De toute cette analyse résulte le théorème suivant
Soit 1 une surface hyperabé tienne d'irn^ariant A; désignons
par C une courbe hyperahélienne (*) associée à une classe de formes binaires positii^es susceptible de représenter pi*oprenient A, et par ^(x, j^) une de ces formes; nous savons (I, n*' 39) que la courbe C est sur la sur/ace 1.
De plus : si la forme o ne peut représenter proprement 4, l'ordre de multiplicité de la courbe C sur la surface S est égal au nombre des représentations propres de 1 par o; on ne regarde pa^s comme distinctes les deux représentations
Si la forme ^ peut représenter proprement 4, et si elle n'est pas équivalente (proprement ou improprement) à l'une des deux formes /\x^ -h 4.K*, 4-^'' -^ 4-^>^ -+- ^\y^ ( ^)) ^11^ admet en elle-même une transformation linéaire \jc^ y\ ex -+- dy^ c'x-h d'y\ différente de la transformation |x, y\ ear, £^|, où e désigne ± i . U ordre de multiplicité de (] sur S est encore égal au nombre des l'eprésentations propres de A par ç ; seulement y indépendamment des représentations Xy y et — ,r, — y\ on ne regarde pas comme distinctes les représentations x, y et ex -h dy^ c'x -h d'y.
118. Ordre de multiplicité d'un groupe de points sur une surface hyperabélienne — On démontrerait d'une manière absolument pareille le théorème suivant :
Soit S une surface hyperabélienne d'invariant A; désignons par ( j le groupe des points modulaires liés à une classe de formes ternaires S susceptible de représenter proprement \^ et par S{x^y^ z) une de ces forynes : nous savons (n^ 109) que les points du grouped sont sur la surface 2.
De plus : si la forme S{x^ y, z) ne peut représenter proprement 4,
(') C'esl-à-dire Tune quelconque des courbes byperabéliennes associées à la classe, lorsque ces courbes sonl en nombre supérieur à Tunité; ou, dans le cas contraire, la courbe associée à la classe.
(*) La forme ^p ne peut alors représenter 4 que d*une manière, les représentations Xy J et — a:, - y n'étant pas regardées comme distinctes.
272 G. HLMBERT.
V ordre da multiplicité de chacun des points du gf^upe G sur la surface Z est égal au nombre de représentations propres de A par S ; on ne regarde pa^ comme distinctes les représentations .r, y, z et
Si la forme S^x^y^ z) peut représenter proprement 4 (d'une ou de plusieurs manières différentes), la proposition doit être complétée de la même façon qu'au numéro précédent.
119. Ordre de multiplicité d'un groupe de points sur une courbe hyperabélienne, — Enfin, on établit de même cette proposition :
Soit C une courbe hypcrabélienne associée à une cla^sse de formes binaires positives non ambiguës y ç, et supposée unique (*); dési^ gnons par G le groupe des points modulaires liés à une classe de formes ternaires S susceptible de représenter proprement la classe ç; nous savons (n® 109) que les points du groupe G sont sur la courbe C.
De plus : si les formes S ne peuvent représenter proprement 4, l'ordre de multiplicité de chacun des points du groupé G sur la courbe C est égal au nombre de représentations propres d'une forme ç par une forme S\ on ne regarde pas comme distinctes deux représentations \x -^ Vy, \kx -h }x'j% va; -h Vy et — Xx — X'j', - (Ao;- [i.'7, —vx — v'y.
Si la courbe C associée à la classe ç n'est pas unique, le théorème subsiste et donne Tordre de multiplicité de chacun des points du groupe G sur l'ensemble des courbes C associées à la classe ©.
120. Remarque générale. — L'invariant A d'une relation singulière ne peut être égal à -h i que dans des cas de dégénérescence des fonctions abélicnnes correspondantes (ce Journal^ 5* série, t. V, p. 248). On reconnaît aisément que la forme binaire du sixième ordre liée à ces fonctions a alors une racine triple. Par suite, la surface hyperabé-
(^) C'esl-à-diie que les systèmes propres de deux relations singulières qui donnent naissance à une forme de la classe ^ sont supposés réductibles à un seul d^entre eux par des transformations ordinaires de degré un.
LES FONCTIONS ABELIENNES SINGULIERES. I']ù
lienne d'invariant i se réduit à la courbe fixe y commune à toutes les surfaces hyperabéliennes (I, n® 41). De même, cette courbe est la courbe hyperabclienne associée à toute classe de formes o (n" 113) susceptible de représenter h- i , et elle contient les points associés à toute classe S pouvant représenter -h i. Les théorèmes des n*** 108- 119 ne s'appliquent pas nécessairement à de telles classes Zà et J*.
Sur les fonctions monodromes et les nombres transcendants ; Par m. Edmond MAILLET.
Introduction.
Dans trois Communications à l'Académie des Sciences, en igoS, et un Mémoire corrélatif (*), nous avons indiqué une classification des fonctions entières d'ordre infini, non transfini, et de celles d'ordre zéro. Nous commençons ici (§ I) par compléter cette classification pour les fonctions entières d'ordre zéro : si une fonction entière
renferme une infinité de coefficients tels que \ajn\^===- e^^ini) ^^ ' (p entier, lime = o pour m = oo), les autres ayant un module plus petit que ne l'indique cette égalité, on a, en désignant par M;, le maximum du module def(x) pour | a? | = r, et posant
M;.^E(r, k,p-h e'), et, pour une infinité de valeurs de r,
M^^ E(r, /r, p — £') (e' analogue à e). Nous n'avions antérieurement établi ce résultat que pour /r^ i .
(*) Comptes rendus, igoS, i®*" semestre, p. 348, 2** semestre, p. 4o7 et 478. — Journal de l* École Polytechnique, 1904 et 1906.
Journ, de Math. (5* série), tome X. — Fasc. III, 1904. ^^
Dès lors cette classification, un théorème de M. Hadamard (auquel il n'est indispensable de se reporter que pour les fonctions d'ordre transfini ou d'indice infini) et une proposition de Liouville sur les fractions rationnelles approchées d'un nombre irrationnel ou transcendant, nous ont permis de préciser des résultats obtenus par nous au sujet de ces derniers nombres et d'en obtenir de nouveaux; nous exposons ces recherches dans le présent Mémoire (§11 et suivants).
00 oe
Étant donnée une fonction entière f{x) = ^ i/^ = ^ Qm^ quel-
conque, en s'aidant d'un théorème de M. Hadamard, on peut toujours déterminer une fonction ç,„ de m croissant constamment avec m, et telle que f{x) renferme une infinité de coefficients a„^ satisfaisant à
>• Qp^,+/, quel que soit / >• o.
Ûf/M-H/ I
Pour les fonctions entières d'ordre non transfini ou d'indice fini, notre classification permet d'arriver directement à cette inégalité
en prenant ^m= (}^^k^y * (^i fiï^i aussi petit qu'on veut pour m assez grand), quand /(a?) renferme une infinité de coefficients tels que
|a^|"' = (log^m) ^P % les autres ayant leurs modules plus petits que ne l'indique cette égalité.
De là, et de quelques lemmes relatifs aux fonctions e;t(/n), nous concluons divers résultats sur l'irrationnalité ou la transcendance des
nombres /(-j ou/( — j (/?, q entiers, a^ rationnel), principalement quand a^ est positif ou que — — croît constamment et indéfiniment avec n (a^réel). Ainsi soit a„ = ^—, et/?„, q^^ ^^ entiers: quand l'indice /r>3 et pn^e,,(ny fT< ^\ f\j ^'^^^ P^^ algébrique; pour
les deux formes de a„ ci-dessus, /(-) est transcendant (- > o). Il y
a des extensions aux fonctions entières d'ordre quelconque présentant des lacunes.
Nous étudions ensuite les nombres dérivés des fonctions entières ou
quasi-entières de la forme
?(a.) = F(.) + F,(l)-HF.(^)-H... + F,.,(^J.
(a,, ..., a« rationnels), où F(a?), F,(a7), ..., Fj^.,(a?) sont de la forme
J/l^3, ^^^ entier, gn=^k(^) j o</)„<e^(/i )*-'*, et aussi les
nombres dérivés de la somme, du produit, du quotient (fonctions quasi-méromorphes), plus généralement d'une fraction rationnelle à coefficients rationnels de fonctions <f(oc). Ainsi, quand les a^, ..., oe sont tous négatifs, tout polynôme à coefficients rationnels positifs de fonctions (f(x)j s'il ne se réduit pas à une fraction rationnelle en x^ prend pour x rationnel positif une valeur transcendante. Toute fonction rationnelle à coefficients rationnels des fonctions F(a7), où x rationnel quelconque, est un nombre, exceptionnellement rationnel, en général transcendant, et qui n'est jamais algébrique. Enfin F[F,(a?)] pour X rationnel > o est transcendant si /r^Âr^^S (A-, indice de F,).
On obtient des théorèmes analogues, mais souvent bien moins généraux, quand F(x) est d'indice 2 ou i. Ainsi, soient 6, 6|, O2, 0, les quatre fonctions 6 de Jacobi (notations du Cours d'Analyse lithographie de l'École Polytechnique, de M. Jordan); —^^ ^^ëm' ViW
T^7-r > • • • sont des irrationnelles (r entier > i ).
Il y a aussi des extensions aux fonctions non entières, avec lacunes, et dont le rayon de convergence est fini.
En terminant, nous définissons les nombres quasi-rationnels et les fractions ordinaires ou continues quasi-périodiques qui ont des caractères voisins de ceux des nombres rationnels et des fractions ordinaires ou continues périodiques : une fraction ordinaire ou continue quasi-périodique est un nombre transcendant.
La lecture de notre Mémoire exige seulement la connaissance du Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique, d'un passage d'un Mé-
moire de M. Hadamard indiqué plus loin, de notre Mémoire précité du Journal de l'École Polytechnique et de ce qui est nécessaire pour l'intelligence de ce dernier et s'y trouve mentionné.
§ I. — Sur les fonctions entières d'ordre zéro. Considérons la fonction
dont les coefficients peuvent s'écrire
Supposons de plus que, pour une infinité de valeurs de m, dès que m >- [i., on puisse écrire
(2) 6,>T>6 (6,, 6 donnés fixes),
quel que soit m, la valeur de t pour les autres étant > 0^.
Soit T| la valeur de t correspondant à un de ces coefficients satisfaisant à (2), d'indice m. Considérons, quand m croît, la suite des valeurs t, ; portons dans un plan où nous prenons deux axes rectangulaires Om, 0T|, m en abscisse, t, en ordonnée. Nous obtiendrons une suite de points compris entre les droites t, = 0, t, = 6,. Parmi ces points, quand m croit, nous en prendrons un pour lequel T| a une valeur t'^ ^ celle de tous les précédents (pour m = m'); puis nous prendrons m > m', et, quand m croît, le premier de tous ces points pour lequel t, = t*^t'^, si la chose est possible, et ainsi de suite. Si ceci peut se poursuivre indéfiniment, t'^ , t, , ... vont en décroissant indéfiniment (ou ne croissant pas), tout en restant ^ô. Cette suite 5, de quantités possède une limite yJi, c'est-à-dire que, dès que m est assez grand, t^|^= yj. H- ê (lime = o pour m = qo). Si ceci ne peut se poursuivre indéfiniment pour une certaine valeur m^ de /n, T| = t*, et les valeurs de t, correspondant à m > nil sont >> t'J'. On peut raisonner alors comme nous venons de le faire sur les quantités t, correspondant à m > m"'; ou bien on y trouvera une infinité de nombres t^,
T^, ... possédant une limite y)a au plus égale à tous les nombres t, quand m>m'^' ; ou bien on y trouvera une quantité t!('*, analogue à t'J^, et ainsi de suite. Finalement, en continuant, ou bien on trouvera une suite analogue à 5,, ou bien on aura une suite a de quantités t'J', t!J'\ ... correspondant à des valeurs m'J', m!j'', ... de m telles que, pour m > m}^\ par exemple, on ait t.^t^'^ Cette suite cj est formée de quantités croissantes ^ 0 ^ ; elle doit donc tendre vers une limite yj', c'est-à-dire que, dès que m est assez grand, pour une infinité de valeurs dcT^, T| = T)' — t' (lim£'= o pour m = 00).
Par conséquent, ceci s'appliquant aussi bien aux fonctions d'ordre fini ou infini, mais non transfini ( * ) :
Lemme. — Soit une fonction entière (i) /(^)=2«™ = 2a„a-»,
qui possède une infinité de coefficients a„^ tels que
(k entier positif y nul ou négatif )y avec
0i = T^6 (ft, ô| donnés etfixes)^
la valeur de 1 pour les autres coefficients étant plus grande que ^^.11 existe un nombre p tel que Ô^^i^Ô, etque f{x) renferme une infinité de coefficients a„^ satisfaisant à
(lime = o pour m = x)), les autres ayant une valeur plus petite que ne Vindique cette égalité. Les coefficients satisfaisant à l'égalité (3) seront dits principaux.
(*) Si Ton poselog-;fc(w) = eA(m).
28o EDMOND MAILLET.
Soit /r >► I , Nous avons vu dans un Mémoire antérieur ( * ) que Ton avait alors
(r= |a;|), dès que r^Ç, ^ fini, et que, pour une infinité de valeurs de \x\, \f(x)\^r^*-**^^^^f'''. Mais ce résultat ne fournit aucune indication sur le caractère spécial que donne kf(x) le nombre p parmi les fonctions d'ordre zéro satisfaisant aux conditions du lemme précédent. Il nous suffira, pour ce qui suit, d'établir à cet égard la propriété suivante :
Théorème. — Soit une /onction entière
oà, pour une infinité de valeurs m, de m,
les autres coefficients a^ ayant un module plus petit que ne Vindigue celte égalité.
Prenons \x\ = ri (^)
logr^ = ^i - £J e^,(m,)[e^.,(m,).,.e,(m,)m, + i].
On a
\f(x)\ = {i-ht')e,(m,y^ ^ Pour une valeur quelconque de\x\ = r déterminons m^ par
logr=^^ - £")eA-^(ma)[^;t 2(m,)...e,(m2)m,4-i]
( ' ) Comptes rendus, p. 4o7» prop. V et VI, 17 août 1908, et Journal de l'École Polytechnique, 1904 et 1906, p. 43.
( * ) Pour A: =7 1 , Ja propriété correspondant à ce théorème est établie dans notre Mémoire précité. Nous supposons doue X: > i.
{z" fini y mais aussi petit qu'on veut)\ on a En effet, on a, pour r = | a? |,
(6) logl uj^ = mlogr '— ^i - ej m ej,.,{m).
Pour une valeur de r, m étant entier ou non , l'expression du deuxième membre de (6), où on laisse e fixe, est maxima (elle comporte évidemment un maximum et non un minimum) quand
(7) log''- (^ — t^ ej,,{m)[e^^{m) . . .e,{m)m + i\ = o.
Donnons à m une valeur m^ assez grande, et telle que \a^\ soit coefficient principal, et à e la valeur correspondante £< ; la formule ci-dessus nous détermine une valeur r, de r. On a
log|"'nJ = (^ - ^^)^k~^{JfU)[ck^^{n^,)...m\ + m,\
l0gl"mj=(^ - £|)^A-4(^l)^A-2(/'«l)...^*(/'îO''*ï-
Soit w„,^+, (i positif ou négatif ^ o) un autre terme de la série \u .< ^^-^ •
e;t(/w,-hi)VP ^^
dès que m, -h i est assez grand, | e' |< £2>
logl u„,^^i \<{m, 4- «) logr — (~ - £2) (m^ 4- i) e^,(m^ -h 0-
Lorsque r a la valeur r^ [formule (7)],
I "//Il I vP /
— (J - ^2) (^i + i) €^, (m, 4- i) log
<iei,^,{m,)€i,^{m,)...e,{m,)m,-{'{m,-^i)e^,,{m,)
- (i - ÊsX'Wi -H i)e^^,(m, 4- i) = N,- (£3 fixe).
Considérons la valeur de N, quand i est entier ou non. Soit ï >• o :
Si A^ = 2 :
N,.= e-.m, ^i + -1. + 1) - (i - £3)(/Wi + 0^"**""'
Or
La dérivée de la parenthèse par rapport à i est
/yi|4-i - (i — £3)^'- (i — £3)(/w<-h0^'-*-^^^<o,
dès que X = o, i , i^\,
La parenthèse est alors au plus égale à
car Ve> 1,62, et
N,<-o,ie''
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBBES TRANSCENDANTS. a83
En général, quand A: >' 2,
N/^e*-,(m,)'^''(i + ^ -m) - (i — e,)(m, + i) «*,(/», + 1), où ej ne dépend que de m, (lime', = o pour w, = ao),
dès que 1^5 et Ar^3;
- [i - e,)(m, + i) - X] eA,(m, + i) < o, N,<-Xe*.(/w, + i) (i>^).
Finalement, quel que soit Aî> i, pour i> j, N/<— o, ie*,(w, -+-i),
^mi-t-i
X' fini positif, quand i au moins égal à ^, entier ou non;
mi+l
gX'W,(gV l)
<|«mj£4
(64 aussi petit qu'on veut quand m, assez grand). Soit maintenant i négatif et = — /, et ^ > i •
yf fini positif.
(«) Il suffit
ce qui a lieu.
«*-i(Wi-l-0=*»a^it-*('w,), c*-,(mi+ «)>logi, 2 -H eA.i(m,),
La somme des modules des m, premiers termes (à part un nombre fini) est
où £5 est aussi petit qu'on veut.
Nous avons négligé, dans cette évaluation, la somme des modules d'un nombre fini de termes, somme plus petite que
Ar^* (A, (x^ finis),
dont le logarithme est plus petit que log A -h pi, logr,, terme aussi petit qu'on veut par rapport à log|i/;„J [formule (8)] quand m, assez grand.
Finalement, le module de |tt,„J est aussi grand qu'on veut par rapport à la somme des modules des autres termes.
Nous avons ainsi établi la première moitié de notre théorème :
Il existe une infinité de valeurs entières m^de m pour lesquelles le module def{x) est
|/(^) I = (i + ej I M,„. I = (i -h £ )6>,(m, )^P ^
quand
a^f^^ étant alors un coefficient principal.
Passons à la seconde moitié.
Au lieu d'opérer en donnant dans (7) à r la valeur qui correspond à m = m^j nous pouvons nous donner, a priori, r et considérer la série
r étant donné, si nous cherchons le maximum de ^, nous sommes
conduit à(7), oÙ£ = o, et nous savons que, si m^ est la racine corres-
pondante [(7) n'en ayant évidemment qu'une],
Pour la même valeur de r, formons log|-%^| ('^a-H t" entier).
— {m^+ i)ej,,{m^ + i)
- ek-i (/Wj) . . . ^, {ni:,)m\ = N;
+ {m^-^ i)ek^,{m.,) - {m^+i)ej,^,{m^-{'i).
m a + i est entier ; si / = o, l^m^^t = V ; soit î^o : quand | i' | ~ i , tous nos raisonnements faits sur N,- s'appliquent à N^ et l'on est conduit aux mêmes limites supérieures de N^. ; le seul cas où il est douteux que des inégalités de même nature aient lieu est celui où j^Ki, c'està-dire celui qui correspond aux termes Ue(«,„ l^Einn)-*-! ^^ supposant m^ non entier.
La somme des autres termes de £ U^ d'après ce qui précède est ^ e, V, Pour montrer que SUto=(i -H £7)V, il reste à faire voir que
Soient
E^m^) = m^ — ï,, £(^2*) -i- i = mj-f- i^j
i^ H- /, = I , îj, ou ï, ^ T
Il s'agit de prouver que, si
tJE(//i,) Y tJE(m,)-+-|
Quand /r = 2,
car e'^ I -f- î, i positif ou négatif;
Les deux valeurs X, , X^ sont au plus égales à
le"** .t
où a est aussi grand qu^on veut. Leur somme est
I i^ I ou I i^ I est > -> et Tune des quantités a~'' ou a""'« est aussi petite qu'on veut pour m^ assez grand; par suite, on a bien S^i-f- e,. Quand A: > 2, on a pour i^^-y
log
mr^ij
d'après ce qu'on a vu pour N,.
D'autre part, pour i négatif = — f , ,
si
par suite, quand /r^3, l'un des rapports -^^> ^{m^)-^i^ ^^^ toujours
aussi petit qu'on veut pour m^ assez grand, et leur somme est bien encore ^i 4- Sg.
Par conséquent y ^^m ^^^ bien < V(i -h e^).
Étant donné alors /(a?), où \a„^\-^^ei,(^iny^ ^'", on peut choisir une quantité e" finie aussi petite qu'on veut et telle que, à partir d'une
certaine valeur de m, \ajnY^^e^{rny^ '''". Le module de /(a:) pour 1x1 = r est <(i 4- £T)y Çî — r— Posant --£''=-, et
appliquant à la série du deuxième membre de cette inégalité le résultat obtenu pour SU;„, on arrive à la seconde moitié du théorème.
Remarque. — Il suit de là que le nombre p est bien pour la fonction/(a;) un nombre caractéristique. Si
t;*(/M)P on a, quel que soit | a; | = /•, M;, étant le maximum de \f{x) | pour
et, pour une infinité de valeurs de /• déterminées comme l'indique l'énoncé
(10) M,>E(r,Ar,p-e).
On pourra dire alors que /( x) est d/ indice k et d^ ordre (o, Âr, p) (*). Les inégalités (9) et (10) sont encore vraies pour k = i (Mémoire précité, p. 34 et 36).
(^) Les extensions aux fonctions quasi-entières et aux fonctions monodromes sont évidentes.
Soit
une fonction entière quelconque; M. Hadamard a montré (*) que Ton
pouvait toujours déterminer une fonction (fm de m telle que Ltp^n
(K entier arbitraire), et, a fortiori^ h(f^ ou 9^ fût constamment croissant avec w, dès que m dépasse une certaine limite, et telle encore que
l'égalité |aTO|~* = 9^î ayant lieu pour une infinité de valeurs de m. Soit /W| une de ces valeurs :
T^«^ > Tmi-+-/ «s^ /
l«m»-H/|- Ym\
Nous pouvons ainsi énoncer ce théorème, corollaire immédiat du théorème précité de M. Hadamard :
Théorème I. — Soil (il) /(a;)=2«".=2«'»^
une fonction entière absolument quelconque : on peut toujours déterminer une fonction (f^ croissant constamment avec m, et telle que (i) renferme une infinité de coefficients a^ satisfaisant à V inégalité
(■=) fei>f'-"
quel que soit / > o.
(') Journal de mathématiques f 1893.
On peut indiquer une variante de l'inégalité (12) qui peut être utile : nous aurons
Donc, a fortiori, on aura
> fm^i Çm-t-a • • • fm+l
pour une infinité de valeurs de m.
Il est évident que ces inégalités (12) et (i 3) se conserveront pour une fonction ^^ croissante, mais telle que ^m<i 9m*
Dans le cas des fonctions entières d'ordre non transfini ou d'indice fini, un de nos Mémoires précédents (*) permet une détermination simple et directe d'une pareille fonction '>p,„, sans qu'il soit nécessaire de s'appuyer sur l'inégalité (a) de M. Hadamard.
En effet : •
1** Ordre >o <?/ non transfini. — Prenons une fonction d'ordre (7r, p), ^n nous bornant au cas où p est fini et :^ o; il y a une infinité de coefficients a,;, tels que
(i4) |a,„| = (log^t'^) ^ (où e dépend de m),
les autres ayant un module plus petit que ne l'indique cette formule. Prenons ces coefficients a^^^ si, pour une infinité d'entre eux.
(.5) Jî^>[log,(m + 0]^^""^
quel que soit ï (ê, fini, positif, aussi petit qu'on veut dès que m dépasse une certaine limite, mais indépendant de m), on peut prendre dans (12), mais non dans (a),
?«=^«=Oog;t/i/"'^ Sinon, on a, pour une infinité de valeurs de /w, par suite pour une
(*) Comptes rendus, i«'sein., p. 348; 2« sera. 1908, p. 407 et 478; Journal de l'École Polytechnique, 1904.
d'entre elles, des inégalités de la forme
<^m-hij
< [log;t(m 4- ij)V'j,
où T est fini et positif (t fixe).
Ceci ne peut avoir lieu pour une infinité de valeurs de ij^ t|, tj) • • » sans quoi dans la série
m-hii I
il,
>\Un
et
[log^(m4-^l)p'. [logjfc(m + *,)?'•
Le second membre est une série entière d'ordre (A:, -] X^r, p),
alors que £ est forcément d'ordre ^(A:, p); résultat absurde. Donc l'inégalité (16) n'a lieu que pour un nombre fini de valeurs ij. Soit i^ la plus grande de ces valeurs. On a
et, quel que soit /,
>[log^(m-^i'-ht)f
l , I ^ |a«+f|[log*(/» + t')]^''
ûf/»+f+/
>[log,(m-*-i'4-/)r
quel que soit /; en sorte que l'inégalité (i5) a lieu pour a^^f : il y a alors une infinité de valeurs de /n H- i' satisfaisant à cette inégalité, et l'on peut toujours prendre
1^n=(l0gA»/
2° Ordre non nul, indice non infini. — Les mêmes raisonnements subsistent avec des valeurs négatives de /t, grâce à la notation
log jfc^r = ej,'{x),
au théorème du paragraphe T, page 280, et à la remarque de la page 287. c. Q. F. D.
On peut d'ailleurs toujours supposer que a^^i' est un coefficient principal, c'est-à-dire satisfaisant à{i[\). En effet, sinon, soit
avec Tj — - fini et positif. D'après (i4) et (i6),
avec T < - < T,, et, a fortiori,
ce qui est absurde.
Nous pouvons ainsi énoncer le corollaire suivant :
Corollaire 1. — Soit
une fonction entière absolument quelconque d'ordre (A", p) non transfini ou d'ordre (o, -^ k^p) et d'indice — /r >• o fini. Il y a une infinité de coefficients a^ principaux, c'est-à-<lire satisfaisant à
la™l-' = (log*m)'"^'P"*), et tels que
(12 bis) -^ >\o^k{m^l)
quel que soit l^o (e, fini, positif, aussi petit qu'on iwut dès que m est supérieur à une certaine limite).
Journ, de Math. (5« série), tome X. — Kasc. Ill, 1904. «^7
Ceci va nous permettre dé déterminer une limite supérieure du module E,„ de l'erreur commise quand on s'arrête, dans le calcul de/(x)y au terme d'indice m jouissant de la propriété (12) ou (12 bis). On a
'fm-,1
et, si 1 0? I ^ ^, m assez grand par rapport à $,
Tm-Hl
Quand m est assez grand, l'erreur a son module aussi petit qu'on veut par rapport à celui du dernier des termes non négligés. Nous obtenons ainsi ce corollaire :
Corollaire IL — Tout étant posé comme au théorème ci-dessus, et a^ étant un coefficient satisfaisant à (12), o/i a
kl
<\''-^^dr±i^'
(*) On voit de suite que cette inégalité subsiste quand le premier terme ^o après Um a son indice > m H- i . Elle est, en effet, remplacée par
?/«-HtiL,
?w-Hl I <pm-+-l
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 2g3
et même y si m est assez grand par rapport à\x\^
?m-Kt
Prenoijs une fonction /(a;) d'ordre (/r, p) non transfini ou d'indice fini. D'après le corollaire ï, on peut trouver une infinité de coefficients principaux tels que
(k négatif = — t pour les fonctions d'ordre o). Appliquant le raisonnement qui nous a conduit au corollaire II, on conclut :
Corollaire III. — Tout étant posé comme au corollaire /, on a, pour une infinité de valeurs de m [a^ coefficient principal satisfaisant à (12 bis)]
logA(m-+-i)P
Dans certains cas un peu plus particuliers on peut écrire une inéga
lité analogue pour toute valeur de m. En effet, supposons que -^^
soit constamment décroissant, quel que soit W, et tende vers o quanc n croît indéfiniment. On aura pour toute valeur de Xj et pour m assez grand, J M-C^)? "^^is quelconque,
où
^rn-i-i
tk (t>2),
k étant aussi petit qu'on' veut dès que m est assez grand;
Ûf/n-+-«
kl
diffère donc de | u^+i \ d'aussi peu qu'on veut, et
avec
Xw+i —
Si certains des coefficients Un étaient nuls, le raisonnement subsisterait à condition de supposer que le rapport
(ût»=7^o, a„+v7^o, a„^., =...= a;,+v-i = o)
fût constamment décroissant et tendît vers zéro avec -• Dans la der-
nière inégalité, il faudrait remplacer i/,;,^, par u„,^^
(«m+i = . . . = «m+ji.-i = o^ a^^ o, a^^^^ ^ o).
Corollaire IV, — Si/(x) est une /onction entière telle que le module du rapport d'un terme ^o au suivant croisse constamment et indéfiniment as^ec son indice n, pour toute valeur de x donnée^ au moins à partir d'une certaine valeur de Vindice^ on a, dès que m dépasse une certaine limite,
|«m^jij(l~0 =
^l'^n.-HtJO-^O.
e tendunt vers o avec — j u^-^, étant le premier des termes d'indice >m qui soit ^ o.
Nous allons encore établir deux lemmes préliminaires sur les fonctions ^^(a;).
A quelles conditions a-t-on
(hO
><-*(«)-», a>i, T:fixe>^,
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 2gi
OU
Premier cas. — Il faut
(n 4- i) Q -h ej ^A-, (n -m) > wTa ^;t^, (/i). Pour A: =11 , ceci est impossible; donc A: > i . De plus
log ^{n -h i) ^i -h e)j H- e^^^{n -m) > log/ixa -h ej^^^(n). Quand k = 2, \l faut
/ita
Ta.
Si T — - est assez petit, on pourra prendre a = i ou 2, ou encore
a = 2, I par exemple.
Quand Ar>3, il faut
[e'*-("+«)-**-(«)— 1] <?*i-.f'»)>log/iTa -r log(/^ -h i) (- -I- e),
ce qui a toujouFS lieu pour n assez grand. Donc :
Lemme I. — Soient 1 et p deux nombres fixes, avec t > o,
a un nombre > 1 Ona :
i^ Sii est assez petit,
pourvu que ol^i, i ;
2° Pourk>3, quel que soit OL.
2q6 . EDMOND MAILLET.
Deuxième cas. — Il faut
(- -H £j e^t-i (/i -M ) > ^i^a ek^,{n) {k > i),
[ge^,(/i^n-^A-3(") — i] ^^*-.f")> logn'Ta — log (^i H- sj,
ce qui a lieu, quels que soient t et a, dès que A: ^3. Donc :
Lemme il — Tout étant posé comme au lemme /, on a pourk^3j
quels que soient t et a, dès que n est assez grand.
§ III. — Application à la théorie des nombres irrationnels ou transcendants.
Nous pouvons maintenant passer aux applications de la classification des fonctions entières d'ordre non transfini ou d'indice fini à la théorie des nombres irrationnels ou transcendants.
Nous rappellerons d'abord cette propriété fondamentale, due à J. Liou ville (*) : ^
Propriété I. — Soit ^ une quantité quelconque positive ^ ^j
(T' '"' (T^ '" ^^^ /''^^îc/f 0/15 rationnelles réelles ou imaginaires à
dénominateur réely qui tendent vers la limite $ quand n croit indé- /iniment, et dont les dénominateurs croissent indéfiniment^ au moins à partir d'un certain indice. \ ne peut être racine d'une équation algébrique à coefficients entiers de degré ^a, c'est-à-dire \ ne
(*) Journal de Liouville (ou Journal de Mathématiques)^ i85], p. 137; ou encore Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, p. 27. Paris, Gaulhier- Villars, 1898.
peut être une irrationnelle algébrique de degré ^ a que si Von a, dès que n est assez grand.
>MQ«'
M étant une quantité finie indépendante de n (*).
Considérons maintenant une fonction entière /(x) à coefficients rationnels et réels. Nous pourrons toujours écrire
Pn 6t qn étant entiers positifs, premiers ou non entre eux, et q^ étant divisible par qn^^j qn^^y • • •? S^o- ^ous supposerons toutes les f onetions entières à coej^icients rationnels que nous considérerons mises sous cette forme.
Substituons alors à x^ dans f(x), une fraction rationnelle réelle
-y et admettons que/(^ j soit rationnel et = ^ ( A, B entiers premiers
entre eux). On aura
Aqmq-= Bq„,q-(± f^ ±...± |^ ^l^) + BR,,gr„,gr-.
L'expression \Bq„^q"'R„^ | devra alors être nulle ou égale à un nombre entier ^i.
On a B.m^ o, soit si tous les coefficients a« sont positifs à partir d'une certaine valeur de n, soit dans le cas des séries du corollaire IV : plaçons-nous dans ces deux cas [(cas A)].
D'après le théorème I et le corollaire II (ou encore les corollaires I
a' -4- S'/ (*) Si Cm J-— , avec at', p', y' entiers réels, celle inégalité est vraie pour
at =11.
à IV), pour une infinité de valeurs de ///,
p étant donné, il y aura impossibilité dès que
?/iï-H
décroît indéfiniment avec — (^„,^i). Par conséquent :
1® Si ç„,< 2'", on ne peut affirmer l'impossibilité que quand /> = i, pourvu que p„^ soit d'ordre de grandeur < Qp;„^, ; alors (f„^ > 2"'"' : ce sera donc le cas pour toutes les fonctions entières des formes en question, en particulier pour celles d'ordre non transfini ou d'indice fini (corollaire I du théorème I), car on peut prendre pour elles
?i»=(logjfcm)P '\
et si ç„,^2"', l'impossibilité a Heu a fortiori;
0? Si ^"*< 9m S (^ + 1)'" {s entier), on ne peut affirmer l'impossibilité que quand /? ^ 5, pourvu que p^^ soit d'ordre de grandeur plus
petit que celui de ^^* Ce sera, en général, le cas des fonctions entières
d'une des formes en question et d'ordre (o, i, p) : pour ces fonctions,
qui sont d'indice i , sera déterminé par
qui sont d'indice i, on peut prendre (corollaire I) 0^= e ^p '% et s
(i positif, petit), puisque £< tend vers o quand m croît indéfiniment. Si - est infiniment grand (cas des fonctions d'indice ^2), on peut affirmer l'impossibilité quel que soit/>, pourvu que p^ soit d'ordre de grandeur plus petit que celui de ^^^ • Prenons
il suffira que p^, soit d'ordre plus petit que
ex{m + i)P "'*e-î''*+*î'w= ek{m -h I)P~'*"^ avec
L'impossibilité sera manifeste si /?;^$^a('^ -I- i)% où "i^^v]
(y] fini positif), c'est-à-dire que dans ce cas /f — j est toujours irrationnel.
3*^ Enfin, si ^^3, on peut aller plus loin encore : nous savons déjà
que, pour les deux formes de séries considérées, /(—) n'est pas
rationnel, pourvu que />;„^ e;t(w -f- i)*^. Je disque/^-j ne peut être
algébrique, quand Pm^^ki^T"'-
Considérons une fonction entière absolument quelconque d'indice ^^3, pour laquelle j9;„2^)t(/^y"*j où t est fixe et < -• Soit
OÙ $ est algébrique, et non rationnel, de degré a > i. On aura forcément R;„:^ o, puisque N est rationnel et Ç — N irrationnel. Les signes des coefficients a,- sont donc indifférents, et ceci nous permet néanmoins de prendre pour a^ un coefficient satisfaisant à (i 2) et d'appliquer le corollaire II, tout en ayant la condition Rw=^ o. Ceci posé (propriété I),
|$^N|= S-g^^ >^, ,^ ,^ (Mfini), Donc
Pour les fonctions d'indice fini, d'après le corollaire I, on peut prendre (p;„+|>(?;t(/n-f- i/ * (/r^3), et il faut (*)
où T,, Ta sont finis, a,„ satisfaisant ici à (i 2 bis). D'après le lemme II, cette inégalité est impossible, quel que soit a, et /(-) est transcendant.
/( — j est d'ailleurs ici irrationnel dans les deux cas (A), car
(lemme II), pour m assez grand.
Nous pouvons alors énoncer ce théorème :
Théorème II. — Soit une fonction entière d'ordre ou d'indice absolument quelconque^ même trans fini ou infini^
à coefficients tou^ rationnels et réels : on pourra toujours supposer
(/?„, q^ entiers^ premiers entre eux ou non)^ q„^i étant divisible par g'rt ( « >• o). Supposons de plus [^conditions (A)] ou bien que les a^
soient positifs, ou bien que -^ croisse constamment et indéfi-
niment avec n (a^j a„^^L^Qj O;,^, =. . .= a^+j^,, = 0, [jl>o). Si à partir d'une certaine valeur de /i, pj^ est d'ordre de grandeur inférieur à une certaine fonction croissante <S}^ de n qui dépend du
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 30l
mode de décroissance des a^j /(-) ^^^ irrationnel, quel que soit
l'entier q^i. En particulier /(i) est irrationnel. V ordre de grandeur de ^n croit ai^ec l'ordre de grandeur des imerses des coeffi,-^ dents a^-
Quand ces fonctions entières sont d'ordre (o, i ; p)»/ (— ) (p, q positifs premiers entre eux) est irrationnel dans les mêmes conditionSy tant que p ne dépasse pas une certaine limite.
Quand ces fonctions entières sont d'indice ^2, /(—) est irrationnel dans les mêmes conditions.
Enfin quand ces fonctions entières sont d'indice ^3,/(-j est
transcendant.
On peut déterminer pour toutes celles de ces fonctions qui sont d'ordre non transfini ou d'indice fini des limites supérieures de p,n telles que ces résultats aient sûrement lieu.
i® Ordre non transfini (/r, p) ou indice fini — A\. — Il suffit
p„<(\og^m)\
où T est fixe et < -> pour que /(-■ ) ^^it irrationnel. Ceci a lieu
même pour k = o ou k <^o {*).
2^ Ordre nul, indice f ni /c ^ 2. — // suffit p,n~ e^^m + i)^, oui est
fixe et <:'-* P 3^ Ordre nul, indice fini A^3. La fonction entière étant absolument quelconque [conditions (A) réalisées ou non\^ avec
p„<e,{my"^ (ifu:e<^y
f(—j ne peut être algébrique. Si donc les an satisfont aux conditions (A), /(—) ^^^ transcendant.
(*) log«im = e"S log,m = ej(/n) = 6*"*, ....
A ce théorème on peut rattacher la question 2339 posée par nous dans Vlnïer^ médiaire des Mathématiciens»
Nous allons encore établir la propriété suivante : Théorème II bis. — Tout étant posé^ comme au premier alinéa
croisse constamment et indé-
du théorème II, supposons que finiment avec n. Quel que soit Vordre de f{x)^ supposé toutefois non trans fini y fi—) est transcendant dès que - — - croit indéfiniment avec n et pn^Çlog/^ny.
En effet, considérons une fonction entière /(x) quelconque, d'ordre quelconque transfini ou non, mais qui ait des lacunes. On a (*)
Si [L croît assez vite avec m, pour a? = -> jR;„| < jtt^ — \â' On a
quand les conditions (A) ont lieu, et alors /(-j est transcendant.
Plaçons-nous en particulier dans le cas du corollaire IV et des fonctions entières d'ordre non transfini ou d'indice fini : R^"^ o. Il faut
mOLf.OL
si /(- j est algébrique. Prenons
PmiQog^my, T<i et fixe.
D'après le corollaire I, si a,„ satisfait à ( 12 bis),
£=^=(log*/n^(^•),
/>»= (log*/»)"*', g„,= (log*m)'"(p"'*\
f^>[log*(m-Ht.)](^-'•)""^^
(*) Nole(»), p. 292.
LES FONGTIOI7S MOKODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 3o3
Il faudrait
(m -h (x)log(^) "^ (p " 'O^"^ "^ (^)logA+i('^ + (^)
Que ^ soit positif ou négatif, ceci est manifestement impossible quand — i — croît indéfiniment avec m. ou même si seulement
où V„» croît indéfiniment avec m. c. q. f. d.
Remarque. — Ce raisonnement s^étend d'ailleurs aux fonctions d'ordre transfini quand p^^ est fini ou ^(fZf (® fini).
En effet, on aura, d'après l'inégalité (a) de M. Hadamard,
\<\^9Z \^n:\ = 9Z et sr^<(pr-^
(m 4- |x)log^^W (m 4- |x)logç«^^<malog5r + ma(i 4- 6 -h e
Il suffit encore que m -h jx = mW,»^ où W^ croît indéfiniment avec /w, pour que cette inégalité soit impossible, par suite, pour que /(- ) soit transcendant.
§ IV. — Addition des fonctions entières et des nombres transcendants. Soient les fonctions entières
OÙ 5^ est entier, -^ croît constamment et indéfiniment avec n. et
3ô4 EDMOND MAILLET.
OÙ pn est d'ordre de grandeur moindre qu'une certaine fonction de n déterminée comme précédemment. Si, par exemple, F(x) est d'ordre non transfini (ât, p), ou d'indice fini, on pourra prendre pour les valeurs
de an satisfaisant à (i 2 èti) (corollaire I) (p„ ou 4'« =i (\ogf,ny * (A: positif
OU négatif), y„= (log^t/i) p '^\ /?„< (log^t/i)^ (1: fixe < ^j au moins
à partir d'une certaine valeur de n. Le corollaire IV du théorème I est applicable à ces fonctions.
Les valeurs q^^ Çu Ç2J • > • 5 ?«? • • • (^tcmt données^ et les ± pn prenant toutes les valeurs positwes ou négatives compatibles avec les conditions ci-dessus^ nous dirons que les fonctions F(a:) corres-pondantes forment un ensemble E. Nous désignerons par SE V ensemble des ensembles E correspondant à une même valeur de k et de p.
Ces ensembles jouissent de propriétés arithmétiques curieuses, dont nous allons nous occuper (*).
1** Somme algébrique ou arithmétique des fonctions de E ou de SE.
A étant rationnel, AF(a?) appartient à l'ensemble.
Si F(x) et F, (a?) appartiennent à l'ensemble E, F(.r) rh F, (a;) lui appartiendra, à moins que cette somme ne soit un polynôme P(.r), c'est-à-dire
F Hz F, = P.
Donc
La somme algébrique f(x) d'un nombre fini quelconque de fonctions F, F,, Fa, . . . rfe r ensemble E lui appartient ou se réduit à un polynone.
D'après le théorème II, F^^ h F J^ j, • • • sont respectivement irrationnels (pour /? = I , ou /? > i) ou transcendants. Suivant ces divers
(*) Les extensions au cas où le^ pn ^^ p sont imaginaires sont assez souvent évidentes : nous en ajouterons à Toccasion.
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 3o5
cas, nous dirons que les nombres irrationnels ou transcendants correspondants forment un ensemble H^ (^, q fixes). Les fonctions F(a7), F, (a;), . . . seront les fonctions génératrices de ces nombres. Donc :
La somme algébrique d'un nombre quelconque fini de nombres de V ensemble H^ est un nombre de V ensemble , à moins que la somme algébrique des fonctions génératrices correspondantes ne se réduise à un polynôme.
On peut généraliser cette propriété quand Ar > 2 : le nombre F^ f ^ ] peut être considéré comme engendré par la fonction
pour a? = — ^ en posant
\PÇiJ Çn Qn
On a, au moins pour les valeurs de n satisfaisant à (1 2 bis\ k étant supposé fini,
Pn(qp^y<e,(ny^\ {pq,Yqn= e,{ni^''"'^\
62, 6, tendant vers zéro quand n croît indéfiniment. Donc ¥^l\x) appartient aussi à un ensemble W^ analogue à E, qui contient d'ailleurs E, car les fonctions F(a7) de E sont de la forme
OÙ
(pg^ypn<e,(ny'-'^.
Le nombre F( — j4-F,( — ) sera respectivement au moins irra-
(*) Si A:^3, on peut prendre pn<ek{ny'^ y avec x ûxe < -•
3o6 EDMOND MAILLET.
tionnel, ou transcendant suivant que A: = 2 ou fr > 3, sauf si
se réduit à un polynôme.
Si nous supposons de plus tous les coefficients de F(a7) ou F^/^(a?) positif Sy celles des fonctions E ou E^*^ qui jouissent de cette propriété formeront un sous-ensemble E' ou E'^*\ E'^'^ contenant E', La somme arithmétique de deux ou plusieurs fonctions de V ensemble E' ou E'^*^ lui appartient et ne peut se réduire à un polynôme. La somme arithmétique d^un nombre fini quelconque de nombres du sous-ensemble H^^ ou H^y {correspondant à E'^*^) lui appartient.
Mais, de plus, soient deux de ces sous-ensembles H' , H^.^^, de nombres issus de E'. Ces deux sous-ensembles appartiennent à H^y, d'après ce qui précède ; donc :
On obtient tous les nombres irrationnels ou transcendants^ respectivement ^ engendrés par les fonctions du sous-ensemble E'
quand X prend les diverses valeurs - (cr, j(^ entiers positifs limités)
en donnant à x dans les fonctions d^un sous-ensemble ^'^^^ analogue et contenant E' une valeur rationnelle arbitraire y i par exemple. Le sous-ensemble H'^^^ de ces nombres est tel que la somme arithmétique de deux nombres de H'^*^ appartient à ï{'^^\
Quels que soient xs et x^, E'^'^ appartient à SE' et H'^*^ à SH^^ qui correspond à SE'. On obtient donc tous les nombres transcendants que peut donner E' quand x est rationnel, en donnant à x dans les fonctions de SE' une valeur rationnelle arbitraire, par exemple a? = i .
Soit, en particulier.
et faisons a?= -•
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 3o7
c'est-à-dire que, si
fonction de E' et la fonction
Plus généralement, soient a = — un nombre rationnel, F2(z) une
appartient à H'^^^, pourvu que — soit > a, ce qui a lieu si a < o (nous
supposons toujours— >oj.
Appelons alors Tensemble des fonctions quasi-entières
où F(z), F|(>2), ¥2(2)^ . . . appartiennent à E', ensemble Q de /onctions quasi-entières dérivé rfe E' (a,, a^, . . . négatifs et donnés y en nombre limité) : la somme arithmétique de deux fonctions de Q
appartient à Q. U ensemble des nombres ?(-) coïncide avec un
ensemble de nombres analogue à H^^, et est compris dans £H',,.
Autrement dit :
Théorème III. — Soient F(a7), F|(a;), ... des fonctions appartenant au sous-ensemble E'; a,, aj, . . . , a^ des nombres rationnels positifs ou négatifs, et la fonction quasi-entière
Si E' est d* indice > 2 ( * ), ç ( - j e^/ irrationnel dès que - e^/ rationnel,
positif et^aj^ quel que soitj. Si E' est d'indice ^3^ (fl-jest transcendant.
(^) L'indice de Tensemble est rindice commun aux diverses fonctions de cet ensemble; de même pour Tordre.
Journ, de Math. (5* série), lome X. -^ Fasc. UI, 1904. ^^
3o8 EDMOND MAILLET.
Pour les fonctions quasi-entières d'indice < i d'un même ensemble E, on peut aussi obtenir des applications arithmétiques intéressantes, mais
beaucoup plus particulières. Nous savons seulement que Ff ^ j est irrationnel pour des valeurs de p limitées; la fonction F^ ( — ] introduira la
quantité F( - ] que nous ne savons irrationnelle que pour des valeurs
de q limitées. On est conduit à ne considérer que des valeurs de jo et g' limitées. Nous prendrons en particulier /? = t , 5^ = i et les fonctions
quasi-entières F(a?) 4- F, ( — j = 9i(a?), de façon que le raisonnement
soit toujours applicable, même si F(js) et F, {z) sont d'ordre fini. Dans ce cas, on peut considérer le nombre F(î)-4-F|(i) comme
issu aussi bien de F(rc) h- F^ ( - j que de ¥{x) + F, {x) pour a? == i .
Par suite, le nombre F(i) -i- F^(i) + Fa(i) 4- .. . provenant d'une somme de fonctions de la forme ^i{x) issues de E sera irrationnel, sauf si la fonction F(a;) -h F^ {x) -h ... se réduit à un polynôme.
Théorème IV. — Soient F(a7), F, (a?), ... des fonctions de Vensemble E d^ ordre ou d^ indice quelconque : F(i ) 4- F, (i) -h . . . est irrationnel si F(x) -f- F|(ar) -f- . . . ne se réduit pas à un polynôme. Par suite ^ si F (a?) et F|(a7) ont leurs coefficients positifs {ensemble E'), et si (p(a7) = F(a;) + F, (^ b ç(i) et toute somme arithmétique de nombres (p(i) sont irrationnels.
Considérons particulièrement les quatre fonctions 6j 6,, O^, 6, de Jacobi sous la forme
71^— Il «r 9/1-4-1
^-«•— »j2JW-l
OU encore
ir^^z) =2(- ,)«/-•-» (z'-' - ^);
On a r«'-^ = R^"^' avec R = r""^* = e ' (on suppose ici
r entier réel et >i), et 6(z) et 6«(^) sont d'ordre (o, 'jtv")' ^^
d'indice i aux environs de leurs deux points essentiels, ainsi que leurs dérivées ( * ). De même, si
r«' = RÎ", R, = r*«=r^=e* ,
et 62) ®8 sont du même ordre que 6, 6^, ainsi que leurs dérivées. Cette propriété a lieu aussi bien aux environs de z = o que de z = 00.
(*) La dérivée d'une fonction entière ou quasi-entière d'ordre non transfioi, ou d'indice fini est évidemment de même ordre ou de même indice.
Au sujet de 0,(5) comp. E. Lindblôp, Mémoire sur la théorie des fondions entières, p. 43; Acta Societ. Scient. Fennicœ, t. XXXI, '902; Hadamasd, Mémoire couronné, Journal de Mathématiques, 1898, p. 179.
3lO EDMOND MAILLET.
On a 6(i) = o. Mais r^6^(i) et 6,(i) ont tous leurs termes positifs, et, par suite, sont irrationnels (*) quand r est entier. De même pour 6a (i), le corollaire IV du théorème I étant applicable aux quatre fonctions 6.
On voit encore que toutes les dérivées de r^B^(z) et ^^{z) autres que les dérivées premières sont irrationnelles pour z = i (rentier >i). En eflet, on a
d^tx'"^ = Sr-^'-^f^^'»-^^-^* (2/1 + l)2/l. . .(2/1 + 2 - 2X) -f. ^2«-2>^« (2/^ H-l) (2/1 4- 2) . . . (2/1 + 2X)].
En laissant de côté un certain nombre de termes relatifs aux petites valeurs de /i, ceci peut s'écrire, pour z = îj
Sr— Hx (/i>o).
Ex étant un polynôme en n de degré 2X, ce qui est la valeur de
pour y = I . Pour cette fonction, d'après le corollaire I du théorème I, et
qui, pour r> i, est d'ordre de grandeur supérieur à II^, dès que n est
assez grand (p. 3oi) : donc la dérivée ( 2 X)'*™'^ de r^^i(z) est irrationnelle pour z = i.
On peut faire un raisonnement analogue pour les dérivées d'ordre pair de 63 (^).
De même, pour les dérivées d'ordre impair, autres que les dérivées
premières [e;(i) = e;(i) = e;(i) = o].
(^) Propriété déjà indiquée par Liouville {Journal de Mathématiques, i85i» p. i4o), en ce qui concerne une de ces quantités.
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 3l î
Ainsi
^Sr =2 r-»'[^^"-^^-* 2/l(2/l - l). . .(2/1 - 2X)
— Z""*-*^""* 2/l(2/l-Hl)...(3/l-H 2X)] (/l>o).
Ceci s'écrit encore, pour ;2 = i,
jç^x étant un polynôme en n de degré ^2X qui ne s'annule pas, dès que n est supérieur à une certaine limite, et qui a une valeur négative.
Le corollaire IV du théorème I étant applicable à ^ '"""^X^^" (^ > o)? le raisonnement s achève comme précédemment, et ,^y^^^ est irrationnel pour J5 = I ; de même pour les dérivées d'ordre impair de
En résumé :
Corollaire. — Soient 6(;2), 6,, 63, ô, les quatre fonctions 6 de Jacobi, açec, par exemple,
r étant entier réel >i. r*9,(z), 6» (-s), ^/ toutes leurs dérivées d^ ordre ^2, ^/i/?/i 62 (^) ^^^^^ pour z = i, rfe^ quantités irrationnelles (*).
Il en est de même pour toute fonction linéaire à coefficients rationnels
positifs de r^6<(z), ^^{z) et leurs dérivées d'indice pair et de 6a(z), quand z = 1 ; car les corollaires I et IV du théorème I sont applicables à cette combinaison.
(^) Nous n'insistons pas sur l'extension possible de ces résultats aux dérivées
de ir^^{z) et de ei(x;).
3l2 EDMOI4D MAILLET.
§ V. — a** Produits de fonctions de E om rfe V E. Multiplication des nombres transcendants.
Considérons les deux fonctions F(a7), F, {x) de l'ensemble E, et ¥{x)¥,{x) =2^^2— "^ (i^»' P'n' P^si^^s ou négatifs).
Nous supposerons ici que, dès que n dépasse une certaine limite,
5^;^= ejt(n)^P ^ , quel que soit 71.
Nous pouvons faire le développement de ce produit en mettant en évidence la somme
qi r V q^ ^dq^ îv -^ qn q*
Admettons que l'ensemble E soit d'indice Âr >3. On a
F(x)F,(a.)=2^- On peut aussi écrire
qi ^v 7v-i qi
OÙ ts„j ct'^ sont d'ordres respectivement au plus égaux à ceux de q^^ multiplié par celui de la plus grande des quantités pnPn-\^j ^'='^)> ou à celui de py,p^^\
Considérons plus généralement
■*" qn ^" qn
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 3l3
Ce sera la somme de termes dé la forme
-"9» '"^ çn gi '
Nous supposons ici p,,, ...,/>J,^~*' croissant assez lentement avec v. On aura ainsi
avec
<i;*'(a;) = P,a;^% P, = /,,... p<^-«, les ^'■^ étant des polynômes à coefficients entiers. Ici (lemmes I et II)
OÙ 6, tend vers o avec -• D^ailleurs ^v"*?^-! divise yî-^yC.^, dès que
j < i, car le quotient est ( -^ j •
Nous sommes ainsi amené à étudier les expressions de la forme
où
les polynômes 4'i) •••? ^l^^ étant de degrés £Xv, et leurs coefficients,
3l4 EDMOND MAILLET.
qui sont entiers ( * ), d'ordre ^ ^a(v)''«, si l'on suppose que |/>v|, |/>t*^|t . . . aient une limite supérieure de même forme. Qi'"*^ divise Qv\ Qi^» divise Q;^j.
Considérons l'ensemble des fonctions g^^\x) satisfaisant à ces conditions : la fonction Y{x) est évidemment de la forme g^^^x). Le produit de deux fonctions g^^\x) est une fonction g^^^\x). Toute somme algébrique de fonctions (*) g^^\x) est une fonction g^^\x). Le produit de 7^ fonctions F(x) deE appartient à l'ensemble g^^(x) [c'est-à-dire est de la forme g^^\x)].
En considérant les produits de X fonctions au plus du sous-ensemble E' on obtiendrait de même une suite de sous-ensembles tous contenus respectivement dans les sous-ensembles -f^^x) déduits de g^^\x) en n'attribuant aux coefficients que des valeurs nulles ou positives : la somme arithmétique de deux Y^^(x) est de la même forme; le produit est de la forme Y^^\x).
Les séries g^^\x) sont des fonctions entières, car, pour toute valeur de x, le rapport d'un terme au précédent tend évidemment vers o (lemme II). Toute propriété commune aux séries g^^\x) appartient simultanément aux fonctions de E' et à leurs produits
2 à 2, 3 à 3, . . ., X à X. En particulier y pour toute valeur de x= —
rationnelle, d^ ailleurs réelle ou imaginaire, g^^H — j est, en général, transcendant.
En effet, d'abord, le corollaire IV du théorème I s'étend à g^^\x). Soit
est d'une des formes
(*) Nos raisonnements subsistent quand on donne aux coefficients des ^^^{x) des valeurs imaginaires dont les modules satisfont à des conditions analogues. (•) Correspondant à des valeurs identiques des Qi'^.
LES FONCTIONS HONODROME8 ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 3l5
\^n^)\i^]'e,(vr>, Si |ar|<Ç„
Oil < e.gï-y- .-(h..)-.
d'après le lemme II. Dès lors, x étant donné, pour m assez grand, 8 et S' sont aussi petits qu'on veut; et ceci s'étendrait de suite au cas où g^^\x) présente des lacunes. Donc
|";^,|(i-eO<
^\u^(î-hi')
Les inégalités du corollaire IV du théorème I s^ appliquent encore
àg(^\x).
Ceci posé, soit
p a-h bî (a -h bi){c — di) a-h pt
g c-hdi c^-h d^ f
(a, P, Y entiers réels),
OÙ M et N sont entiers, et u,n(x) = u^ est un ternae de g^^\x) de la forme ^^^Ç^- Dans le cas où g^^\x) = F(x)F,(x). . .Fx,(a?),
^'^\x) = Pvx^^ OÙ Pv= pv/>;. . ./?l^"^
Admettons que g^"^^ f ^ j = Ç soit rationnel ou algébrique de degré a , .
3l6 EDMOIÏD MAILLET.
I** Ç est rationnel. Deux cas pourront se présenter : ou bien est -=!=• o pour une infinité de valeurs de m; d'après la propriété I,
mX
pour une infinité de valeurs de m; ou bien
(M, ani),
dès que m > m, ; ce cas est évidemment impossible ( ' ), soit quand ^^î(a7) = F F, . . .Fx-.4 et que />v/>v- • «pl^""*^ ^st ^ o pour une infinité de valeurs de v > v, (comme cela a lieu par exemple quand les F, . . .,
(^) Si ce cas est réalisé, on a, pour x=.—i
Or, on a, si i/ip(x)^o,
Q<''=e,(v)(?-')'\ Si
où A est aussi petit qu^on veut, quand v est assez grand, et Y^^^^'yl^) est entier ^ o : ce résultat est absurde, et «l^yf ~ | = o. De même, successivement,
Kf)=«(0=-=*i^(f)=»-
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 3l7
p(>r-o j^Q présentent pas de lacunes), soit quand ^ est réel, > o, et que
les coefficients d'une infinité des polynômes 4'i'^( a;) sont :^o, et de même signe pour chaque polynôme. De toutes façons si, pour m > m,,
mX
g^H-j "^^ai^i =<>? chacun des polynômes 4'i'X^) ^ entre ses
coefficients une certaine relation quand v > v,. Ce cas n'est donc pas le cas général (*).
(^) Quand les coefficients d^une infinité des polynômes ^v'^(^) ont leurs modules limités et 5a (a nombre û\e)y les racines de ^^'^{a) ont leurs modules
mX
limités, et le cas exceptionnel g^^H^ ) — \] «„( ^ j = o pour m > /W| ne peut avoir lieu que quand U- est inférieur à un nombre fixe.
kl ^
Mais Ton peut former des fonctions ^<^)( a?) qui ne sont pas des polynômes, et qui ont des valeurs rationnelles pour une infinité de valeurs rationnelles de a:, et même pour toute valeur rationnelle x. Soit le polynôme
OÙ m et ^ prennent toutes les valeurs des entiers positifs ou négatifs p^ o et de modules £m. Z;„(a?) est de degré ^m* et a ses coefficients entiers et d'ordre < m^'^*=z c*'^*i*s'«. La fonction
*(a?)=: A -h J?^-Y^^ — • (A constante rationnelle, X entier ^i),
OÙ
est une fonction g^^^(x)^ et 4»(j;) est rationnel pour x rationnel réel. La fonction
entier
est une fonction ^^''(^), et ^i(^) est rationnel et positif pour x rationnel réel. ^i(x) ne s'annule pour aucune valeur rationnelle de x. Toute fonction rationnelle ^t{^) à coefficients rationnels de fonctions analogues à 4»(a;) ou ^i{x)
tP Ç est algébrique : ^ — T] ''« (") ^'^^^ jamais nul, puisque 2 "** ( ) est rationnel. D'après la propriété I,
(M, fini, a, entier).
En résumé, que Ç soit rationnel ou algébrique, il faut, en général^
mX
M,Qi^'«'-r"«^''
(M, fini),
cette condition ayant toujours lieu, si Ç est algébrique. Or, d'après ce qu'on a vu tout à l'heure,
où l'on a (JL< > o. Le dernier membre est encore de la forme
alors que ^, ^.^^ — r- est de la forme
ek{m) ^P ^ ; le rapprochement des deux inégalités précédentes donnerait
ce qui est en contradiction avec le lemme II.
Par conséquent, pour x rationnel, si g^^\x) n'est pas un polynôme, g^^\x) n'est jamais algébrique; il ne peut être rationnel quand g^^\x) est un produit de X fonctions F (or) sans lacunes ou pour lesquelles
preud pour a? rationnel réel quelconque une valeur rationnelle {Comp, P. Stàegkbl, Math, Ann,, t. XLYI, 1896, p. 5i3, el Comptes rendus, ao et 27 mars 1899).
LES FONGTIOI4S MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. SlQ
py,p,,.. 'P^^^^'^j^ o pour une ioGnîté de valeurs de v, quand g^^\x) possède une infinité de polynômes ^l'\x) dont les coefficients sont tous de même signe, x étant réel et > o, quand les coefficients d'une infinité de polynômes vpj/^ (x) ont leurs modules limités et que | a? | >► ar, , a;, étant positif et limité. Donc :
Théorème V. — Soit la fonction
où X entier, et pour v ^ v, ,
Qv' dii>iseur de Qi'^*', Qt^* de Q^^j, p nombre fixe y /r>3, e,- tendant vers o quand n croit indéfiniment, ^'^(x)j . . ., ^^^\x) polynômes de degré ^Xv à coefficients entiers, réels ou non, d^ ordre ^ e^tCv/*».
5i ^^^^(a;) n'est pas un polynôme, — étant rationnel, réel ou imaginaire, g^^ ( — j n'^5/ jamais algébrique et, en général, est transcendant.
Corollaire I. — Le produit de \ fonctions (* ) F(a?), F, (a;), . . ., Fx-4 (^) ^^ l'ensemble E, ^a/w lacunes, au moins à partir d'un certain terme, ou pour lesquelles pyipyi^^^p^^'^^^o pour une infinité de valeurs de v, ne prend, pour x rationnel, que des valeurs transcendantes; il en est de même pour les fonctions g^^\x) renfermant une infinité de polynômes 4'vX^) dont les coefficients sont tous de même signe dans chaque polynôme, quand x est réel et > o-^ les fonctions g^^\x) pour lesquelles les coefficients d'une infinité des polynômes ^y\x) ont leurs modules limités ne prennent pour x rationnel, avec ] a? | > a;, (a?, positif limité)^ que des valeurs transcendantes.
Corollaire IL — Les fonctions g^^\x) oà tous les coefficients des ^l!\x) sont nuls ou positifs, c'est-à-dire les fonctions Y^^^(ar), ne
prennenty pour x rationnel et positifs que des valeurs transcendantes.
C'est, en particulier, le cas des produits X à X des fonctions du sous-ensemble E'.
Les produits X à X des nombres du sous-ensemble H'^*^ (p. 3o6) sont transcendants.
La somme arithmétique d'un nombre quelconque de Y^^M— ) (^rationnel >oj est de la même forme et est un nombre transcendant. Le produit d'un nombre quelconque\^ de y^^M — ) est de la forme 'f\^H^\ et est un nombre transcendant.
Pour obtenir tous les Y^^(~)> p et q variant, mais p ei q restant
limités et positifs, on remarque que Y^'l^j =iY^H^ ^ -)• C'est la
valeur pour x = — de Y^(— —, xj. Il suffira donc, pour avoir toutes
ces valeurs Y^^ (- ) » d'attribuer à ^ une valeur arbitraire, i par exemple, dans les fonctions d'un ensemble analogue à celui des Y^\x)j et le comprenant. Les mêmes propriétés restent vraies pour les nombres g^'^^ (—y
Théorème VI. — Par addition, soustraction ou multiplication, les nombres g^^\x) {ou x prend toute valeur rationnelle, réelle ou non)j en particulier les nombres de E, ne peui^ent donner que des nombres transcendants, ou, exceptionnellement, rationnels. Dans ce dernier cas, les polynômes 'i/i\x) de la fonction génératrice correspondante doivent tous s'annuler pour la valeur rationnelle de x considérée, quand v > v,.
Par addition ou multiplication, les nombres Y^\x) (oùx prend toute valeur rationnelle réelle positi{>e)^ qui sont transcendants quand Y^^(x) n'est pas un polynôme, en particulier les nombres de E', ne peuçent donner que des nombres transcendants.
Pour obtenir tous les nombres transcendants que peuvent donner pour les valeurs rationnelles de x toutes les fonctions g^^^x) ou
y^^(a?) {ai?ec x > o), correspondant à une même valeur de Âr , p et \ il suffit de donner à a?, dans V ensemble de ces fonctions y une valeur rationnelle arbitraire^ la valeur i par exemple.
On peut faire application de ces deux théorèmes aux produits des nombres engendrés par les fonctions quasi-entières. Reprenons les fonctions quasi-entières et les nombres considérés au théorème III : a,y as, ..., ae étant des nombres rationnels donnés (et négatifs), et
F, F, , . . . étant des fonctions de E' (p. 3o6), ç (^ ) appartient à V H, , .
Tout nombre engendré par un produit de X fonctions quasi-entières de la même forme que ^(a?), et correspondant à des valeurs de a,, . . ., âe difiFérentes ou non, en même nombre ou non, mais négatives, appartient alors à ]^ Y^^KO-
Théorème VII. — Soient^ comme au théorème 111, F(a7), F^(a;), . . . des fonctions appartenant aux sous-ensembles £E' ; a, , a,, . . . , o^; a',, a^, . . . , a^,; . . . toutes les suites quelconques de nombres négatifs rationnels, et les fonctions quasi-entières
Par addition ou multiplication, les nombres <f(x)y (f^*\x)y ... (x prenant toute valeur rationnelle positive >► o), qui sont transcendants, ne peuvent donner que des nombres transcendants.
Ces nombres sont d* ailleurs compris parmi les nombres 'f^\x) du théorème VI précédent qui correspondent au même indice k.
Tout polynôme à coefficients rationnels positifs formé avec ces nombres est un nombre transcendant.
Nous venons d'obtenir ainsi des résultats tout à fait complets pour
3a2 EDMOND MAILLET.
le produit des fonctions F(x) de E ou de E', quand ces ensembles E ou E' sont dHndices ^3* Mais les fonctions entières les plus usuelles sont d'indice < 3, et il serait bien intéressant d'obtenir aussi à l'égard de leurs produits quelques résultats, fussent-ils moins complets.
Nous allons considérer les fonctions et les nombres des sousensembles E' et H' quand l'indice Âr = 2, et les nombres analogues pour k'^ij c'est-à-dire les nombres déduits de F (a?) pour x rationnel > o, quand /r^i, les coefficients de F(x) étant tous positifs :
Y,(l) = Pi + £il+... + £j!L(e.Y+fi^^^ = SZ' + K\
s'r+Rr,
avec^réel, S'j;'= -^, •••. Soit(A,, B, entiers)
Or
d'après le corollaire IV du théorème I. Le nombre des termes du second membre de (21) étant fini,
b.^u-^=^=plW — iz:^ J <^> <^P^"^)'
(*) Ceci suppose i- >î : si ^ < 1, on remplacera U-\ par i : le rai
nement est le même.
LES FOI9GTIONS MONOOROMES ET LES NOMBRES TRAI^SGENDANTS. 323
Si ceci est impossible, le produit du second membre de (m) sera irrationnel. Soilp\;X^<€j^.,(m -+- 1)^^'"-^*\ . . . , p'^^,ie^^,(ni -+- i)^('«-*-«); il faut
(^ — t^i^ -^ ^)^k-i(^ -^ i)t^ogy -h (m -h i)'k\ogp
Pour /c = 3, ceci n'est impossible que si X^2. Pour k^ij il n'y a pas impossibilité (*). Donc, quand A:^ 2, la seule conclusion que nous puissons tirer est la suivante :
Théorème VIII. — Le produit de deux fondions entières ou quasi-entières quelconques d'indice 2 considérées au théorème 111 prend pour x rationnel positif (aj<C,o) des valeurs irrationnelles. Le produit de deux nombres de Vi'^^\ quand H'^-^ est d'indice 2, est irrationnel^ comme chacun de ces nombres.
§ VL 3*> Quotients de /onctions de E ou de SE. — Nombres méromorphes. Le quotient
OÙ quelques-unes des fonctions F ou F*' peuvent se réduire à l'unité, soit au numérateur, soit au dénominateur, est une fonction méromorphe de la forme
Nous dirons que tout quotient de deux fonctions g'^\x) est une
( * ) Les raisonnemenls restent vrais, a fortiori, si les fonctions considérées F(^), Fi(^), ... présentent des lacunes {p,„^i — , . .=/?,„+|a-.i — o,/)„M/>m+tJi7=^o, par exemple).
Journ» de Math. (5« série), tome X. — Fasc. III, igo4. ^^9
fonction méromorphe issue de l'ensemble g^^\x)y ou une fonction méromorphe \J^\x).
Considérons le nombre
Nous dirons que c'est un nombre méromorphe.
Premier cas : X = i . — Soient des fonctions F(a?), F, (x) analogues à celles envisagées au théorème II, et auxquelles le corollaire IV du théorème I est applicable :
Admettons d'abord que L"m£j soit rationnel et = g (A, B entiers). On a
an,-i-ar;,V=bn +br,„,
