. HUMBERT.
que, d'après ce théorème, toute forme S du type ^, pouvant représenter un carré premier à fi, les caractères quadratiques ( — ) sont nécessairement égaux à -i- I. Il reste donc seulement à montrer que, si 24» représente un carré non premier à û, et si tous les caractères f — j
sont égaux à H- i , 24» est encore une forme S.
Soit alors 4B^ le carré dont il s'agit, 2^ peut s'écrire
(20) 2^ = 4(B^z* 4- Mzitr 4- ^zy -h Pa:^ + Qa?j -+- R7*);
par hypothèse, 2B et û ne sont pas premiers entre eux, c'est-à-dire que les nombres
2B, 4B'P-M% 4B^R-N% 2B^Q-MN, 4PR — Q% 2MR-.NQ, 2NP-MQ,
ont un diviseur commun : il en résulte que 2B, M, N ont aussi un diviseur commun p, et que certains des facteurs premiers de p entrent dans 4PR — Q*- Soient co', (o", ..., ces facteurs; ils figurent nécessairement parmi ceux o),, 0)3, . . ., de û.
Cela posé, si p est impair, le raisonnement du n** 9i sera encore applicable, pourvu que la forme binaire Pa7*-+- Qary -h Ry^ puisse représenter un résidu quadratique de tous les facteurs premiers de p. Il n'y a de difficulté que pour ceux de ces facteurs (o', (o", ..., qui entrent dans 4 PR — Q'î la représentation considérée n'est possible que si le caractère quadrique de la forme binaire par rapporta chacun des nombres co', a)'', . . ., est égal à 4- i. Mais cette condition se trouve satisfaite; car, par hypothèse, le caractère quadratique de 2^ par rapport à 0),, (Oa, ... est -h I : d'ailleurs, co', (o'' . . . sont des diviseurs de 2B, M, N et figurent parmi les co,, (Oj,, . . .; donc, en vertu de l'expression (20) de 2^, les caractères quadratiques de Pa?^-|- Qa?y -+- Ry* par rapport à a>', co", . . . sont égaux à ceux de 2^, c'est-à-dire à -h i.
La démonstration serait la même si p était pair.
Remarque 7. — Le théorème précédent permet de reconnaître, sans ambiguïté possible, si une forme 2 4, telle que 4* soit positive et
improprement primitive, est une forme S : Arn. Meyer ( * ) et M. Minkowski (^) ont en effet donné des règles pour reconnaître si une forme ternaire peut représenter un carré, ou, ce qui est plus général, si une forme quaternaire peut représenter zéro.
Remarque IL — On verrait de même que, pour qu'une forme ternaire positive, primitive, équivalente à une forme du type
soit une forme JT, il faut et il suffit qu'elle puisse représenter un carré et que ses caractères quadratiques, par rapport aux diviseurs premiers de û, soient tous égaux à -h i .
Transformations d'un système singulier en lui-même.
95. Soit S un système de trois relations singulières, que nous désignerons par/o = o, /, = o, /a = o; soit 24» la forme ternaire associée à S. Existe-t-il des transformations ordinaires de degré i qui n'altèrent pas le système S?
Une telle transformation T changera respectivement /o, /i,/a, après l'expulsion des dénominateurs, en des fonctions linéaires de /oj/n /a à coefficients entiers, soit
par suite (n*^ 82), les invariants des deux expressions singulières
et
{Ix + my+ nz)f^ •h(l'x -h m' y -h n' z)/t
(') Zuricher naturf. Gesell., i884, p. 218.
(') Crkllb, t. 106. — Voir aussi Bachmann, Zahlentheorie, IV* Partie, p..55i.
2'io G. HUMBERT.
seront les mêmesy c'est-à-dire qu'on aura identiquement, quels que soient a?, y, Zy
= '2^(lx -h my 4- A^z, tx -h m'y -h n'Zj fx -H m"/ -h n"3).
Donc, la substitution S (à coefficients entiers)
(3) S = |a;,y,i?; Ix-^my + nz^ Vx-^m'y-\-n'Zy l"x -^ m^'y-^- n"z\
est une substitution semblable de la forme associée i^y c'est-à-dire une de celles qui changent la forme 4* en elle-même.
On peut indiquer avec plus de précision la nature de la substitution S. En effet, la transformation T change l'une dans l'autre, après expulsion du dénominateur, les expressions (i), non seulement lorsque x^y^ z sont des entiers, mais lorsque ce sont des constantes quelconques; cherchons à déterminer ces constantes de manière que la seconde expression soit égale à la première multipliée par un facteur constant s. On trouve, par un calcul classique, que s doit être une racine de l'équation
l — s m II
qui est Véquation caractéristique de la substitution S. Soit s^ une de ces racines; il existe dès lors des quantités a;,, /<, z,, telles que ^^f^-^y^f^ -+" -i/a soit changé par Ten ^i(a;,/«+7,/, -h zj,,). Or si l'on nomme invariant d'une expression du type
