AN,-BN =BR,„-AR
5r,„5r"'(AN,-BN) = y„.5r'«(BR„.- ARLl').
Le premier membre est entier, le second doit l'être ; il est nul quel que soit m, ou ^i pour une infinité de valeurs de m, dès que /» >• {x. S'il est nul (»),
BR„-ARL*; = o,
(M Nous n'étudions ici que les nombres L^*^ ( — ) issus du quotient 7=-^^ — - de
deux fonctions de l'ensemble E (p. 3o4).
(*) On remarquera que, A et B étant donnés, les raisonnements resteraient vrais si F(;r) et F, (x) étaient des polynômes d'un nombre assez grand de termes jouissant, dès que m >> (x, des propriétés que nous supposons pour les termes de F et Fi ; ou encore si les séries F, F, présentent des lacunes.
dès que m > (/.. Alors
Donc, retranchant membre à membre chacune de ces inégalités de celle qui la précède,
Bw„,^., — A<^, = o,
Bi^mH-2— A<;, = o,
Ba^,.-A<;, = o, B(d=/.,„,.)-A(±/>::i,)-o,
On aurait, pour m >► [x, A
m + 1 m-hl
où X, est rationnel, et P(oc) un polynôme à coefficients rationnels,
Quand P[-j =^ o, U*^(- j ne peut être rationnel que si F, (- j Test; c'est-à-dire que U*M^) est irrationnel dans les mêmes conditions que F, (- ) ou F(^ j, sauf pour les valeurs de - qui rendent
(valeur exceptionnelle unique pour les nombres U*^(x) où x rationnel
Nous pouvons donc admettre que, en général, pour une infinité de
valeurs de //i,
j„^'»|BR«-ARi:'|>i,
c'est-à-dire, a fortiori, puisque [le corollaire IV du théorème l étant supposé s'appliquer à F(x) et F,(x)],
Posant 2i2±l == ^|;^^^^ (4''"+» croissant indéfiniment avec /n par hypo thèse) :
Nous retiendrons seulement ces conséquences : i® si /> = i, cette inégalité sera toujours impossible pour un mode de croissance assez lent des | p„,^, |, | p''^l, | ; 2*^ si | j9 1 quelconque, il suffira que ^^^, = y^^ (5(^^ fonction constamment croissante de m absolument quelconque) pour que cette inégalité soit impossible pour un mode de croissance assez lent des |/>w+, |, |/?|,1^, |. En particulier, prenons (*)
. \pnyiek^s{ny\ |anl = ^A(/^)"""^p"'^ (pet^fixes); alors
car et
en sorte que xs tend vers zéro quand n croît indéfiniment;
e;t(m) VP / (//^ + i) (^ + e") e^, (m -hi) — m (^ -h e'j e^-» (m) = rn log)^,«
(*) Pour A- ^3 on peul prendre \pn\le^.{nyt'^i,
Dès que /r^2, yi^„, croît indéfiniment, et U'M- j est irrationnel.
Un exemple simple d'application de ce qui précède est celui du quotient
OÙ les Y)„, Y)!,*^ sont égaux à ± i ; sauf si fin^tn^ conserve un signe constant dès que n est supérieur à une certaine limite, L^*M --■) est irrationnel. Nous obtenons ainsi le résultat suivant :
Théorème IX. — Soient F(x), F, (a;) deux fonctions entières (de Vensemble E, p. 3o4), et f{x) = ^ ( \*
Pnj P^n\ ^n étant des entiers^ \Pn\9\ Pn I o^yant leur croissance suffisamment lente, et ^^* entier, croissant constamment et indéfiniment avec n {Çn réel et positif).
Si Von n^a pas ¥{x) — X, F, {x) = P(x) [X, constante rationnelle, P(x) polynôme] :
1° f(-) est irrationnel (q entier quelconque);
2© gi 9n±i ^pqIi suffisamment vite avec n (au moins aussi vite yw^ Xot> ^^ X"» ^^^ ^^^ fonction constamment croissante de m, d'ailleurs quelconque)^ f[-) est irrationnel (p, q entières quelconques, p positif, négatif ou imaginaire; q positif). Ce sera le
cas quand qn= ef,(ny^ ^% (^^2), p^<ef,^^{ny'', {'z fini).
Si Von a ¥{x) — X, F, (:«;) = P(a;), f{x) est irrationnel quand ¥(x) Vest, sauf pour les valeurs rationnelles de x qui annulent P(a?), et rendent f(x) égal à X,.
On établira de mcme que, sous certaines conditions, /( - ] = L<*M - j est transcendant. En effet, supposons que
soit algébrique et non rationne], de degré a > i . On a
an,-n = r„-ar:'.
D'abord, dès que m > (x, on ne peut avoir constamment
r„-ar:,v=o,
sans quoi
R,„,,-AR::;. = o,
■Aa;*i., = o,
ce qui est absurde, puisque w,„+, et w^^^, sont rationnels. Il y a une infinité de valeurs de m telles que R,„ — ARJ^^ ^ o. Ceci pose, on a (propriété I),
an,-n = n,(a-|-),
|N,l = |F,(£)(i + e)|<M. (M, fini), dès que m est assez grand.
I AN, - N [>[ N, I M^m.^^, I N^ |« = My^'yf^lN.I»-''
D'autre part,
|R„-AR:,:'|<2(la„^,|-hl<;,|) P- M„ M, fini.
qm-rx q'
<^\Pjn±A±\É^\P\
LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. SsQ
Il faudra donc ou
Il est dès lors évident que, la croissance des | p,n^.\ \ et | /?^J,^, | étant donnée, on peut prendre celle des q^^ assez rapide pour que cette inégalité soit impossible pour m assez grand, et même impossible quels que soient a, /?, q.
Prenons | p„ | et | p^^ |^ ^^('0''" (^< ^^^^^ P^^^^ qu'on veut), [a^ |, \a\l^ \
de la forme ej,{n) "^p ^, avec /l^3. On a encore, comme tout à l'heure (p. 326),
De même
qn=ek{n) ^P ^
et t*T< tend vers o quand m croît indéfiniment. Il faudrait ainsi
e^(m-hi) ^P ^Sca(/^) ^° ^ ,
ce qui est absurde d'après le lemme I. Nous pouvons donc énoncer ce théorème :
Théorème X. — Tout étant posé comme au théorème IX ci-dessus ^
^*'|«/i|j \a\l'\, q^ sont de la forme e^in)''^'^^^^ {^ finiy /r>3), \pn\
et \p^^^ I au plus égaux à e^, {nf^ (i fini)^ fi- ) est transcendant^
à moins que F(a?) — X,F,(ar)= P(^).
Dans ce dernier cas, f(x) est rationnel pour les valeurs rationnelles de X qui annulent P(^), transcendant pour les autres (^sauf X = o)] f(x) ne peut prendre^ en dehors de /(o), qu'une
33o EDMOND MAILLET.
valeur rationnelle au plus (*). Pour /f^3, f{x) n^ est jamais algébrique pour X rationnel.
On peut aussi énoncer ces deux théorèmes de la manière suivante en se bornant au cas où /f ^ 2 :
Théorème XL — Soit le quotient \J^\x) de deux fonctions F(a7), F, {x) de V ensemble E, qui ne sont pas liées par une relation de la
forme F(x) — X,F,(a;) = P(x) : si k^2^ U*^(^j est irrationnel (^);
sik^3y il est transcendant.
On obtient tous les nombres U*M ^ ) correspondant à une valeur
de k et à V ensemble SE ^n donnant à - une valeur unique^ ï par
exemple^ dans les fonctions de ^\J^\x).
Le quotient de deux nombres quelconques du sous-ensemble W^^
(p. 3o6), qui est un nombre U^M ~ h est respectivement irrationnel
ou transcendant, à moins que F(a;) — ^^{x) = P(a;),
Les résultats précédents comportent déjà des applications aux fonctions quasi-méromorphes. Exemple :
F(»)(^)4-Fi»>^iy
quel que soit /r, sera irrationnel pour a; = i , si Ton n'a pas
et si ^{x) H- F,(a;), F'^(x) -h ¥^^\x) ne sont pas simultanément des polynômes.
(*) Ce cas exceptionnel peut évidemment se présenter, elTénoncé du théorème indique à quelles conditions nécessaires et suffisantes.
(') Il est bien entendu que nous laissons ici les nombres transcendants parmi les nombres irrationnels.
La considération des fonctions 0, 0,, 0^, O3 de Jacobi [formule (18), p. 3o8, r entier > i] nous fournit une application plus particulière.
Prenons
^j^ = - — — ^ — ;;; > T cnticr récl > I .
F(x) — X, F, (x) n^est pas un polynôme;
£«±1 -, ^tn+i çpqJ^ indéfiniment avec n. Donc r4^{ est irrationnel
Çn ^ Oa(l)
d'après (23) (p. 326). De même r^ r^^r ( * ) 5 ^^ même encore â4^' ^y-^> • • •* car, par exemple, on a
(•) Si l'on pose
= ff, l{u)=:±snffu, v/[i-XH«)][i-A:?X«(«)]
7^7-^ est la valeur de v^ (Jordan, Analyse, l. II, i883, p. 887). II faut avoir
soin, dans le Cours d'Analyse imprimé de M. Jordan, de permuter les indices de 6, Oj, 6j, de façon à y remplacer 6 par 61, 6, par 6, 6j par 6,.
Nous rappelons que r = e-^*'^, — - 1= t. Ici r est supposé entier réel, t := a* (a réel). Si r := rj (tj entier), y/Arj est irrationnel.
et
ne se réduit pas à un polynôme.
Corollaire. — Soient 0,04,02,63 [formules {\9^)^ p. 3o8] les quatre
fonctions 6 de Jacobi : r^, / * r^, -^, ^4-(, . . . sont des irra-
tionnelles (r entier > i).
Plus généralement, prenons la fonction "^ \^\y où <f(x) et ç«(a;) sont des fonctions quasi-entières comme celles considérées au théorème III (p. 307). On sait (*) que ç(-) est de la même forme que
F[- j; de même ç, (- V Ce rapport ^ \^ \ est irrationnel quand Ar = 2,
transcendant quand k^^, (x=^j, si ^ f \ ne satisfait pas à une condition particulière exigeant entre les coefficients de ç(a?) et de <p,(a; une infinité dénombrable de relations. On peut énoncer une partie de la propriété corrélative sous cette forme :
Théorème XII. — Soient, comme au théorème III, toutes les fonctions quasi-entières
a,, . . ., ao étant des quantités rationnelles et négatives y en nombre fini quelconque {une au moins de ces fonctions étant ^ o, et alors ne se réduisant pas à un polynôme)^ F(a;), F, (a;), . . ., ¥^^^{x) des fonctions de V ensemble E' {p. 3o6).
Soit N V ensemble des nombres irrationnels (k = 2) ou transcendants (^ = 3) obtenus en donnant à x des valeurs rationnelles >• o dans <f(x). Le quotient de deux nombres de N est en général un nombre irrationnel si /r = 2, transcendant si k^3: le contraire ne pourra se produire que si les deux fonctions génératrices o(x)^
( *) Ici p,g sont réels et positifs, pn= ^^{n)'^^ pour A: = 2, /?„^ ejt{ny"^ pour A:^3.
<fi(x) correspondantes ont entre leurs coefficients une infinité dénombrable de relations particulières. En tout cas, pour /f^3, ce quotient n'est pas algébrique.
On peut préciser davantage la portée de ce théorème, et étabUr ce résultat :
Théorème XIIL — Soit la fonction quasi-méromorphe Q obtenue en divisant deux des fonctions ç (x) l'une par l'autre (a, , . . . , ao quantités rationnelles quelconques différentes et ^ o). Si Q ne se réduit pas à une constante ou à une fraction rationnelle, parmi les valeurs en nombre infini que Q prend pour x rationnel quelconque, il n'y en a en général (*) qu'un nombre fini qui puissent n^étre pas irrationnelles pour /r = 2, transcendantes pour /r^3; ces valeurs exceptionnelles sont alors rationnelles.
En effet, on a, si a, = j-, •• («n Pu •••> entiers),
Nous savons déjà que, ?(-) etç<(-j pouvant être mis sous une
forme analogue à celle de ^(-jy leur quotient n^est jamais algébrique (théorème X, p, 329), quand /r >3.
Supposons ce quotient rationnel pour a; = ^-
Dès que m est assez grand, il faudra, pour que V'f soit rationnel
et = X|, que (raisonnement identique à celui de la page SaS)
(*) Par exemple si une des 26 + 4 fonctions F(a:), Ft(a?), ..., Fe-».i(^), F^^>(^), . . ., F^]l^{x) ne présente pas de lacunes à partir d'un certain terme.
quel que soît m, avec
ou encore
(dz;,„qzX.tD,„)£^+(dz^- + X.O|I
^^/ i.(2) 1 ^(2)\ vpn
(MTL
(/>Pl-«l^)"
Le nombre des coefficients p^^ ts^j p\l\ rs^^\ . . . qui entrent dans cette relation est 2(6 4- 2).
Si alors il y avait au moins 2(0 4- 2) relations de ce genre, c'est-àdire au moins 2(0-1-2) valeurs différentes ^ =^ o donnant à ^ , \ des
valeurs rationnelles distinctes X,, Xj, . . ., le déterminant des relations correspondantes entre \esp,„j tar,„, . . . devrait s'annuler, puisque />;„, tzr^, p^^^\ ... ne sont pas tous nuls, au moins pour une infinité de valeurs de m, les fonctions F(a;), F,(a:), F2(a;), ... n'étant pas supposées toutes des polynômes. On aurait ainsi, dès que m dépasse une certaine limite,
ptn
qm PT
g m ptn
pT
(P.'zr
(/'iPi-a.f.)'"
(/'iPi-«i?i)'"
pour une infinité de valeurs de m (consécutives s'il n'y a pas de lacunes), ou, en posant, pour simplifier, ^ = Y/+ij
