A (TO

(Yi-«i)"

Ti" Yi" (ï.-«.)'" (r,-».)"

C'est un déterminant à 2(0 + 2) lignes et colonnes, dont nops allons obtenir la valeur.

D'abord, pour 6 = — i , ce déterminant se réduit à

= yTy7(\-'^ô=^o.

Il y a au plus une valeur de ^V ;. qui soit rationnelle (') (théorèmes IX et X). Voyons le cas général.

Le déterminant

est une somme algébrique de termes de la forme

di. CL:

2/i itn-l

i^=^ i^=^...=j^ î^^ ; le premier de ces déterminants d'ordre deux est formé avec des éléments des deux premières colonnes appartenant deux à deux à une même ligne, et ainsi de suite. On aura alors

Ar.=i;±

lu T'4

[ Ti. Yi4 ( Y'. — «1 ) ( Yi. — «1 ) • • • ( Y/,e+3 - «8 ) ( Y/,U4 — ^0 )]'" '

avec \ — \ ■=!=. o, Y,-^ - Yi-.^ 7^ o quand y -rf^j, .

Le nombre des termes de (24) dans A^^i% est a = QViQVs . . . CJ C^. Ecrivons alors les équations (25) pour cj valeurs de m assez grandes

('). Nous laissons) bien entendu, tout à fait de côté la valeur o: = o*

336 EDMOND MMLLET.

el consécutives, m, m -h (x,, . . ., w -h {x<y,, où Ton peut prendre, s'il n'y a pas de lacunes dans les fonctions F(a7), F^Çx), ..•, ou si ces lacunes sont assez espacées, (x, = i, . . ., (jL<y., = a — i; nous obtenons par rapport aux a quantités A = (X,^ — X,^), ..., différentes ou non, (T équations linéaires homogènes qui ne peuvent être satisfaites qui si le déterminant des coefficients est nul ; posons

Ti.ï/*(ï'.— «l)(ï'•.~«l)•

S,• (« = I,2, ...,CJ).

On aura

ce qui exige

SJ*

Sif-

(0<(X.<...<(JL„,) (<).

(*) A^ n'est pas nul identiquement quels que soient Sj, 0,, . . ., 8<t. Cette propriété est évidente pour <r = i ou 2; admettons-la pour <r^a'— i. Si A'^^rro identiquement, A^r est a fortiori nul pour $1 = 0, et

... SX'

SÇ-- ... 8g

Mais le deuxième déterminant est un déterminant A^..^, et Ton est conduit à une contradiction; donc A^-y^f^o.

Ceci posé, A, est divisible par 8/— 8y(/^y). Ajy s^écrira, en le supposant

Bornons-nous au cas où Ton peut prendre (X/ = /. Alors Écrivons toutes les équations

l'une d'elles doit être satisfaite. Ici Sy diffère de S/ [formules (26)], soit par le numérateur, soit, si les numérateurs sont identiques, par le dénominateur. Autrement dit, 8/= Bj n'est pas une identité quand on n'attribue pas à quelques-unes des quantités Yi\> Y'.' • • • ^^^ valeurs particulières.

Chassons dans les équations S/ — Sy = o les dénominateurs et supprimons les facteurs littéraux communs à S/ et Sy, qui sont de la forme y^ ou y/— a/^, les y/ étant supposés :^ o et des ai^. Nous obtiendrons des équations entre deux au moins des quantités y,, yj, .

Nous considérerons successivement celles de ces relations contenant y],y]4-i,y)4-2, ... des quantités y, si une de ces relations en contient Y] exactement, aucune n'en contenant moins. Soient

Dt, =0, d;* =0, ...,

(^7) JD^^, = o, ,

ces relations D^+y = o contenant y) -hj des quantités y exactement, Prenons d'abord D^ = o, et donnons à yj — i des y qui y entrent des valeurs rationnelles déterminées différentes (*) et différentes de o,

décomposé en facteurs irréductibles,

où Aj, ..., a!^, 8/ — 8y sont des facteurs irréductibles dont aucun n'est nul identiquement quels que soient les $(••

Pour étendre au cas des lacunes le théorème que nous établissons ici, il resterait à établir qu^aucuu des facteurs A"^, . . ., A^ n'est nul identiquement quand on substitue aux 8/ leurs valeurs en fonction des yy [formules (26)]. .

(*) Pour lesquelles -^V-T est supposé rationnel.

a,, . . ., (2e; la yj^^™*^ y^i ^^^ ^^^^ déterminée et a au plus deux valeurs, On a, en effet, pour déterminer yr, une des équations

Y^iCYt) — a) = const. :^ o ou ^^^ h ~ ^^"^^* "^ ^

(a, 6 = G, a,5 . . ., ou ^6) ^ 7^ ^)«

Dans la deuxième relation D^*^ = o, donnons à yj — i des y des valeurs différentes et différentes des précédentes et de o, a,, . . ., ae : la yj**°** est déterminée ; et ainsi de Suite : dans D^^^., , on choisit convenablement Y) des Y qui y entrent. Nous continuerons de la sorte jusqu'à épuisement des relations (27).

Prenons alors une valeur Y de y différente de toutes celles ainsi

fixées ou trouvées, qui sont en nombre fini et de o, a<, . . ., «o : . ,{

ne peut être rationnel, sans quoi, si l'on raisonne comme ci-dessus, une au moins des relations (27), Dyj+y= o par exemple, devrait être satisfaite, quand on prend pour y) 4- y — i des y qui y entrent les valeurs déjà choisies pour cette équation, et pour la (r] 4-y)*^"*^ Y ^^ valeur y différente de celles que détermine la relation D^+y = 0.

Remarque. — Le théorème se trouve ainsi complètement établi lorsque, dans les fonctions F(a;), ¥^{x)^ .., F^,(a;), F^*^(a7), ..., F&i^i(^)) ou peut trouver, si grand que soit m, une suite de

termes en a?"', x^'^\ ..., x"''^^"* tels qu'un au moins des coefficients de a?'"'^' soit :^ o pour une au moins des 2Ô -4- 4 fonctions, quel que soit i = o, I , . . . , ou Œ — I, C'est ce qu'on peut appeler le cas général.

Deuxième cas : X >- i . — Quand on veut étudier les produits deux à deux, trois à trois, etc. des nombres U'm ^ )> on est conduit à envisager les nombres U^m^V Toute propriété commune aux fonC' tions L^^{x) appartient simultanément aux quotients de fonctions

de E et au quotient de leurs produits deux à deux y trois à trois, . . ., X à X. Nous supposons encore, jusqu'à nouvel ordre, /r^3.

Je dis que ( * ), même si X = i , L^^^ ( ^ j est rationnel ou transcendant,

mais n'est pas algébrique.

En effet, d'abord, établissons pour le calcul approximatif de \I^{x) une formule analogue à celle que nous avons trouvée (p. 3 f 5) pour^^^^(j;). On a, si u„,^, wj^;^, ^ o, u^^, =...= u„,^ , = u'^l, = ...= u'J,l^^^, = o,

Posons

Cil)

Pour toute valeur de x telle que g^l\x) ^ o, on peut assigner des limites supérieures finies de

(m assez grand) (*). D'ailleurs Donc

rn+ii I

Pi«;:i..i,

(x, ^ positifs limités); c'est la formule que nous voulions établir. Donc :

(') L^^^(jr) est une fonction mcromorphe; ici U^^{x) est le quotient de deu\ quelconques des fonctions ^^^^'^(^)', foiinule (19), p. 3i3. (') Si m est assez grand, S^„V(-^) ^^^ ^'^''^ t^^-

Journ. de Math (5* série), tome X. — Fasc. UI, 1904. '|0

Pour toute valeur de x qui n'annule pas ^'/'(^)> ^ partir d'une certaine valeur de m,

^a|«^|4-pi«;^;^.l,

P positifs el finis).

On a encoie pour \J^\x) des inégalités analogues à celles du corollaire î F du théorème L

Ceci posé, soit, comme à la page 3i5,

(a^,p,, Y, entiers),

p a-\- ht «1 -h pi i

q c -h di

et supposons que U^M ~ ) = ^ soit rationnel ou algébrique de degré a. On a

Qv"ï^^2""

QVy^^^S"»"

V fE\ - ^* + N)

où M et N sont entiers et u„,(x) — u„, est un terme de g'^\x) de la i"* Ç est rationnel; deux cas pourraient se présenter : ou bien

est :^ o pour une infinité de valeurs de m ; d'après la propriété I,

ou bien

- M.Qlîi'YV"

(M. fini);

dès que /«>/», Soit

2< -Si:',

Xm-hl

pour /n>/«,,

'm-HI '-'m

S(n Cil) — mi) c(i)

Soit

Ov-n Ov

n rir'i) ^^vi('^)

^(^) __ C(n__ ITT'*)

On a

Ce produit est de la forme

avec

^ij — Yv Tv-Hi.i — Tv,! Tv-Kf

Si Ton sait que a,,, «a,, ..., a^, sont nuls, multiplions les deux membres de ce produit par

Le produit devient où, soity > I, soity = 1, />/-!- 2.

qui est aussi petit qu'on veut dès que v est assez grand. Donc a/+«jy^^^^'***^ qui est entier, est nul, et

On conclura ainsi de proche en proche que —^ est indépendant de i,

par suite = ^^> par suite indépendant de v et i, quand v>-V4, d'après (28 his). Donc on peut écrire

Nous savons que ceci est loin d'être toujours impossible pour une valeur de - \comparer notes (*), p. 3i6 et 3i7)]. Mais on peut indiquer des cas étendus où ceci n'a jamais lieu.

Les coefficients de «xm+i (^)) "wn "Xmf2) «^w» étant donnés sauf un, il n'y a qu'une valeur au plus du dernier restant à fixer qui permette

de satisfaire à

Il sera dès lors facile de former une infinité de fonctions U^^(x) dans lesquelles

pour une infinité de valeurs de m (quand x = ^y On voit en même

temps que, en général, les conditions (28 ter) n'ont pas lien.

Supposons encore, par exemple, que pour m^m^^ "Xm+f(^) et "wi(^) aient leurs coefficients réels et de même signe; (jue «xot+2(^) et tt>!,i j.j(:r) aient leurs coefficients de signes contraires. Si cette circonstance se présente pour une infinité de valeurs de m, (28 ter) est impossible dès que - > o. Dans ce cas d'ailleurs, d'après le théorème V

et son corollaire I, g^^\x) et g^l\x) sont transcendants pour a; > o.

Ces deux exemples comportent des extensions évidentes lorsque g^^\x) et g^l^(x) présentent des lacunes. Nous n'insistons pas.

Supposons enfin que g^^\x) eig^]\x) soient des produits FF, . . .Fx, . Pour une infinité de valeurs de m

et l'on a une infinité de relations

On peut toujours choisir les fonctions F, F,, ... de façon que ceci ait lieu. Mais il y a des cas étendus où, quel que soit X, ceci n'a jamais lieu.

En efiet, il suffira que, pour une infinité de valeurs de v,

p^p'^. . .p'^-'^ ^ o, gTvGt;. . .<^-*^ ^ o,

et, pour une infinité d'autres valeurs de v,

p^p'^. . .p^-'^ = o, trfv©;. . .tr^t^-*^ :^ o;

ou encore que les /?i, . . ., p^~^\ tar^, . . ., trr^^""'^ soient tous réels et de

3^|4 EDMOND MAILLKT.

même signe, les ^v étant alternativement positifs ou négatifs. On sait d'ailleurs que, dans ces cas, F(x), ..., Fx,(.r) sont transcendants pour X rationnel > o.

2° \ est algébrique. \

n'est jamais nul, le second terme

étant rationnel. D'après la propriété I,

M, Qâ'-rV"

/.lA \ a,

(M, fini).

En résumé, que $ soit rationnel ou algébrique, il faut, en général,

(M, fini).

cette condition ayant toujours lieu quand $ est algébrique. Or, d'après (28), le premier membre est au plus égal à

donc

a I «Àm-Hi H" P I «Xm+n. I ;

Sl(l«Xm-Hil + l«Xm<-^.|)25|j

Le second membre, si, par exemple, (X2< jx, ou [k^= (x,, y ^7,, est de la forme

alors que le dernier membre de (29) est de la forme

Vi/|/^ est d'ailleurs ^o pour une infinité de valeurs de m, soit quand ^ est algébrique, soit, en général, quand ^ est rationnel (en

particulier dans les cas indiqués précédemment). On a ici (jl^^ o. La comparaison des deux inégalités (29) et (3o) conduit de suite à une impossibilité, d'après le lemme U.

Dans les cas mentionnés pages 343-344? L^^m ^ j est alors transcendant. Sans rappeler ces cas en détail, nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Théorème XIV. — Tout étant posé comme au théorème V (p. 319), le quotient de deux fonctions g^^\x) ne prend pour des valeurs rationnelles (réelles ou imaginaires) de x que des valeurs rationnelles ou transcendantes. Autrement dit, les nombres L^^M - h ou - est rationnel (réel ou imaginaire), sont exceptionnellement

rationnels, en général transcendants. Ils ne sont jamais algébriques.

On peut troui^er des cas étendus où les nombres L^^M - j correspondant à une même fonction AJ^^^x) sont tous transcendants (') (soit pour X ^ o, soit pour x réel > o).

(*) Voici un exemple non encore cité; posons où V, P, U sont des polynômes à coefficients entiers, V et U pouvant se réduire

Les produits 2 à 2, 3 à 3, ... des nonibi^es L^^' ( - j sont rationnels ou transcendants.

Corollaire. — Tous les nombres qu^on déduit de H'^^^ {p. 3o6) par multiplication ou division sont rationnels ou transcendants. Aucun n^est algébrique.

Remarque /. — Une somme de quotients de fonctions fi''^'^(x), c'est-à-dire une somme de fonctions L'^^(a;), est une fonction L^^"*"^«^(a;), où X, est entier. Par exemple,

Les mêmes propriétés de rationalité ou de transcendance restent donc vraies pour les sommes de nombres g^^H-)- Nous pourrons en particulier énoncer ce théorème :

Théorème XV. — Soient les fonctions entières (3.) F(x) = ^±^x"\

oi'ec in

qn'-^('h{n) f donnée \Pn\~<^k{riy ( ^^^ entier croissant

\dé fini ment avec n^ ç^ fixe et A*^3 j, les coefficients ayant des signes

quelconques^ et les nombres \ = F(^ j qu^on en déduit en attribuant à X toutes les valeurs rationnelles possibles.

a fies constaiilo<.

est lianscendanl en même temps que g'i\jr) pour les valeurs rationnelles de ^ qiM n'annulent pas P(.r) {comp. théorème V et ses corollaires).

LES FONCTIONS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. li^'J

F(-) ^st transcendant^ si F(a?) ne se réduit pas à un polynôme.

Toute fonction rationnelle à coefficients rationnels des nombres N est un nombre rationnel ou transcendant.

Toute fonction rationnelle à coefficients rationnels des fonctions F, si elle ne se réduit pas à une fraction rationnelle en x^ est un nombre rationnel ou transcendant pour toutes les valeurs rationnelles de x.

En eifet, cette dernière propriété résulte de ce que le numérateur et le dénominateur sont des fonctions g^'^^x).

On peut aussi considérer les nombres N^ issus de fonctions rationnelles à coefficients rationnels de fonctions quasi-entières

F(a;), F, (a?), ¥^{x)^ ... étant des fonctions du même ensemble E, c'est-à-dire de la forme (3i).

En générale ces nombres sont transcendants : ils ne sont jamais algébriques.

§ VII. — Extensions des théories précédentes, j\ombres obtenus par itération.

Reprenons les fonctions F(.x) de l'ensemble E (p. 3o4), en supposant l'indice ^3. Dire que F(- U (- rationnel], est transcendant, c'est dire

que F(a7) = Ç n'a pas la racine rationnelle -, ^ étant rationnel ou algébrique. Mais on peut, au sujet des équations F(a?) = $, se poser bien d'autres questions.

Une pareille équation peut-elle avoir une racine algébrique; autrement dit, si ^, est algébrique ^ F(Ç, ) peut-il cire algébrique?

Mieux, soient k l'indice de F (a;), ^ un nombre transcendant de la

forme /(-) ou /(^O, /(^) étant une fonction d'un ensemble analogue à E, d'indice /f,$/f ; F(Ç) peut-il être rationnel^ algébrique ou transcendant d'indice ^/c? Autrement dit, l'équation F(:r) = JIj,

348 ElïMOND MAILLET.

OÙ li est rationnel, algébrique ou transcendant d'indice ^/i, possède-t-elle une racine algébrique ou transcendante d'indice /f|<A:? Une racine de F(.r) — o, par exemple, peut-elle être une transcendante d'indice k^ (')?

Parmi tous ces problèmes, nous nous contenterons, à titre d'indication, de traiter une partie du dernier, qu'on peut formuler ainsi :

Soit ^ un nombre fi y \ supposé d'indice k^^S (Pj Ç entiers > o ) ; F(J^), d'indice k^k^j est-il i^ationncl ou algébrique?

D'après ce que nous avons vu antérieurement (p. 3o6), en ne considérant que des fonctions /(^), F(^) d'ensembles E' à coefficients tous positifs, et les indices étant pris ^3, on peut toujours supposer - = I . On a

.,(1) r,(l) nt»J

De plus nous admettons : i° pour F(x), que ^^ soit un entier

Çn

croissant constamment et indéfiniment avec n^ ei qn= e^^n) p ' ; 2® pour /(a;) des conditions semblables avec des valeurs de q^^\ k^^ p< différentes ou non de q^^ /Ir, p.

Posons

^ = î^„ -f- pn (^n somme des n-¥-i premiers termes de ^), (32) F(0 = S„(J:) 4- R„(0 = S„.(2:„) + Il„(!:) + Mp„«

[M fini, a entier ^i, S„,(a;) somme des m -4- i premiers termes de F(:r)J. On a

^«= r/c) (A„ entier >o),

(*) On pourrait encore examiner si deux équations F(^) = o, F, (j7)=o d'ensembles analogues à E ont une ou plusieurs racines communes.

car M;, étant une somme de termes positifs est ^ o ;

Admettons que F(^) = Ç soit algébrique de degré ^ (? = '); <^" animait (propriété I),

car Ç > S„(C»), puisque ?^ > !^„ et S„(a;) croît constamment avec m et a-, pour ar >• o, et, d'après (Sa) à (34),

Nous supposons ici que /w et n sont assez grands, et que F(x-) et /(a?) ne présentent plus de lacunes à partir d'un certain terme. Alors

p,nUk{my% X*' = ^aX^^" ('^^ ^« fixes), T << -I T, < — > t' — T, T, — T, finis positifs,

4N^ £«^^«., ^ ,,^(^ ^ ,y-x.™^ 4MN, Ifîg = e,Xn + . )-'•",

'^^25 '^8j '^4) '^5 fii^îs, positifs et ayant une limite inférieure > o. II faudra donc, d'après (35),

(36) i<et,{mf^'"^ej,Xnf^^"'''[ek{m + i) ^*'"+e,^{n 4- 1)-^»«], quels que soient m et n,

Pour montrer que cette inégalité n'est pas toujours possible, par suite que F(t) n'est ni rationnel ni algébrique, il nous suffira de vérifier que l'on a à la fois

n étant convenablement choisi en fonction de m.

Les lemmes I et II permettent de simplifier la première inégalité, car on a

(cr fini positif ayant une limite inférieure > o), et (36) peut être remplacé par

I ej,Xn ^ t)V> cj,(mf^'-ej,Xn)K'^^\ Nous prendrons (38) n ^ ej^^j^^m) -h yj = \o^t,^j,{m) -+- y],

où Y], positif, nul ou négatif, a son module ^ - » de façon que ek-kS/n) -h.y)

soit l'entier le plus voisin de ^^a-aX'^)-

Avant d'aller plus loin, nous établirons les lemmes préliminaires suivants, qui ont lieu dès que m est assez grand (entier ou non).

Lemme III. — Quand OL est donné et > o, ekX^k-K{f^) -^ ^\ croit avec k^ (/r, positif ou négatif quelconque).

Il suffira en eflet que

^hX^k-k,{fn) 4- a] > e^,-,[6VA,^,(m) -+- a], ou que

ce qui a lieu si

croît quand m croît, c'est-à-dire dès que a > o.

Lemme IV. — Quand a ^Oy ej^jl^m -{- OL)^ej,Jjri) -^ ol^ dès que k^^o.

Ceci a lieu pour k.^ — o. Admettant cette inégalité pour une valeur positive de /tj, on en tire

en sorte que le lemme a lieu pour ^3=0, 1,2,

Lemme V. — On a

Sf^Xm 4- P) >(i -+- 'z)e,,Xm), k^>i, fl > o, 1 fixe >o.

Pour /Ta = I ,

<?"*+?= e^. e^'Xi H- t)6>'",

si T < ^P — I . Admettant cette inégalité pour une valeur de /r^^i, on en tire

OÙ T fini arbitraire > o et £ e^ — i , dès que m est assez grand. Lemme VL — On a

ek-2(m + a 4- p) >(i -H ^)ef^^^ [e^-kX^) + ^h OLy P donnés >o, quand k^k^^'i.

On a, si ^^3, d'après les lemmes IV et V,

ek-2{m 4- a -+- P) >(n- i)et,^{m H- a)

= (c + T)^;t,-2[^A-AX^^ ^ «)]-(« -^ '^)^k,-2[ek-K{rn) 4- a],

si/t>A',>3.

Si /l < ^, , le lemme VI n'est plus exact : ainsi, pour ^ = 3, /l| = 4>

ej,^{m -h a H- p) = m H- a 4- p,

et Ton n'a pas

Lemme vil — On a

eM,^^[e^f^X^) 4- a 4- P] >(H- 'z)e„^^[c^.^X^) -f- a j, pour kt ^ 3, quel que soit k positif ou négatif {a^ P > o donnés). Si k^ = 3,

quand t < <?P — r , quel que soit k positif ou négatif.

Admettons le lemme pour une valeur k\ de ^, ^ 3 ; on en tire

ek\-i [^a-a;('w) + a ^ p] > ev.-, [^;t-A;(m) + a]*^-^

^(*;-4-o-a h*+f)-(A;+i)('^) -^- a ^- PI > ^(*;+o-2 hA-4-i)-(A;+i)('^0 -^ «] ( ' -^ '^)i

ce qui établit le lemme VII pour la valeur /c', -f- i de /r, , par suite en général.

Lemme VIII. — On a

ek,-A^k-kirn) -h a]>(n- T)rVj(m) pour k^ ^ 3, quel que soit /c, a donné >• o.

D'après le lemme III, le premier membre croît avec k^ ; il suffira donc d'établir le lemme pour k^ = 3, c'est-à-dire de montrer que

e-*-.('«H«^ e\e,^,(m)Xi 4- -^)e,^,(m),

ce qui a lieu si t < c* — i .

Ceci posé, la démonstration devient assez simple :

Prenons la première inégalité ( ^7), ou, d'après (38),

Il suffira de prouver que, y étant fini,

(89) e^(m -ht)>ef,^ ^e^-kX^) -^ ^\^~^' "' '

D'abord, ceci n'a pas forcément lieu quand ^< < /r : prenons k = 3j /f ^ = 4 ; il faudrait

6'.e"'>log(Ylogm)-h e*"»^,

ce qui n'a pas lieu.

Supposons, au contraire, A'^/r^^S. Il suffit

Or, pour /lr<^3,

y[^k-kX^n)] = <?A.-i[^A-*.(^0]'= ^A.-. [^*-A.(^0 -^ ;î]'''

e, e, aussi petits qu'on veut. Il suffit donc, a fortiori^

e^.i (m ~f- 1) > e^,. , [^Va.('^) -^ ^1 *^ '

ca-2(^ ■^- OX' -^- ^y^- 2 [^'a-a.('^0 -^- ^J'

ce qui a bien lieu d'après le lemme VI : (39) est donc vérifiée. Passons à la deuxième inégalité (37); elle devient, d'après (38),

Il suffit que

rkA^k~kX^) -^ ' -^ ^y'~''"''^''> \^'k(^'^)^kX^k-kX'n) -h yjJjY-t-i-i.t-H^l,

Y constante finie, ou

(4o) ej^X^f^^X^i) -h I + Y]] > \rf,(m)cx[e,,..,,X^n) + y)J j^"*.

Il suffit donc que

ekl^k-kX'^O -H 1 -t- Y]] > \e^X^,.^X^) -f- yi]|^ir-* ou

^A,-i [^A-A.(^) "*" ^] croît avec k^y d'après le lemme III, et est

pour ^^ 3 (e aussi petit qu'on veut pour m assez grand). Donc

et il suffit

eu,-i[e^-kX^i) -H I + Y)] > ^*.^[6VaX//0 ■+- ^ )*■*"* ou

cX~2[ek^kX^) H- » -^ ^ j >(i -+- O^A.-aC^A-AX'^) -+- ^1j ce qui est une conséquence du lemme VII; (4o) a lieu quand r] ^ o. 2« ^<o; CkOn)> e^X^^^^^X^n) -i- ri].

Il suffit que

ek\e,,Xm)-h {] > ^A(/^)^^^ d'après (4o), ou

ej^^, ye^-kX^O ^ ïj ^ 2yme^^,(m) = e;fc^(/n)*^^ ou

ce qui est une conséquence du lemme VllI; (40) a lieu quand y] < o.

Les deux inégalités (37) ont alors lieu quand on tient compte de (38), et nous en concluons le théorème suivant :

Théorème XVI. — Considérons les fonctions

}nt entiers et positifs^ ainsi que ^^^^^ assez grand y

où p^ et Çn sont entiers et positifs y ainsi que ^^^^^, et y dès que n est

T et ^fixesy t<; -^ /r entier^'^yX rationnelle. Quand kj p^x prennent

toutes les valeurs possibles compatibles avec ces conditions y non seulement F(it;) est transcendanty mais encorcy siY ^{x^ est une fonction quelconque de même formée que F(x) et d'indice k^Sk^

satisfaisant à des conditions analogues y F[F,(a;)] est aussi transcendant.

En particulier y F(F(a:)) est transcendant.

Remarque I. — Quand /r = /r,, la démonstration se simplifie notablement, car, si Ton prend m = n^ les inégalités (37) sont des conséquences des lemmes I et IL

Remarque II. — On est ainsi conduit à se poser encore ce problème que nous nous contenterons d'indiquer,

X restant rationnely et F y F,, Fj, ... étant des fonctions de même forme que F, F(F,(F2(F3)m, par exempley est-il transcendant?

En particulier FfF(F(F)n est-il transcendant? Autrement dit^ les fonctions F du théorème précédent ne donnent-elles^ par itération, que des nombres transcendants?

Journ. de Math, (5« âérie), tome X. — Fasc. III, 1904. 4*

§ VIII. — Remarques diverses.

I. Exlension des cortsidérations précédentes à des séries ayant un rayon de convergence fini. — Considérons une fonction

qui peut avoir un rayon de convergence fini, i par exemple, et où cy» est un entier qui croît constamment et indéfiniment avec n. On a,

posons

Qrt divise Q;,^^ si qn divise ^„^.^ . Soit

/(^j = F(i). F(:î), pour une croissance assez rapide des cy», est

une fonction entière.

Eu égard au mode de décroissance des a„ il peut se faire que, sous cette nouvelle forme, on aperçoive, comme corollaires des théorèmes

précédents, des propriétés de /(- j que ces théorèmes ne pouvaient

pas donner.

Exemple : soit ^ = i , çr > i , ^^ = i , q^= n\,

Si F(::) est d'indice ^3, ce qui arrivera si ct„ est donné et

on voit que F(i) est transcendant, par suite aussi /( - )•

Une partie des théorèmes précédents doit alors s'étendre aux fonctions/(a?) à rayon de convergence fini ou infini présentant des lacunes d'étendue assez rapidement croissante avec /i, en particulier au produit et au quotient de deux fonctions de cette nature. Ainsi, dans l'exemple précédent, les fonctions rationnelles à coefficients rationnels

des nombres de la forme /(-] sont des nombres^rationnels ou transcendants (théorème XV).

Nous nous contenterons d'avoir signalé ce fait. Nous avons d'ailleurs déjà indiqué antérieurement des propriétés semblables de fonctions analogues à /(a;) ( * ).

II. Sur (^) une propriété curieuse des nombres X. — On sait (propriété I), d'après Liouville ('), que, étant donné un nombre X, limite d'une série infinie donnée de fractions rationnelles,

Pi P, P«

si les différences

X, — ^\ décroissent assez vite quand n croît indéfi-

niment, ce nombre X| est transcendant.

Soit, en particulier, une fraction exprimée dans un système de numération de base g qui présente dans son expression des suites de zéros de plus en plus longues au fur et à mesure que Ton s'éloigne de la virgule vers la droite. Si le nombre de zéros de ces suites croît assez vite, on obtient les nombres transcendants que nous avons appelés

(*) Journal de mathématiques^ 1902, p. 4i9> 439»

(') Voir Comptes rendus, 1901, 2« semestre, p. 1191, la définition de ces nombres, rappelée d'ailleurs ci-après.

(') Liouville, Journal de mathématiques, i85i, et Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, 1898, p. 26.

les nombres X définis précisément par celte propriété de leurs suites de zéros dans leur expression dans un système de numération (*).

Les nombres X jouissent d'une propriété excessivement remarquable, qui leur donne vraiment un caractère spécial : soit

Supposons ici S|, . . . , 8^, . . . entiers positifs, ^gr — i, ^„ croissant assez vite avec n pour une valeur au moins de q. La fraction rationnelle

peut être développée dans le système de numération de base Çt (g^ premier à q).

Quand nous effectuons, dans ce système de numération, la division de B^ par q"^", tous les restes sont < çr*«. La division ne peut d'ailleurs pas s'arrêter, car si, par exemple,

^ = ^ (G entier),

et ç*« devrait diviser B„ : le développement en fraction de -^ dans le

système de numération de base q^ est donc illimité.

Mais, les restes étant < y*«, on finira, au bout d'un nombre limité d'opérations, par retomber sur le même reste : la fraction obtenue est périodique. On aura ainsi

A^^o étant la période, qui a xs^ chiffres. On a ici j(^, = o, c'est-à-dire que —r- est une fraction périodique simple. En effet, le premier chiffre

(^) Comptes rendus, 1901, 2« semestre, p. 1191.

LES FONCTIONS MONODROMES ET LBS NOMBRES TRANSCENDANTS. SSq

de la période étant le premier chiffre de A<, les derniers de A et de A, sont différents, A — A< ^ o (mod ç),

B^^A A^ I ^ A At ^ A(r/f.^i)H-A,

q^n q^ q\^^^ ^__J 7?' V'^CV^'-O </?'(77'-0

En chassant les dénominateurs, on voit que yf ' doit diviser le numérateur du deuxième membre, si )^< > o, ce qui exige y^^ = o. D'autre part

e]^^^ tendant vers o quand n croît indéfiniment. Le premier chiffre signifîcatif =^ o dans l'expression de X — X„ dans le système de numération de base q^ est le y))*"*, yi„+^ étant aussi grand que l'on veut par rapport à yj^, si ^n^^ est assez grand par rapport à ];„. On a

le dernier terme est < ^^ ^y et -— a avec X, dans le système de

numération de base y<, à droite de la virgule, si la période A| ne comprend pas que des chiffres q^ — i (des 9 si q^ = 10), au moins les y)rt^^ — TaJ, premiers chiffres significatifs communs; ceci a lieu dès lors quand A ^ ne se réduit pas au chiffre unique y, — 1, (or, = 1). Si,

au contraire, ce cas particulier a lieu, dans -^, tous les chiffres seraient

des chiffres q^ — i. On aurait

ce qui n'a pas lieu : autrement dit, ce cas particulier exceptionnel ne peut se présenter.