B»-4AC-4DE
on reconnaît qu'une transformation ordinaire du premier ordre quelconque change (après suppression du dénominateur tel qu'il se présente
dans les formules de la transformation) Texpression (4) en une expression analogue de même invariant. Donc, en appliquant ce résultat aux deux expressions
^l/o-^rl/|-^--l/a et 5|(a;,/o-hJ,/i + 5,/3),
on trouve
ce qui exige, puisque la forme ^ est positive, qu'on ait *î = i ou *< = ± I.
Donc, si une transformation ordinaire de degré i , T, n'altère pas le système S, il est nécessaire que la substitution semblable de 4* correspondante n'admette, comme racines de son équation caractéristique, que les quantités ± i .
Dès lors deux cas sont à distinguer.
94. Premier cas. — L'équation caractéristique de la substitution 2 admet la racine triple 5 = £, e désignant ± i .
En ce cas, on sait que £ peut se ramener, par un changement linéaire de variables, de déterminant i , à la forme S< :
2, = |x,^, 2; zx^ ty + \x^ tz-^^x + yyl.
Je dis que les entiers X, (jl, v sont nuls. Il existe en effet une forme 4*1 , équivalente à 4'> qui demeure inaltérée par £| ; soit
•|^ = 2Aa;'+ 2A'7*-h 2A'j'-h 2B75 -h -iM' zx -\- -ih^xy.
On aura dès lors
2Aa:*^ -h 2,A! {ty -^\x)'^-\- iA!'{tz-Jt- (jlo? -h v j)* H- . . .
= 2Aa7*+ 2A'y*+2A"z*H-...;
d'où, en égalant dans les deux membres les coefficients de yz^ A^'ev = o. Comme A'' ne peut être nul, puisque la forme 4'« est positive, on a
23a G. HUMBERT.
V = o. Égalons maintenant les coefficients dexz et de xy^ il vient •
( B (JL-+-2A'X)£=:.0;
d'où l'on conclut
car le déterminant 4 A' A" — B^ doit être positif pour que ^, soit positive.
Donc, enfin, S, n'est autre chose que la substitution (-h i)
ou la substitution (—1)
selon que £ = -hiou£ = — i.
Il en résulte que la substitution £, dont I^^ se déduisait par un changement de variables linéaire, doit être également l'une des substitutions -h 1 OM — I .
La question est donc de reconnaître s'il existe une transformation ordinaire de degré i, T, changeant respectivement /©, /n fi ^^ ^foj t/tj 1/2^ c'est-à-dire changeant, quels que soient a;, y, Zj Texpression
^/o +r/i + ^A en e{x/o -h yf, -^ VO-
Les formules établies dans la première Partie de ce Mémoire (I, n® 7) permettent de traiter aisément cette question, en partant de la forme canonique (n^ 89) du système proposé ; on arrive aux résultats suivants que nous nous bornerons à énoncer :
1° En dehors de Ut transformation unité ^ il n'existe pas de transformation ordinaire d'ordre -h i changeant /<,, /,, f^ respectivement en £/o? ê/o s/a? icL quantité t étant d: i ;
2® // peut exister f si certaines conditions sont vérifiées par les coefficients du système^ une transformation ordinaire d'ordre — 1 changeant f^^ f^ , f^ en tf^^ zf^ , fi/j, la quantité £ étant + i .
95. Deuxième cas. — L'équation caractéristique de la substitution £ admet comme racine double £, et, comme racine simple, — £.
LBS FONCTIONS ABÉLIENNES SINGULIERES. 233
On reconnaît alors sans difficulté que la forme '^ initiale est équivalente à une forme de l'un des deux types
^2 = 2( Arr^ -h My^ 4- Wxy + M'z^),
4^3 = 2[ Ao;' -+- A'y* -+- A''(z*— eyz) -+- B"irK] ;
4/, admet la substitution semblable \x^y^z\ tXj ty^ — 6z|, et ^^ la substitution \x, y^ z; tXj ey, — tz-hy\, qui correspond à S. Dans la première hypothèse, on pourra remplacer le système initial par un autre, arithmétiquement équivalent, f^ = o, /< = o, /^ = o, de telle sorte que l'invariant de xf^-^-yf^ -h zf^ soit identiquement égal à la forme i"^^ : le problème est alors de rechercher si ce système admet en lui-même une transformation de degré i , correspondant à la substitution semblable de 24^2
c'est-à-dire (n° 95) changeant /o, /o /a» après suppression du dénominateur, en £/o, e/^, — e/j. Dans la seconde hypothèse, le problème se pose d'une manière analogue.
Les formules de la première Partie donnent le moyen de le résoudre ; on aura soin de ramener d'abord, pour simplifier, la relation /© = ^ au type h} — gg' — A = o. Les résultats obtenus se résument ainsi :
1° Pour quHLy ait des transformations ordinaires Q) d^ ordre -+- 1 tC altérant pas le système proposé y il faut et il suffit que la forme S associée puisse représenter le nombre 4 ; H y aura autant de ces transformations qu'il y a de représentations propres de 4 par la forme y les représentations x^ y^ z et — a?, -—y, — z n'étant pas regardées comme distinctes;
2® // peut exister des transformations ordinaires d'ordre — i n'altérant pas le système; il faut et il suffit pour cela que les coefficients du système vérifient certaines conditions.
Ces conditions sont, dans tous les cas, qu'une certaine forme quadratique binaire, dont les coefficients sont fonctions de ceux du système, puisse représenter h- i ; elles ne dépendent pas uniquement de
(*) Autres que la transformation unité.
la classe à laquelle appartient la fôrmç S^ c'est-à-dire que, vérifiées pour un système, elles ne le sont pas nécessairement pour un autre donnant naissance à une forme équivalente à celle qui est associée au premier.
96. Points modulaires (Tun système. — Comme dans la deuxième Partie (I, n® 36), faisons correspondre à un système de périodes abéliennes le point de l'espace qui a pour coordonnées les trois invariants de la forme binaire du sixième ordre dont dérivent les fonctions abé- Hennés possédant ces périodes. Appelons-le point modulaire. Un système de trois relations singulières, définissant deux systèmes de périodes g^ A, g' et G, H, G', donnera dès lors deux i^om\& modulaires.
Ces deux points seront généralement distincts : pour qu'ils soient confondus, il faut et il suffit qu'on puisse passer de g^ A, g' à G, H, G' par une transformation ordinaire de degré i. Or G, H, G' sont respectivement imaginaires conjugués de g^ A, g' \ d'autre part, une transformation d'ordre n change les périodes g^ A, g' en d'autres, g, 3e, ç', telles que les parties imaginaires de ç et ç' aient le même signe que celles de ^ et ^' multipliées par /î; il en résulte qu'une transformation de degré i faisant passer de g^ A, o^' à G, H, G' sera nécessairement d^ ordre — i .
Ainsi, pour que les deux points modulaires d'un système de trois relations singulières soient confondus, il faut et il suffit que ce système admette en lui-même une transformation ordinaire d'ordre — i .
Remarque 1. — Si le système admet en lui-même une transformation ordinaire d'ordre h- i, celle-ci n'altère pas gj A, g' et G, H, G'; c'est donc une multiplication complexe du premier degré.
Or nous avons établi (* ) qu'un système de périodes ne peut admettre une telle multiplication que si la surface de Kummer correspondante est un tétraédroïde, en excluant le cas des périodes dérivées du radical yjx^ H- I . Le cas exclu ne correspondant pas à un système de trois relations singulières, on voit qu'un tel système, /,=/,= /a = o, n'aura de transformations d'ordre -h i en lui-même que si la surface de
(*) Ce Journal, 5* série, t. VI, p. 870.
Kummer correspondant aux périodes g^ A, g' (ou G, H, G') est un tétraédroïde : il faut et il suffit pour cela qu'il existe entre g^ A, g' (ou G, H, G') une relation singulière d'invariant 4, c'est-à-dire qu'une relation xf^-^-yf^ -h zf^ = o ait l'invariant 4, ou encore que la forme associée au système puisse représenter -f- 4- Ce résultat concorde avec ce qui a été dit plus haut (n** 95).
Remarque II. — Soient toujours g^ A, g' et G, H, G' les deux systèmes de périodes, imaginaires conjugués^ que donne un système S de trois relations singulières ; supposons que g ait sa partie imaginaire positive, celle de G sera négative. Désignons par m et M les points modulaires qui correspondent respectivement à g^ A, g' et G, H, G' : ils sont imaginaires conjugués.
Si deux systèmes ont un point modulaire commun, leurs seconds points modulaires coïncident également ; les deux systèmes sont dès lors réductibles l'un à l'autre par une transformation ordinaire du premier degré.
Si le point m d'un des systèmes coïncide avec le point m de l'autre, la transformation est d^ ordre -+- 1; car, d'après Hermite, une transformation d'ordre k change ou ne change pas le signe de la partie imaginaire de g selon que A: est > o ou <;o. Si, au contraire, un point m coïncide avec un point M, la transformation est d'ordre — i.
Réciproquement, lorsque deux systèmes S, et Sg sont réductibles l'un à l'autre par une transformation d'ordre -h i, les points m, et m^, M, et Mjj coïncident; si la transformation est d'ordre — i, m< et Mj, ma et M < coïncident.
Équivalence de deux systèmes de trois relations singulières.
97. On dira que deux systèmes de trois relations singulières sont équivalents s'ils peuvent être ramenés l'un à l'autre par une transformation ordinaire du premier degré.
D'après le n® 82, les formes ternaires associées à deux systèmes équivalents sont équivalentes; mais cette condition nécessaire est loin d'être suffisante, comme elle l'était généralement dans le cas des systèmes de deux relations singulières et des formes binaires associées.
Journ. de Math. (5* série), tome X. — Fasc. II, 1904. * ^^
Pour étudier la question de Téquivalence des systèmes, considérons deux systèmes S^ et S^, donnant respectivement naissance à deux formes 24*0 ^t n^'^, équivalentes entre elles. Soit û le plus grand commun diviseur des coefficients de la forme adjointe à 4*0 î c'est aussi celui des coefficients de la forme adjointe à ^'i • désignons ces adjointes par û^4 et ù^\ ; Tinvariant û est impair, et ^<, 4*', sont proprement primitives, puisque 4o ^^ ^0 ^^ ^^^^ improprement. Enfin, le discriminant commun de 4o ^^ 4*© ^^^ ^^ nombre pair, divisible, comme on sait, par û^, et que nous représenterons par Û^A.
Gela posé, observons que 4i ^t 4*'^ formes proprement primitives équivalentes, peuvent représenter une infinité de nombres premiers : soit P l'un d'eux, que nous avons le droit de supposer impair et premier à ÛA. En vertu de la théorie classique de Gauss, les formes 4© ^^ ^'0 représenteront proprement une même forme quadratique binaire ç, improprement primitive y de discriminant ÛP; on pourra toujours choisir P de manière que ç n'appartienne pas à une classe ambiguë. Si donc on pose
(i) (p = 2(Dx^-h qxy-^py^),
on aura
4/?D-^* = ûP,
et q sera un nombre impair.
Désignons maintenant par F^^ = o, F, = o, Fj = o, les trois relations singulières du système So; par définition 24o(^?JK>^) est l'invariant de la relation xY^-^yY^ -\- zY^ = o. Or, on obtient la forme binaire (p(X, Y), représentable proprement par 4oj ^^ remplaçant, dans ^o(^, J,^) les variables 07,7, z par XX 4- (xY, VX-+-(ji'Y, X'^X + f^'^Y; c'est-à-dire que 2(p(X, Y) est l'invariant de la relation singulière
(2) X(XFo -h X'F, 4- X"FO -H Y((xFo -h (x'F, -h (jl"F,) = o.
On peut remplacer le système Fo = F, = Fj = o par le système arith-
méliquement équivalent
IXFo4-VF. + V'F, = o, (jlFoH-(x'F, + (x"F, = o, vF, -t-v'F, +v"F, =0;
V, v', v" étant des entiers choisis de telle sorte que le déterminant (Xfji'v") soit -\- ï : ce choix est possible : car, la représentation de (p par ^ étant propre, les mineurs (X(jl' — (J^X'), . . . , sont premiers entre eux.
Considérons maintenant le système formé par les deux premières équations (3); d'après ce qui précède, il est propre et sa forme associée est 29 : la forme ç étant improprement primitive, il résulte de la seconde Partie de ce Mémoire (I, n** 30) qu'on pourra, par une transformation ordinaire de degré un^ ramener le système des deux premières relations (i) au type
(4) h'-^gg'—B = o, g^pg^^q = o,
D, /?, q étant les coefficients de la forme ç, donnée par (i). Cette transformation changera la troisième équation (3) en une relation singulière : en ajoutant à celle-ci les deux relations (4), mutipliées par des facteurs convenables, on fera disparaître les termes en k^ — g g' et en g\ le système initial, S©, sera ainsi ramené, par des opérations qui n'altèrent pas la classe de formes ternaires associée, au type propre :
[ h'-gg'-iy = o,
\ i^h — yg' — S = o.
De même, le système S^ pourra être ramené au type propre :
i h^-gg'-iy = o,
OÙ les deux premières équations sont les mêmes que dans (5), puisque 'Y^ représente aussi ç.
Les formes associées aux systèmes (5) et (6), respectivement équivalentes à 2^0 ^^ ^'Vù^ ^^^^ équivalentes entre elles; ce sont les formes 2^ et 2 'Y définies par
^'= 2Ditr^-4- 'iqxy + ipy^ + 2P'^z^-H il' zx -h i"^' zy.
û est le plus grand commun diviseur des coefficients de l'adjointe de vp (ou de 4'')» ^^ ^^^ ^> pour le discriminant, Û^A, de 4» (ou de ^'),
(8) Û^A = 2^70 - ^\if - 2/;o^4- 2p^(4/?D - y»).
La question est maintenant de chercher les conditions d'équivalence des systèmes (5) et (6); nous aurons besoin pour cela de connaître les substitutions qui transforment Tune dans l'autre les formes équivalentes '\ et Y • ^ous admettrons d'abord que les formes de La clause à laquelle appartiennent les formes initiales 4^, ^I,, ^/ par suite ^ et Y j ^ont pas d'autres substitutions semblables que les substitutions (+i)^^(— i).
98. Les discriminants de ^ et de Y étant les mêmes, on a, d'après (8), en observant que l\pD — q^ est égal à ÛP,
Df - y yâ 4- /?S^= D y'^ - y/8' 4- /?â'^ (modP),
d'où l'on tire, en multipliant les deux membres par 4^,
(2Dy - ^ô)^=(2Dy'- ?â')' (modP), et, puisque P est premier.
e(2DY-^S) = 2DY'-yS' (modP)
(s = =hi).
Multiplions les deux membres par q ; il vient, puisque q^^l\pTi mod P,
et que P est impair,
(lo) Dz(qy -- 2p8) = D(qY - '2pB') (modP).
Or, on a le droit de supposer D premier à P : dans le cas contraire, il suffirait d'effectuer une substitution convenable dans la forme ç, c'est-à-dire 2(Dx^ -h qxy -h py^), qui est primitive, et l'on ramènerait ainsi le coefficient de x^ à n'être plus divisible par P. On a dès lors, par (9) et (10),
( e(2/)ô — qy)^2p6 — qY
D'ailleurs 2Dy — q^ et 2/>S — gry ^^^^ deux des coefficients de la forme adjointe à ^; les premiers membres, et de même les seconds, dans (i î), sont donc divisibles par û; et, puisque ù est premier à P (n** 97), on peut écrire les équations (11):
2D(y'- £y) - ?(S' - ^S) = ^ÛP = cr(4/>D - y^),
(j et T étant des entiers. On en tire
l f=£Y4-2/>cr + g'T, ^^^^ \ 8' = d-hq<j +2Dt.
Si maintenant dans ^\ à savoir
2(DX^ + y XY -h /> Y^ -h p'«Z^ 4- S'ZX + Y'ZY),
on fait la substitution linéaire de déterminant i :
(i3) X = £a? — Tz, Y = ey — (j^, Z = 5,
'Y devient, après substitution aux coefficients y' et S' de leurs valeurs (12),
(i4) 2(Da;^4- qxy -hpy^-^- 6ir*-4- 8zx-hyzy).
24o G. HUMBERT.
Or, c'est là précisément la forme 4», au coefficient près de z^ : mais ce coefficient, 6, doit être égal au coefficient correspondant, p^, dans ^^ puisque les discriminants de '^ et de la forme (i4)» équivalente à ^\ sont égaux.
Ainsi ^'(Xy Y, Z) se transforme en 4'(^, JK, ^) par la substitution (i3) ; comme ^j par hypothèse, n'a pas de transformations linéaires en ellemême autres que ix, ly^ tZy la substitution (i3), jointe à la substitution analogue où l'on aurait changé les signes des trois seconds membres, est la seule qui change ^'(^> ^> ^) ®^ 4'(^j JK? ^)-
Remarque. — Il résulte également de cette analyse que deux formes improprement primitives, ^ et vp', de même discriminant et de même invariant û, sont équivalentes lorsqu'elles représentent proprement une même forme binaire, 9, improprement primitive, et de discriminant ÛP, P étant un nombre premier impair et premier à Q.
99. Revenons maintenant à notre problème, c'est-à-dire à la recherche des conditions d'équivalence des systèmes propres (5) et (6).
Pour qu'ils soient équivalents, il faut et il suffit qu'il existe une transformation ordinaire de degré un^ changeant le système (5) en un système arithmétiquement équivalent au système (6); d'une manière plus précise, si l'on désigne par /o, /,, /a et f^, /<, /^ les premiers membrei* des relations (5) et (6), une transformation du premier degré devra changer respectivement /o, /n/a (après suppression des dénominateurs) en
