V. + p^/. + v/,, x'/,-+-(ji'/. + v7;, xy. + fiiy.-hv

les X, [JL, V étant des entiers de déterminant ± i. S'il en est ainsi, la relation x/^ h- y/, 4- z/^ = o est changée en

^(Vo-H(x/,-f-v/;)H-j(X7,H-...) + z(xyo + ...) = o,

et dès lors les invariants de ces deux relations sont égaux, quels que soient Xj y, z : sous une autre forme, si, dans la forme 2^\Xj Y, Z),

associée au système (6), on pose

X = Xx -h X> -h X"^, Y = (xa? H- [x'y -h (x"z, Z = va? -f- v'j)^ -f- v"^,

cette forme devient la forme 24'(^,y, ^), associée au système (5).

Mais nous avons déterminé plus haut (n° 98) les substitutions linéaires, de déterminant ± i , qui transforment ^' en ^ : elles se réduisent à la substitution (iv^), et à celle qu'on obtient en y changeant tous les signes; la substitution (i5) est donc l'une de ces deux, et l'on déduit de là, pour X, X', (x, (jl', v, v', v", les valeurs

X =. [il' = e, X' = (jL = V =^ v' = o,

£ et £' représentant ± 1 ,

Donc, si les systèmes (5) et (6) sont équivalents, la transformation de degré un correspondante change respectivement y© 5/0/2 ^^ ^/oj ^/m ^"/o^- P-Y* -i-s'/a- Or, nous avons déterminé (I, n*'" 43-47) toutes les transformations ordinaires de degré un qui reproduisent respectivement (aux signes près) deux relations singulières telles que /^j = o, /, = o ; leurs entiers caractéristiques sont définis par le Tableau

bo = -

tpa,-{

eDa„

ea„

tDb„

tga.

— eût»— tqa,

— ta,

-tb.

les «/ devant uniquement satisfaire à la relation

al — Dal — /?aj H- pDa, -f- q{a^a^ 4- a< aj) = w (*)

A la relation ^2 = o, c'est-à-dire 2pA — y^' — S = o, cette transformation fait correspondre, en vertu des valeurs classiques de g^ A, g' en fonction des périodes transformées G, H, G', (I, n** S), la relation singulière

G[2p(Da2a5 — ai^a^ — qa^a^) — Y£(DaJ — a])

-h Zt{a^a^ — a^a.^'^gal)] + 2H[— p/iH-2p(ajH-5raoa,-l-/>DaJ) — Y£(aoa, H-Da^a,)

-h S£(a^ja3 4- g^^aaa — pà^a^)] (17) ( -hG'[2P(5raoa2 — /^aoa^H-joDaja,)

^- Ï^C^Î - DaJ) -h 8£(/?aoas + S^^a — P^i ^2)] -f-(H^— GG')[2 3(a,,(22-l-pa,as) — Y£(aoa3-i-a,a2)

-f- 2pD(août2 -H/^utjas) — YD£(ao^5^-^«ûJa) ; -f- ^t(al — /?aj -f- ga^a^^ -h qa^ a^) = o.

Pour que les systèmes (5) et (6) soient équivalents, il faut et il suffit, d'après ce qui précède, que le premier membre de cette relation (17) soit de la forme

X"(H»-GG'-D)-h|x"(G-/?G'-^)-hv'X2p'H-yG'-S'),

v" étant £' c'est-à-dire dr i ; ou encore, qu'en remplaçant dans ce premier membre H^— GG' par D et G par /?G'-hy, le résultat soit identiquement égal à dz (2^'!! — y'G'— S'). On obtient ainsi, pour

(*) En vertu de la première Partie (1, n* 8), la transformation ainsi définie change respectivement /o et/, en — e/i/i et — e/i/i. La quantité n est Vordre de la transformation (« z=i± ï).

les valeurs de ^\ y', S' en fonction de p, y, o, les formules

£'Y'= 2P(2/?aoa, — 2,pTia^a^ + pqa^a^ — qa^a^)

H-S£(2pa,a,— ipa^a^-- q^l" pq^l)j £'S' = — 2p(5rajja, H-çr^a^a, — grDéïaCr,— 2Daoa2— 2/>Da,a3)

— h(al — /?aj -h 25ra^a3 H- DaJ -f- ç^'aj — /^DûjJ), qu'on peut écrire, en remplaçant n par sa valeur (iG 6w),

j 2£'P' = 2 p(aj -h Dal H- paj 4- />DaJ H- gra^a, — ya, a.,)

— S£(— aa^aa— 2g'a2a5-l- ^pa^a^), £'Y'= 2P(2/>aoa« — 2pDa2a3-f-/?5ra<a, -- qa^a^)

(,8) { -Y£(a;-Da^-/?Daj4-/>aJ)

— S£(2;?a^a5H-5raJ-h/?5raJ— 2pa,a^)y

— Y^(?^ii "" ^Dûo^s — 2Da4a2 — yDaJ)

Ainsi, pour que les deux systèmes (5) et (6) soient équivalents, il faut et il suffit que 2^', y', S' aient les expressions précédentes (i8) en 2^, Y> S : dans ces formules, £ et £' désignent ±1, et a^,, a,, a^, a, sont des entiers, assujettis uniquement à satisfaire à la relation (i6 6w), à savoir

(19) al — Dal — pa]-h pBal-h q(a^a^-h a^a.^) = n {n=± 1).

Si l'on pose 2^ = Z, y = X, S = Y, on reconnaît, dans ces formules, celles qui donnent des transformations en elle-même de la forme ter-

Journ, de Math. (.> srric), tome X. — Kasc. H, 1904. ^'^

naire indéfinie ( * ) ^ :

(20) $(X, Y, Z) = (4/?D - y^)Z^- 4DX^ -h 49XY - 4pY%

qui, si l'on y remplace X, Y, Z par y, S, 2^, devient le double du discriminant (8), Û^A, de la forme ternaire ^. La forme <& est l'adjointe de la forme <t>^ :

<t>, = 2(Z^ - DX^ - ^XY - pY'),

qui, divisée par 2, a joué un rôle fondamental dans la seconde Partie de ce Mémoire.

D'ailleurs les formules (18) et (19) ne donnent pas toutes les transformations linéaires en elle-même de la forme (20) (^).

Remarque. — Nous dirons que deux systèmes de trois relations singulières sont proprement ou improprement équwalents selon qu'on passe de l'un à l'autre par une transformation d'ordre -h i ou d'ordre — i .

D'après cela, les systèmes (5) et (6) sont proprement équivalents si 2p', y', S' ont, en fonction de 2^, y, 0, les expressions (18), les ai étant des entiers liés uniquement par l'équation (19), où l'on fait /i = i; l'équivalence est impropre si l'équation (19) est satisfaite pour w = — i .

100. Résumé. — Reprenons l'équation (8), qui donne le discriminant, Û^A, de ^, en l'écrivant

(21) (4pD-^=*)^'~4Dy--h49TS--4/^S' = 2Û^A,

(*) * est indéfinie : car D, p et l\pl^ — q^ sont posilifs; puisque la forme <p, 2 Dj?* H- 2^07/ H- 'ipy- est positive.

(') Il est intéressant de comparer ces formules à celles obtenues (I, n®66, p. 121) pour les transformations en elle-même de la forme 5* — Y)x^— iq' xy — />/',

qui, si l'on pose q^iziq'y est -*, : les transformations actuelles sont les trans-

posées des anciennes. Cela n'a rien dMnatlendu, car on sait que, si une substi-* tution linéaire n'altère pas une forme ternaire» sa transposée n'altère pas la forme adjointe.

et regardons-y 2^, y? ^ comme des inconnues. Nous dirons que deux solutions entières, 2^, y» ^ ^^ ^P'; Y» ^ ^^^^ proprement équivalentes si Tune se déduit de l'autre par les relations (i8) et (19), où n = i ; elles seront improprement équivalentes si Tune se déduit de l'autre par (18) et (19), où /i := — i.

Considérons maintenant les deux systèmes (5) et (6), à savoir

(5) /i^-^g^ -D = o, g — pg'-q = o, i^h — ^g'- S = o,

(6) h}-gg^^\y = o, g^pg-q = o. 2p'A-f^'-S'=o,

qu'on suppose donner naissance à deux formes ternaires équivalentes, 2^ et 2^'. Soitû^A le discriminant de ^ et de 4»'; pour que les deux systèmes soient proprement (ou improprement) équivalents, il faut et il suffit que 2^, y, Set 2^', y', S', qui sont des solutions de l'équation (21), en vertu même de l'expression du discriminant de ^ et de ^', soient deux solutions proprement (ou improprement) équivalentes.

Ce résultat suppose que les formes ^ et ^' n'ont pas d'autres transformations en elles-mêmes que les substitutions -h i et -- i : on reviendra plus loin (n** 103) sur le cas laissé ici de côté.

Systèmes non équivalents qui donnent naissance à une même classe de formes.

101. Soit ^|;^ une forme ternaire, improprement primitive, positive, et telle que 2vpo soit une forme J\ désignons par û et A ses deux invariants dont le premier est impair : son discriminant sera Û^A. Proposons-nous de déterminer tous les systèmes propres de trois relations singulières non équivalents, c'est-à-dire non réductibles l'un à l'autre par une transformation ordinaire de degré un, qui donnent naissance à des formes ternaires équivalentes à 2'^<>.

Choisissons pour cela, comme au n** 97, une forme ç, improprement primitive, n'appartenant pas à une classe ambiguë, représentable proprement par ^0, et dont le discriminant, nécessairement divisible par û, soit de la forme ÛP, P étant premier (impair), et premier à ÛA; soit

(p = 2Da7^-f- Q.qocy -\- ^py^'^

on a

et g est impair, puisque Q l'est; de plus, on a le droit de supposer D et q premiers à ÛP.

En vertu de la théorie générale du n^ 97, tout système propre donnant naissance à une forme équivalente à 2'spo sera réductible, par une transformation de degré un^ au type

et le problème est maintenant de former tous les systèmes (22) non équivalents qui donnent naissance à une forme équivalente k 2^^.

Or, la forme associée au système (22) représente évidemment, d'une manière propre, la forme 2(p, puisque sa moitié est

(23) 2Da;^+ 2qxy -h 2/?/* -h 2pjz^4- nB^zx -h 2^,5^;

dès lors, en vertu de la remarque du n^ 98, pour qu'elle soit équivalente à 'loj î^ fsi^t ^^ il suffît que la forme (23) ait les mêmes invariants, Q et A, que la forme ^q.

Exprimons d'abord que le discriminant est le même, Û^A; il vient

(24) (4/>D - q') ^; - 4D YÎ 4- 4 9 Y. S, - 4/>Sî = 2Û* A,

c'est-à-dire que 2^,, y^, S, doivent être des solutions (en nombres entiers) de l'équation (21). Parmi ces solutions en nombre infini, nous ne garderons que celles qui ne sont pas équivalentes entre elles, dans le sens du n** 100, car les systèmes (22) qui répondent à deux solutions équivalentes sont équivalents, et réciproquement.

Il faut ensuite que la forme (23) admette l'invariant û, c'est-à-dire que Q soit le plus grand commun diviseur des quantités [coefficients de la forme adjointe à (23)],

4PPÎ-ÏÎ. 4DPÎ-SÎ, :i?PÎ-Y,S.,

La première de ces quantités étant ÛP, et P ne pouvant les diviser toutes, puisqu'il est premier à ÛA, il suffit que ù divise les quantités (25). Or, on déduit de (24),

4Dyî - 4S^T*S| H- 4i>Sî=o (modÛ), d'où

(2Dy,-qB,y=o (modÛ),

(puisque 4/>D — g^ = ÛP).

Ainsi, pour toute solution de (24), le carré de la quantité

2Dy^-^S,

est divisible par Q : cette quantité elle-même ne. Test pas nécessairement. On devra donc choisir, parmi les solutions de (24), celles qui rendent 2Dy, — yS, multiple de û : je dis qu'alors toutes les autres quantités (26) sont aussi multiples de û.

Car, 2D étant premier à ÛP, on a, puisque 2DY,^yS, (modû),

2D(2;>8, — yYi) = 4/>DS,-^^8. = 8,ÛP = o

(modû); d'où

2pS| — gy^==o (modû).

De même, l'équation (24) s'écrivant

2ÛPPî-2DYÎH-25rY,S,-2/>Sî=:Û*A,

on en tire

4DÛPPÎ- (2Dyi - ^S,)'- ÛP8î = 2DÛ^A; d'où

(4DpJ-Sî)P = o (modû), et dès lors

4Dpî-8î=o (modû).

On voit de même que 4/?^? — YÎ^^ (modû); enfin on a

2D(2grpî-Y.S0^^«?-2l3T.S. = S.(yS.-2DY.)^o

(modû),

ce qui montre que la dernière des quantités (2$) est aussi un multiple de Q.