Voici donc le résultat

Soit 2vp^ une forme S ^ sans autres substitutions semblables que les substitutions ( -h r )<!»/(—- i); désignons par û e/ A les invariants de vj^o? ^^ choisissons d^une manière quelconque^ parmi les formes binaires improprement primitives représentables proprement par ^^o j une forme ©, n appartenant pas à une classe ambiguë, et de déterminant ÛP, P étant premier, et premier à 2ÎM; soit

(26) <p = iHx^ -f- iqxy -H ^py^ {q impair).

Tous les systèmes de trois relations singulières non équivalents qui donnent naissance à des formes ternaires équivalentes à i^^ sont fournis par les formules

j h^-gg'-'ù = o,

(27) g -Pg'-q =Oy ^

\ 2pA-Y^'-S =0,

ou Von prend successivement pour 2^, y, 8 toutes les solutions (*) entières non équivalentes (n° 100) de V équation

(28) [(4pD--^^)5'-4DY^-+-/4yYS-4/>S^=2Û^A,

avec la condition supplémentaire que la quantité 2D y — ç^S, dont le carré est nécessairement divisible par û, soit elle-même un multiple de H.

Il est clair que la condition supplémentaire est satisfaite d'elle même lorsque les facteurs premiers qui figurent dans û n'y entrent qu'à la première puissance.

(') C'est-à-dire un ensemble quelconque de solutions donl on peut déduire toutes les autres par les formules (18) et (19).

103. Nombre des systèmes. — Si donc Nq est le nombre des solutions non équivalentes, en 2^, y, 8 de l'équation (28), avec la condition que 2D Y — q^^o (modû) (et nous verrons plus loin que ce nombre est fini) nous pouvons dire qu'à une classe de formes S^ du type 2^5 sans autres substitutions semblables que (-+-1) et (— 1), correspondent No systèmes de trois relations singulières, irréductibles l'un à l'autre par des transformations ordinaires du premier degré.

104. Nombre des points modulaires. — A ces N^ systèmes correspondent, en général, 2Nç points modulaires : nous disons en général, parce que les deux points modulaires liés à un ou plusieurs des N© systèmes peuvent coïncider (n** 96).

Voici comment on peut déterminer exactement le nombre des points modulaires liés à une classe de formes S ^ c'est-à-dire le nombre total des points modulaires fournis par les systèmes de trois relations singulières qui donnent naissance à une forme de la classe.

Considérons, parmi les solutions en 2p, y, S de l'équation (28), un ensemble quelconque de solutions qui ne soient pas équivalentes proprement deux à deux, et dont toutes les autres puissent se déduire par les formules (18) et (19), le nombre n étant supposé égal à -h i dans cette dernière (19). Parmi ces solutions, ne gardons que celles qui vérifient la condition supplémentaire indiquée plus haut : soit N leur nombre.

Nous obtenons ainsi, parles formules (27), N systèmes. S, , S^, ..., Sj,, de trois relations singulières, non proj9rem^/2/ équivalents deux à deux, et tels que tout système du type (27), donnant naissance à une forme de la classe considérée, soit proprement équivalent à l'un d'eux.

Il résulte de là que les points modulaires liés à cette classe figurent tous parmi les points modulaires que donnent les systèmes S,-, et réciproquement : le problème est donc de rechercher combien de points modulaires distincts donnent les S,-.

Or chaque S/ fournit deux groupes de périodes g^ A, g' et G, H, G', imaginaires conjugués; supposons la partie imaginaire de g positive, celle de G est négative : à ces deux groupes correspondent respectivement deux points modulaires, /w,- et M/. Nous allons démontrer : I® que les m,- (et les M,) sont distincts; 2® que les M/ coïncident avec

aSo

les mj\ il en résultera que le nombre cherché des points modulaires estN.

I® Les points m,- (et M;) sont distincts : car, si m, et nij coïncidaient, les systèmes S,- et Sy seraient équivalents (n** 96), et l'équivalence serait propre {ibid,)^ résultat contraire à ce qui a été dit plus haut.

2° Opérons sur les systèmes S, une même transformation d'ordre — i , n'altérant pas (au même signe près) les deux premières relations (27), communes à tous ces systèmes ( * ) : nous obtenons ainsi des systèmes S^ » dont chacun, par ce qui précède, est proprement équivalent à un système Sy (y pouvant être égal à i), puisque la forme associée appartient toujours à la même classe. Donc, le point M,, que donne un système S; quelconque, coïncide avec un point rrij (qui peut d'ailleurs être m,-, si S|- admet en lui-même une transformation d'ordre — 1).

Donc enfin, le nombre des points modulaires liés à une même classe de formes S^ du type 2^, est égal au nombre N défini tout à l'heure : on suppose toujours que ces formes n'ont pas d'autres substitutions semblables que (-h i) et (— i).

Cas où les formes S admettent des substitutions semblables.

103. En ce cas, les N systèmes S/ peuvent être deux à deux proprement équivalents ; le problème est donc de rechercher s'ils le sont effectivement. Chacun de ces systèmes est du type

(S) A* - ^^ - D = o, g-pg'-q = o, 2 p A - Y^' - ^ = o»

(^) Il existe de telles transformations, c^esl-à-dire que Téquation (19), où n=z — I , a des solutions.

Si l'on y pose en effet aj= 2 a',, «,=: 2a'^, elle s'écrit

(ao-h ^a;)«-h F(a'j, a„ < ) =— 1,

en désignant par F l'adjointe de la forme z^-^Dx^— 2qxy — 4/>7'' Or celte forme a pour discriminant ^pD — ^*, quantité impaire; son invariant Q est évidemment l'unité; dès lors, en vertu d'un résultat de M. Bachmann {Zahlentheorie, 4" Partie, p. 256), l'équation p^-{-¥(q, 7', 7'') =— i est résoluble en nombres entiers. Voir aussi Meyer, C relie, t. 116, p. Saa.

les deux premières relations étant les mêmes pour tous; d'après le mode même de formation des S/, aucun d^eux ne peut être réduit à un autre par une transformation ordinaire d'ordre 4- 1 , n'altérant pas y au même signe près y les deux premières équations (S) : mais, lorsque la classe de formes liée à ces systèmes admet d'autres substitutions semblables que (-f- i) et (— i), il peut exister à^ autres transformations du premier ordre réduisant un des systèmes à un autre.

Soient alors f^ = o, /< = o, /l, = o les trois équations (S) du système S/; ^^ la forme associée. Pour qu'une transformation T, d'ordre -f- i , change S,- en un système S^. , dont les deux premières équations soient les mêmes que celles de S/, il faut et il suffit, les X, [X, V désignant des constantes» que T change

Vo -^- V-fi -^ ^/s en /o, >^7o-HK/iH-v7a en /,.

S'il en est ainsi, le système Sj , transformé de S/ par T, sera l'un des systèmes S<, S^, .. ., S^, ou pourra être réduit à l'un d'eux par une transformation d'ordre -h i : cela résulte des propriétés mêmes des systèmes S/ (n** 104).

Or, pour qu'il existe une transformation T, d'ordre -h i, changeant respectivement X/^ H- (x/, h- v/^ et X'/^, -t- (jl'/, -f- v'/j, en /^ et f^ , il faut et il suffit, d'après les résultats de la deuxième Partie de ce Mémoire, que les invariants des deux relations singulières

^( Vo H- f^/i + VO H-r(>^7o -^ 1^7. -H v7.) = o

et

soient les mêmes quels que soient a; ety (*), c'est-à-dire que l'on ait (29) ^Çkx -h X'y, ^x -h [x'y, vx -+- v'y) = iDx^ 4- Q,qxy 4- npy^.

(^) En d'autres termes, les formes binaires associées aux deux systèmes de deux relations doivent coïncider : les deux systèmes sont alors réductibles Tun à l'autre par une transformation de degré un, comme on Ta vu dans la deuxième

Journ, de Math. (5« série), tome X. — Fa»c. Il, 1904. ^^

Donc, les quantités X, X', [jl, (jl', v, v' sont les coefficients d'une représentation propre quelconque de la forme f (ou 2Dx^ h- iqxy-\' ipy^)^ par la forme ^.

Soit alors /j = o la troisième équation du système S[.; 2^' la forme associée à celui-ci; la transformation T change en f\=^o une relation Xy,, -f- [jlY^ 4- v^a = o du système S/, les X", (x", v" étant des entiers : on a dès lors identiquement

et les termes indépendants de z, dans vj^S sont 2Da;^ -h 25^37^/' h- 2,py^^ puisque les deux premières équations de S^. sont/o = o, /^ = o. .

Mais, d'après le n** 98, 4* se change en ^' par une substitution du type \xj y^z; ex-hiz^ ty-h<JZ, 2 j, e désignant d= i eta, t des entiers; on a donc

(3i) y {x, y^ z) = ^(tx -h "iz, ty-h<JZ, z),

d'où, en compararant (3o) et (3i),

^Çkx H- A' y -f- 'k^Zj iKx -h [l'y -h (x^'z, yx •+■ v'y h- v'^z)

= ^(tX -H TZ, £y -f- CXZ, z).

Si donc on désigne par

I X, y, z; Ix -h my -f- wz, /'rr H- m'y -h n'z, Z^'a? h- m*'y h- /i"z |

une substitution semblable de ^y on déduit de là, pour les valeurs des X, X', . . . , v' les expressions

( Kz=mty (x'=m'e, V=m''i.

Partie, car la forme binaire associée à/o=o, /, =:o, e5t4Dj?'4- ^q^y -^ ^py^y et devient, après division par 2, improprement primitive (I, n^ 30). La transformation peut être supposée d'ordre -hi, car, si elle est d'ordre — i, il suffît de la faire suivre d'une transformation d'ordre — r, n'altérant pas (au même signe près)/o et/i {voir la Note précédenle).

Réciproquement, si X, [jl, . . . , v' ont des valeurs de cette forme, Téquation (29) est satisfaite, car l'équation

'^(Ix H- my H- /iz, l'x -h m'y -f- /^':^, /"j? H- m"/ -h n''z)=^(xj y, z)

donne

4'(/ir -h myj Vx -h Aw'y, V'x -f- /w"^) = vj^C^? y^ o),

ou, par (32),

4'(Xa? -h X'y, (xa? -f- (jl'j/', va; -h v'y) = 2(D ar^ H- g^ary -h py^).

De cette analyse résulte la proposition suivante :

A toute substitution semblable des formes S de la classe considérée correspond^ pour chaque système S,, une transformation T d'ordre -h i , changeant S,- en un autre des N systèmes; inversementj toute transformation T jouissant de cette propriété est associée à une substitution semblable de la classe.

106. Remarques. — i ® A une substitution semblable de la forme ^^ associée à un système S,-, ne correspond ainsi ({\Cune transformation T. Car s'il en existe une seconde T,, changeant, comme T, Z/o -f- Vfi -h l"fx ^t /7i/o -f- m'/, -h m"f.^ en /^ et /, , on peut écrire T| = T0, 0 étant une transformation d'ordre -h i , qui n'altère pas (au même signe près) f^ et/, : les deux systèmes S], et S^ en lesquels S/ est transformé par T et T, se déduisent donc l'un de l'autre par 0, c'est-à-dire, en vertu des propriétés des systèmes S/ (n** 104), qu'ils sont identiques.

2** Les substitutions semblables de ^ sont deux à deux opposées^ c'est-à-dire que l'une se déduit de l'autre par le changement de signe de tous les coefficients ; à deux substitutions opposées correspond, pour chaque système S,-, une même transformation T.

3** A deux substitutions semblables de vp, distinctes et non opposées, on peut admettre qu'il correspond deux transformations T distinctes; sous une autre forme, il n'existe pas deux substitutions semblables de ^ du type

|a;,y, z\ Ix -^ my -h nz, l x -h m'y -h n z^ l"x -f- m" y -f- n"z\^

pour lesquelles /, m, /', m\ I" m" soient les mêmes. On peut toujours en effet choisir la forme o, à savoir

2Da7* -h iqxy -h '^py^t pour que ^^ c'est-à-dire

n'admette pas deux transformations semblables de cette espèce.

107. Nombre des points modulaires. — Admettons d'abord que la classe de formes-/ considérée ne puisse représenter 4; d'après le n° 95, aucun système donnant naissance a une forme de cette classe n'admet de transformation d'ordre -f- i en lui-même, autre que la transformation unité.

Soit rf le nombre des substitutions semblables des formes considérées, deux substitutions opposées étant comptées pour une seule. A ces d substitutions correspondent, pour un système S,- quelconque, d transformations d'ordre -hi, changeant S/ en des systèmes Sy, S*, ..., différents entre eux et différents de S,-, en vertu de tout ce qui précède;

N il en résulte que les N systèmes S,- sont réductibles à ^ d'entre eux; et,

par suite, le nombre des points modulaires liés à la classe considérée

est -T> d'après le raisonnement du n** 104.

Si les formes de la classe peuvent représenter proprement 4> de k manières, il y aura (n** 9S) k transformations d'ordre -hi changeant en lui-même un quelconque des systèmes qui donnent naissance à l'une d'elles, non compris la transformation unité; donc, les d transformations ci-dessus qui correspondent à un système S, se groupent (k -f- i) à (/Ir -f- 1), de manière que lès transformations d'un groupe changent S/ en un même système S;t î 1^ nombre des points modulaires cherchés sera

donc ^(^ -H i)'

Représentations géométriques.

108. Reprenons la représentation géométrique indiquée dans la deuxième Partie (I, n" 56). A un système de périodes {g^ A, g' ) ou

aux fonctions abéliennes possédant ces périodes, faisons correspondre le point modulairey qui a pour coordonnées cartésiennes les trois invariants absolus de la forme binaire du sixième ordre liée aux fonctions considérées : à un nombre entier A de Tun des types 4N ou 4N -K I est associée ainsi une surfeuse y lieu du point modulaire, lorsque les périodes vérifient une relation singulière d'invariant A; à uûe classe de formes binaires positives, équivalentes à une forme de l'un dès types

est associée de même une courbe algébrique ou un système de courbes algébriques, qui sont le lieu du point modulaire lorsque les périodes vérifient un des systèmes propres de deux relations singulières qui donnent naissance à une forme de la classe.

De même, si les périodes vérifient un système de trois relations singulières, nous avons vu (n° 96) qu'il correspond à ces périodes deux points modulaires, distincts ou confondus; si nous considérons tous les systèmes propres qui donnent naissance à une forme ternaire d'une classe donnée, les points modulaires correspondants forment un groupe de points dont nous avons discuté le nombre et que nous regarderons comme associés à la classe ternaire considérée.

Ainsi, à une classe de formes Jf, c'est-à-dire de formes ternaires positives pouvant représenter un carré et équivalentes à une forme de l'un des types

kf{^,y,^) ou 4/'(^,r,-)H-^' (*),

correspond dans l'espace un groupe de points.

Rappelons que nous avons appelé surfaces ou courbes hyperabétiennes les surfaces et courbes algébriques liées aux nombres ou aux formés binaires indiquées plus haut.

109. La représentation géométrique ainsi définie possède d'importantes propriétés.

I** Si une classe de formes ternaires S représente proprement un

(*) On D'oubliera pas (n° 88) que 2f{x,y^ z) est improprement primitive» et que 4/' -4- ^^ l'est proprement.

nombre A, le groupe de points qui correspond à la classe est situé sur la surface qui correspond au nombre^ et réciproquement.

Soit, par exemple, A un nombre du type 4N, représentable proprement par une forme JF, du type ^f{x^y^z). Considérons un quelconque S des systèmes propres de trois relations singulières, f^ = o, f^ = Oj/a = o, qui donnent naissance à une forme équivalente à t\f\ soit 4F cette forme, soient /w et M les deux points modulaires liés au système S. La forme 4F(^) y^ ^) est, par définition, l'invariant de la relation singulière

à laquelle satisfont les deux systèmes de périodes donnés par /©= o, y^ = o, y^2 = o; dire que A est représentable proprement par 4F, c'est dire qu'une relation

OÙ 37, y, z sont premiers entre eux y a pour invariant A. Or, le lieu des points modulaires donnés par des périodes qui vérifient une relation singulière quelconque d'invariant A étant la surface hyperabélienne qui répond à A, les points m et M sont nécessairement sur cette surface.

Réciproquement, si /w et M sont sur la surface hyperabélienne d'invariant A, c'est que les deux systèmes de périodes, gy A, g' et G, H, G', donnés par /© = ^> /« = Oj /a = o, vérifient une relation singulière d'invariant A. Or il est clair que toute relation singulière vérifiée par gj h, g' ou G, H, G' est du type

x^y^ z désignant des entiers premiers entre eux; l'invariant de cette relation étant, par définition, 4F(a:, y^ z), il en résulte bien que A est représentable proprement par 4 F.

La même démonstration s'appliquant à tous les systèmes de trois relations singulières qui donnent naissance à une forme de la classe considérée, la proposition est établie.

2^ Si une clause de formes ternaires S représente proprement une forme binaire positive d'une classe donnée y réductible ( * ) ^ Vun des types 4?(^, y) ou l\^{x^ y) +y*, le groupe de points qui correspond à la classe ternaire est situé sur la courbe algébrique (ou sur le système de courbes algébriques) qui correspond à la classe binaircy et réciproquement.

Supposons, par exemple, que la forme 4F(a:, y, z) considérée plus haut représente proprement la forme binaire 49(^>y)> c'est-à-dire que l'on ait identiquement

4F(Xa7 + (jLj, Vx -H [x>, 'k'^x 4- fx'» = 4?(a?, y),

les X et (jL désignant des entiers, tels que les mineurs d'ordre 2 du Tableau

soient premiers entre eux. Sous une autre forme, on peut dire que ^T(^> y) ^s^ l'invariant de la relation singulière

(\x + (X7)/o -h {Vx 4- (X»/, 4- Çk'x 4- (X»/a = O, OU encore que le système de deux relations singulières

(i) x/,-hX'/, + xy,=o (x/,^-(x7, + (xy,=o

donne naissance à la forme ^^{x^y) : ce système est d'ailleurs propre, en vertu de l'hypothèse faite sur X, (x, . . ., (x". Il résulte de là que les deux points modulaires, m et M, liés au système /^, = o, /< = o, f^ = o, sont situés sur la courbe hyperabélienne qui répond au système (i), c'est-à-dire sur Vune des courbes hyperabéiiennes associées à la classe binaire 4?-

La réciproque s'établit de même sans difficulté.

(') Par une substitution linéaire de déterminant ± i.

110. Corollaire. — Les systèmes de trois relations singulières qui donnent naissance à des formes S d'une classe déterminée sont toujours réductibles à un nombre fini d'entre eux par des transformations ordinaires de degré i ; ouy si Von veut, le nombre des points modulaires liés à une classe donnée de formes S est fini.

Ces points, étant en effet communs à toutes les courbes hyperabélîennes associées aux formes binaires représentables proprement par la classe ternaire considérée, sont nécessairement en nombre fini, puisque les courbes hyperabéliennes qui répondent à deux classes binaires différentes n'ont évidemment pas de partie commune.

111. Intersection de trois surfaces hyperabéliennes. — Si m est un point commun à trois surfaces hyperabéliennes, d'invariants A, A^, Aa, les périodes des fonctions abéliennes dont m est le point modulaire vérifient trois relations singulières, d'invariants respectivement égaux à A, Al, A^. Deux cas sont à distinguer selon que ces trois relations sont distinctes, ou se réduisent à deux (*).

Si les trois relations sont distinctes, le système propre qu'on obtient en les combinant linéairement d'une manière convenable donne naissance à une forme S représentant proprement A, A| et A^ : le point m est donc un des points du groupe lié à la classe de cette forme. Réciproquement, quand une classe de formes S représente proprement A, A|, Aji, tous les points du groupe correspondant sont sur les surfaces hyperabéliennes d'invariants A, A|, Aa.

Si les trois relations se réduisent aux deux relations singulières y^ = o, f^=zo^ formant un système propre, ce système donne naissance à une forme binaire représentant proprement A, A,, Aa : le point m est donc sur la courbe hyperabélienne (ou sur l'une des courbes) associée à la classe de cette forme binaire. Réciproquement, si une classe de formes binaires positives représente proprement A, Af, Aa, les courbes hyperabéliennes associées sont toutes sur les surfaces d'invariants A, A^, Aa.

(^) Elles ne peuvenl évidemment se réduire à une seule, puisque A, A,, A^ sont dislincts.

LES FONCTIONS ABELIENNES SINGULIÈRES. 20g

Donc : . - • •

En dehors d'une intersection /ixe (*), les trois sur/aces hyperahéliennes d'im^ariants A, A», Aj <sc coupent :

i** Suivant toutes les courbes hyperabéliennes associées aux classes de /ormes binaires positives, réductibles à l'un des types

/\(ax^-h bxy-\-cy')j /\(ax^+ bxy -h cy^) -hy^,

qui peuvent représenter proprement chacun des trois nombres A, A,, Aj;

2** En tous les points des groupes liés aux clauses de formes ternaires S qui représentent proprement chacun des trois mêmes nombres.

Bien entendu, si A, A,, A, sont pris au hasard, les trois surfaces n'ont pas de courbe hyperabélienne commune.

il2. Intersection de deux courbes hyperabéliennes. — Démontrons d'abord la proposition suivante :

Si deux formes binaires positives représentent proprement un même nombre, les courbes (pu systèmes de courbes) hyperabéliennes qui leur sont respectivement associées se coupent dans V espace, et réciproquement.

Supposons que les formes binaires ç et ç' représentent proprement A; soient/j^ = o, /, = o et/^ = o, /J = o deux quelconques des systèmes de deux relations singulières qui donnent respectivement naissance à des formes équivalentes à ç et ç'. En vertu de Thypothèsé, une relation ocf^-hyf^ = o et une relation oc' f^-\-y f\ = o ont même invariant A, en désignant par x, y (et par x% y) des nombres premier^^ entre eux : ces deux relations sont donc réductibles Tune à l'autre par une transformation ordinaire du premier ordre. En d'autres termes, on peut remplacer les deux systèmes considérés par deux systèmes

(*) Deuxième Farlie (I, n*" M).

Journ. de Math, (5« série), lome X. — Fasc. II, 1904. 34

2Go G. HUMBERT.

équivalents qui ont une relation commune^ et sont, par suite, du type

(2) Fo = o, F, = o et Fo = o, F,=o.

Les deux points modulaires donnés par le système de trois relations singulières F,, = 0, F4 = o, F'^ = o sont dès lors situés sur les courbes hyperabéliennes associées respectivement aux deux systèmes (2), c'est-à-dire que celles-ci se coupent dans l'espace, comme il s'agissait de rétablir.

La réciproque se démontre d'une manière toute semblable.

Observons que, d'après la démonstration précédente, si ç et ç' représentent proprement un même nombre, chacune des courbes hyperabéliennes associées à la classe <p coupe chacune des courbes associées à la classe ^' .

Enfin, si nous remarquons que la forme S liée au système F^, = o, F, = o, F', = o représente proprement la forme ç, puisque celle-ci est équivalente à l'invariant de l'expression a7F^,-i-^F,, et qu'elle représente de même <p', nous en déduisons aisément que :

Deux systèmes de courbes hyperabéliennes y associées respectivement à deux classes de formes binaires ^ ont en commun tous les groupes de points gui sont liés aux classes de formes ternaires S susceptibles de représenter proprement chacune des deux classes binaires; réciproquement ^ tout point commun aux systèmes de courbes considérées appartient à l^un de ces groupes,

115. Ces théorèmes, si l'on suppose formées les équations algébriques qui donnent les surfaces, courbes, groupes de points associés respectivement à un nombre, à une forme binaire ç (*), à une forme ternaire Jf, donnent la solution immédiate, et sans aucun tâtonnement, des problèmes suivants :

(*) C'esl-à-dire une forme binaire posilive, équivalente à une forme de l'un des lypes

4(«x'-h bxy H-cy*), 4(a^*-r bxy -^ c/') -+- j*.

Reconnaître si une forme ternaire S y ou une forme binaire ç, représentent^ ou non^ un nombre donnée

Il suffira d'examiner si la surface qui répond au nombre contient, ou non, les points ou courbes associés respectivement aux classes S et o données.

Reconnaître si une forme S représente ^ ou non^ une forme ç.

Il suffira d'examiner si les points associés à la classe S sont, ou non, sur le système des courbes associées à la classe ç.

Reconnaître s'il existe un nombre représentable par deux formes ç.

Il suffira d'examiner si les systèmes de courbes respectivement associées aux deux classes ^ sont ou non sécants; le même examen donnera là solution de ce problème :

Reconnaître s'il existe une forme S susceptible de représenter deux formes^.

Toutes les représentations dont il vient d'être parlé sont supposées propres.

Ordres de multiplicité,

114. Ordre de multiplicité d'une courbe hyperabélienne sur une surface hyperabélienne, — Considérons la surface hyperabélienne, E, qui répond au nombre A, et soit /© = o une relation singulière, d'invariant A, entre g^ //, g'^ choisie une fois pour toutes et d'ailleurs arbitrairement. On peut dire qu'à un point de £ correspondent tous les systèmes de périodes g^ A, g\ équivalents entre eux, qui vérifient la relation /"„ = o, c'est-à-dire tous les systèmes de périodes réductibles l'un à l'autre par une des transformations ordinaires de degré un qui n'altèrent pas cette relation.

Soit maintenant donnée une courbe hyperabélienne G, tracée sur 2; par cela même, G est associée à un système propre de deux relations singulières donnant naissance à une forme binaire susceptible de repré-

202 G. HUMBEHT,

senter proprement le nbmbre A ; ce système est dès lors réductible à un système propre analogue déterminéy dont la première équation sera/o = o. Soit/, = o la seconde. On peut dire qu'à un point de la courbe C correspondent tous les systèmes de période^ g^ A, g\ équivalents entré eux, qui vérifient simultanément les deux relations /,> = o, jT^ = o. Nous désignerons par ^{x^y) la forme binaire associée au système /„ = o, /, = o, c'est-à-dire l'invariant de la relation

et l'on aura

Considérons maintenant un point quelconque, m, de la courbe C, et soit^, A, g' un des systèmes de périodes correspondants; on aura

Le point m sera multiple d'ordre n-hi sur la sur/ace £ si, à ce point considéré comme appartenant à S, correspondent n H- i systèmes de périodes

gjfhg\ gi^àng'o •••» ginK.gn^

vérifiant tous la relation /^ = o, et dont aucun ne soit réductible à un au Ire par une des transformations ordinaires de degré un qui riL altèrent pas cette relation; naturellement, chacun des n derniers systèmes sera réductible au premier par une transformation ordinaire de degré un con^^'enable, puisque les n -{- 1 systèmes donnent le même point modulaire.

Soit alors T, la transformation dç degré un qui fait passer de gi^ ^n gi ^ gt ^7 g'\ comme on a

MghKgi) = o,

T/ change cette relation en une autre relation singulière

de même invariant A, qui est différente de /«(g', h^ g') = o, car les systèmes ^/, A/, g^ et g^ A, g' ne sont pas, par hypothèse, réductibles l'un à l'autre par une transformation de degré un n'altérant pas/^ (au signe près). Donc, puisque gy A, g' sont liés uniquement par les relations f^ = o, /i = o, qui forment un système propre, l'expression fi(gy hy g') est de la forme

en désignant par X,- et (X/ des entiers premiers entre eux, dont le second n'est pas nul.

L'invariant de fi étant A, comme on l'a observé plus haut, et celui de X//^ + (JL//| étant (p(X/, (x,), en vertu de la définition donnée pour ç, on aura dès lors

De même, en considérant la transformation de degré un, Ty, qui fait passer de g-y, Ay, gj à g^ A, g\ on aurait

A = ç(Xy,(Xy).

Je dis qu'on ne peut avoir

Xy^. £X,., (^y=£(A/ (l = ±l).

Car si ces relations avaient lieu, T, et Ty transformeraient respectivement les relations

foigîi hi, gi) = o et e/o(^y, Ay, gj) = o

en une même relation

\fo(g. h, g') + V'if^{g^ h, g') = o;

par suite, la transformation T,Ty/, qui fait passer de ^/, A,, g] à gj^ hjy gj^ changerait /„(^,., A/, g^) = o en ^Mgj, hj, g)) = o, contrairement à l'hypothèse initiale.

Ainsi, pour que le point m, et par suite la courbe G, soit multiple d'ordre n -h i sur la surface 2, il est nécessaire que la forme binaire ç, associée au système de deux relations singulières qui correspond à C, puisse représenter proprement, de /i-i-i manières différentes (*), l'invariant A de £ : les représentations A = ç(X, (jl) et A = 9(— ^, — f^) ne sont pas regardées comme distinctes.

il5. Réciproquement, si cette condition nécessaire est satisfaite, la courbe C sera multiple d'ordre n -h i sur S.

Reprenons, en effet, le point m de C, auquel correspond un système de périodes, g^ A, g' y vérifiant le système f^ = o, /, = o. Dire qu'on a une représentation propre A = (p(X„ (x,), c'est dire que la relation X|/<, (^, A, g') -h i^-if^ (g, A, g') = o a pour invariant A : donc, par une transformation convenable du premier ordre, 0,, conduisant des périodes g^ A, g' à des périodes g^, h^, g. , on changera cette relation en foigiyhi^ g'-) = o. En d'autres termes, au point m correspondent ainsi, sur S, /i -1- i systèmes de périodes,

Cin '

vérifiant tous/o = o; et, pour prouver que m est multiple d'ordre n -h i sur S, il suffira d'établir qu'aucun de ces n-i-i systèmes n^est réductible à un autre par une des* transformations ordinaires de degré un qui n'altèrent pas la relation /<, = o.

Or, si une transformation de degré un, t, conduisait de gj^ hj^ g'j à gh hi, g\, en changeant /o(^y, Ay, ^>-;) = o en ±Mgn h^ g]) = o, les transformations 0/ et 0yT conduiraient, toutes deux, des périodes g, A, g' aux périodes gi, hiy g-, en changeant respectivement

hfo(gy h, g') 4- JX//,(^, h, g') = 0 en /,(-,-, A,,^;.) - o,

et

^jMg^ fh g') -H (^y/i {g, h,g') = o en ±f,{gi, A,, g\) = o.

C) Y compris la représenlalion donnée par Ai=:cp(i,o).

Par conséquent, la transformation ordinaire de degré un^ €>f (©y'^)"* conduira des périodes g^ h, f^ aux mêmes périodes, g^ A, g\ et changera

^//o + \hif^ 7= ^ ^" - ( ^y/« ^ ^if^ ) = ^•

Or, toute transformation ordinaire de degré un conduisant de g^ A, g' à ^, A, g' e«t une multiplication complexe ordinaire de degré un^ et nous savons qu'il ne peut exister de telles multiplications, pour des fonctions abéliennes doublement singulières, que si la surface de Kummer correspondante est un tétraédroïde (*). Sous une autre forme, il faut que g^ A, g' vérifient une relation singulière d'invariant 4) c'est-à-dire que la forme binaire 9(^,^)j associée au système /o = ^jfi = o> puisse représenter proprement le nombre /|.

H6. Dès lors il convient de distinguer deux cas.

PuEMiER CAS. — La forme ç ne peut représenter proprement !\. — Toute multiplication complexe de degré un des fonctions abéliennes attachées aux périodes g^ A, g' se réduit à une multiplication ordinaire par db I (^); par suite; elle ne peut changer X/jT^ -h (x,/, = o en di (Xy/çH- [jLy/, ) = o que si l'on a Xy=£X/, (jLy = £(jL/, s désigant ± I. Or, cette conséquence est iimdmissible, puisqu'on a supposé distinctes les deux représentations propres de A données par

A = 9(X„fx,) et A = 9(Xy,(Xy),

Donc enfin, si la forme ç ne peut représenter proprement le nombre 4, le point //?, et par suite la courbe C, sera multiple d'ordre /i -h i sur S.

Deuxième cas. — La forme ^ peut représenter proprement [\. — En ce cas, une des relations \f^ -h (jl/^ = o a pour invariant 4, et peut.

(*) Ce Journal, 5" série, t. VI, p. 870.

(') C'est-à-dire que la transformation ordinaire, de degré un, correspondante a tous ses entiers caractéristiques nuls, sauf a^. ^1, c^^.d^ qui sont égaux entre eux et égaux à ih i.

par une transformation ordinaire d'ordre w/i, être réduite au type

Le système /„ = o, /, = o est dès lors équivalent à un système du type

h^ — ^^' - I = «j ^g -f- ^A 4- -[g' - CO = o,

dont'nous désignerons les deux équations respectivement par F^, = o, F, = o, La forme binaire associée, c'est-à-dire l'invariant de

est

XFo-i-YF, = o

0(X, Y) = 4X» 4- 4c«>XY -h (?» ^ 4aY) Y» ;

elle admet la substitution semblable | X, Y; X -h- o) Y, — Y |.

Cela posé, soit g^ A, g' un système de périodes vérifiant les deux relations (i); cherchons les multiplications complexes ordinaires de degré un correspondantes.

En vertu des formules établies par nous (*), les entiers caractéristiques des transformations cherchées sont définis par les formules

a, = ap,

aj= P<J — T,

Co = — Wp — T,

! c, = ap,

&o = - Y?, 6. = 0 + pp,

rf, = (i)p — Pœ -h T,

^2=-YP»

rfj = ô -f- 0)0-,

(») Ce Journal, 5' série, t. VI, p. SSg 34 1

OÙ 0, p, CT, t sont des entiers. Ces entiers, pour que la transformation soit ordinaire, doivent vérifier l'un des deux systèmes de relations (*) :

p = 2T — pO" = O,

(T = 2Ô-i-Pp = o;

et, pour que la transformation soit de degré un, il faut et il suffit en outre qu'on ait

(5) 0--f- 6(Pp -f- (0(t) -+- aYp*-h{|3(T--T)(<op -*- ^) — aYa- = =b r.

Dans la première hypothèse (4), p = 2T — po* := o, l'équation (.5) devient

ou, puisque 2T = ^cr,

(G) (2O -h (Off)» ^- ff'(!3^ - /tay - (o^) = ± /|.

Comme le discriminant de la forme positive (2), à savoir la quantité 4(^*— 4*Y — ^^)' ^^^ essentiellement positif, l'équation (6) ne peut être vérifiée que si le second membre est -+-4; ses seules solutions possibles sont

\ quels que soient a, p, y et (o,

ff = ±:i, 26-ha)ff = d:i,

( à condition que P»— 4*7 — w^= 3.

30 j ^ = ±^, 20-hWff = O,

à condition que ^-^ — 40^7 ~" ^" = 4-

La deuxième hypothèse exige évidemment que ^ soit pair et o) impair;

Journ. de Math. (5« série), tome X. — Fasc. II, 1904. J5

en ce cas la forme $(X, Y) s'écrit, si l'on pose ^ = 2^',

$(X, Y) = 2[2X'^ -h 2a)XY -h 2(^'^ - aY)Y-^];

et la forme improprement primitUcy 2X^-4- 2a>XY 4- 2(P'^— ay), ayant pour discriminant 4?'*— 4^7 "~ ^*j c'est-à-dire 4- 3, est équivalente à la forme 20:^ •+- *ixy -h ny^.

La troisième hypothèse exige que ^ et o) soient pairs; si 3 = 2J3', (o = 20)', on a

$(X,Y) = 4[X^^-2a>'XY4-(^'^-aY)Y^],

et la forme proprement primitwe X^ -h- 2(o'XY -h (^'^ — ay) Y^, ayant pour discriminant -h i , est équivalente à la forme a?^ H-^^ ( * ).

Laissons de côté ces cas particuliers, qu'il serait aisé de traiter complètement; nous voyons que les seules solutions possibles de (6) sont 0 = rb I, a = o; d'où, en vertu des premières équations (4), p = o, T = o. La transformation ('i) a alors tous ses entiers caractéristiques nuls, sauf a,,, 6,, c^, rf,, égaux entre eux et à db i : elle ne donne que la multiplication évidente que possèdent toutes les fonctions abéliennes, à savoir la multiplication ordinaire par dz i .

Dans la seconde hypothèse (4), (r = 2O -f- ^p == o, l'équation (5) devient

p^( p^ - 4aY) -h 4copT 4- 4t' = q:: 4,

et il est clair qu*on doit prendre -f- 4 dans le second membre. Écrivons-la

(2T -h wp)*-* -h p\p''— 4aY - a>') = 4 ;

si nous laissons encore de côté les cas où p* — 4^7 — ^^ serait égal à 1, 3 ou 4? les seules solutions possibles sont t = ±: i, p =0, d'où par les dernières équations (4)j o" = o, 6 = 0. Les entiers caractéristiques de la transformation correspondante (3) sont alors tous nuls,

(*) On pourrait satisfaire autrement à (6) si p*— 4*T — ***' éitxil égal à -Hi; en ce cas, la forme (a) serait équivalente à 4^* -H Y' et pourrait représenter -h i, ce qui correspond à une dégénérescence {voir à ce sujet le n® 120).

sauf a, = — e, è, = -h£, Cg = — £, d^ = -ht (£ = =bi);

les relations entre les périodes g^ h^ g' et les périodes transformées G, H, G' sont

(«) { A"^=^(H^-GG-)' ^'-^é^ = ^(H^~GG-)'

'* "" -(fP-GG'/ Les relations

h^ — ^«^' —1 = 0 et a «^ 4- ^/i H- Y©' — • w = o

deviennent, pîir ces formules, après qu'on a chassé le dénominateur -(H^-GG'),

H' « GG' - I = 0 et - aG - pH - 7^'+ ^(H^ - GG) = o.

Si Ton tient compte de la première de ces nouvelles équations, les relations (8) donnent bien ^ = G, A = H, ^'=G', ce qui devait être, puisque la transformation considérée est une multiplication complexe.

Ainsi, cette transformation change respectivement F^, et F,, c'est àdire h^ — gg' — i et a «^ -h ^h H- y^r' (o, en F^, et — F^ + (oF^^; en d'autres termes, elle opère sur F^ et F4 la substitution transposée de la substitution

que nous avons signalée plus haut comme une substitution semblable de la forme binaire *(X, Y).

Cela posé, reprenons les raisonnements et les notations du n** Ho; nous avons à rechercher si nous pouvons passer des périodes gj^ hj^ g'j aux périodes »•/, A/, g\ par une transformation ordinaire de degré un^ t, changeant /o(5'y,Ay,^}) = o en ± /o(gh fh, g]) = o. Comme nous

270 G. HLMnEHT.

Tavons vu, il faut et il suffît pour cela qu'il existe une transformation ordinaire de degré un (multiplication complexe) conduisant des périodes^, //, g' aux mêmes périodes g. A, g\ et changeant

>v/« -+- f^//i = 0 en =fc (Xy /o H- U.jf, ) r= o.

(3r, on a, en vertu de ce (|ui précède,

a, b, a', 6' désignant des entiers, dont le déterminant a/>'— /^a'est dt 1 , puisque le système /j, = o, /", = o est propre.

La multiplication complexe déterminée plus haut change 1\ et F, respectivement en F^ et — F,-i-(oFo; on en conclut sans difficulté (juV-lle change ( A,./„ H- ex,/, ) en (Xy/o-H M-y/i), les Xy et txy élanl définis en fonction des X, et jx^ de la manière suivante. La forme q(x-, y), (jui est équivalente à ^(X, Y), admet une substitution semblable (pii correspond à la substitution | X, Y; X h- co Y, — Y | de 4>(X, Y); soit I .r, y; ex -h dy^ c' x -f- d'y \ cette substitution ; on a

Xy = C\i -h dlki, ILj == C \i -+- ^/' U.,.,

et il est clair, d'après cela, que i>(Xy, [Xy) = ç(X,-, ijl/).

Donc, au point de vue de Tordre de multiplicité de la courbe G sur la surface S, on ne devra pas regarder comme distinctes les deux représentations de A

-^ = ?(^•M^0 et A = Ç>(Xy,(Xy)

(jui se déduisent Tune de Taulre par la substitution semblable de la forme (p(a;, y) dérivée de la substitution semblable

|X,Y; X-4.(oY,-Y| de*(\, Y).