TL
Dès lors, -^ et X ont, dans le système de numération de base q^^
qTn+\
à droite de la virgule, au moins les yju^a ~ ^2 premiers chiffres significatifs communs. D'ailleurs t*T< est fonction de ^„, nta et yj^^, de ^„4.<,
tervalle I comprend autant de périodes que l'on veut de -x^* Par
36o EDMOND MAILLET.
^in-2 de '^„^.2 ; on peut prendre la croissance de ^„ avec n assez rapide pour que r\n^^ — ^^ soit aussi grand que Ton veut par rapport- à tj„, ^«+2 "" ^2 aussi grand que Ton veut par rapport à r\n+^ — gt, et Yja^.,. Dans l'intervalle I entre le premier et le {yin^.^— gTj)**"* chiffre significatif à droite de la virgule, les chiffres appartiennent aux périodes
de -^ : ofa étant le nombre de chiffres de la période de — r^> si J;„ croît assez vite avec n^ ^""^*^"* croît aussi vite que Ton veut, et Tin-
conséquent, lorsque ij/„ croît suffisamment vite avec /i, le développement de X, dans le système de numération de base q^^ nombre premier à q^ présente, à la droite de la virgule, une infinité de suites de chiffres ^^ , ^2, . . . , 5;„, . . . , dont chacune est formée par la répétition d'un mp me groupe de chiffres un nombre aussi grand de fois que l'on veut (quand m est assez grand). Ces fractions sont ainsi voisines des fractions périodiques, et l'on peut les appeler quasi-périodiques ; de même, on pourra appeler les nombres X dans le système de numération de base y, à cause de leurs suites de o et les nombres X, précédents (p. 357), des nombî'es quasi-rationnels.
On connaît cette proposition d'arithmétique élémentaire, résultant d'ailleurs de ce qui précède :
Un nombre rationnel — (p^ q entiers premieres entre eux) est
î*eprésenté dans tout système de numération de base q^ première à q par une fraction périodique.
La démonstration précédente nous donne le théorème suivant corrélatif pour les nombres X, ou nombres quasi-rationnels.
Théorème XVII. -— Soit un nombre (*)
( * ) Quand A p^ o, en ajoutant — A, on obtient un des nombres étudiés ci-dessus. La somme d^un nombre entier, rationnel ou algébrique, et d^un nombre transcendant est d^ailleurs un nombre transcendant.
LES FOMGTIONjS MONODROMES ET LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 36 1
(8„ entier positif 'Iq — i; A, q entiers; ^n fonction croissante de n) qui y représenté dans le système de numération de base q^ possède , après le ^**"' chiffre significatif à droite de la virgule ^ un nombre de zéros suffisamment grand {ce qui revient à dire que ']/„ croit assez vite avec n)^ autrement dit^ par dé/inition, un nombre quasirationnel dans le système de numération de base q.
Dans un système de numération de base q^ première à q^H est représenté par A -+- une fraction qua^i-périodique simple, c'està-dire une fraction qui présente immédiatement à la droite de la virgule une infinité de suites 5,, ^2, ..., s^^ ... de chiffres dont chacune est formée par la répétition un nombre aussi grand que l'on veut de fois (dès que m est assez grand) d'un même groupe de chiffres, les périodes commençant aussitôt après la virgule.
On peut établir une proposition en partie réciproque.
Considérons, en effet, une fraction quasi-périodique dans un système de numération de base 5^,, et une de ces suites «„, par exemple, en supposant toutefois, pour plus de généralité, que cette fraction possède immédiatement à droite de la virgule un certain nombre de chiffres n'appartenant pas aux périodes. Soit A„ la période correspondant à s^j de X„ chiffres : on pourra écrire
OÙ -^ croît suffisamment vite avec /^, D,^ quantité < q^ , A„$ 7^— i , Crt^5^*" — I, a„ restant limité ou ne croissant pas trop vite avec n.
Le premier membre décroît aussi vite que Ton veut quand n croît,
3G2 ED. M.ULLBT. — LES FONCTIONS MONODROMES, ETC.
pourvu que s^ et k^ croissent assez vite avec n. D'après le théorème connu de Liouvilie (propriété I, p. 296), X' est transcendant. D'où ce théorème :
Théorème XVIII. — Soit une fraction X' quasi-périodique dans le système de numération de base q^, cest-à-direy par définition j une fraction qui présente y à la droite de la virgule, une infinité de suites Sif s^j . "1 s^j ,. . de chiffres dont chacune est formée par la répétition un nombre A,, /fj, . . . , A^^, . . . de fois au moins d'un même groupe de chiffres, ces suites commençant ou non après la virgule {le nombi'e de chiffres a„ de la partie non périodique immédiatement à droite de la virgule ne croissant pa^ trop vite quand n croît ou restant limité). Si k^ croît assez vite ai>ec n par rapport
a -77 e/ a„, X' est transcendant (' ).
Cette dernière propriété s'étend aux fractions continues quasipériodiques simples ou mixtes (la suite des quotients incomplets remplaçant la suite des nombres à la droite de la virgule). Nous avons ainsi des exemples, les premiers, croyons-nous, de fractions continues arithmétiques dont tous les quotients incomplets sont limités, et dont on puisse affirmer la transcendance (*).
Bourg-la-Reioe, janvier 1904.
(*) Ces deux théorèmes peuvent être considérés comme se rattachant à un ordre d'idées ayanl provoqué plusieurs questions dans l'Intermédiaire des Mathématiciens. Exemples : questions 183G, 1896, 2088, 246<^, 2'«65. Le premier donne même une réponse à la question 2088 posée par nous.
(*) On savait toutefois qu'il y en avait {voir, par exemple, Bokel, Leçons sur la théorie des fonctions, p. 33).
KCOULKMENT DES NAPPBS-J)u£.Vy J^EHrtlÎEES DANS LE SOL. 363
Complément au Mémoire intitulé « Recherches théoriques sur V écoulement des nappes deau infiltrées dans le sol et sur le débit des sources » (*);
Par m. J. BOUSSINESQ.
Sommaire. — § I. Objet de ce complément; équations du mouvement de la nappe liquide. — § II. Formules de deuxième approximation, dans le cas de vitesses presque horizontales. — § III, Petites dénivellations d'une masse aqueuse infiltrée, de profondeurs quelconques, avec ou sans écoulement au dehors. -— § IV. Extinction graduelle du mouvement, dans une nappe infiltrée profonde et à bords verticaux, par propagation uniforme d'une onde ascendante.
§ I. •— Objet de ce complément; équations du mouvement de la nappe liquide.
1. Dans mon Mémoire Sur V écoulement des nappes d'eau infiltrées dans le sol et sur le débit des sources y j'ai supposé assez petites pour avoir leurs carrés et produits négligeables les pentes, tant de superficie que de fond, de ces nappes, de manière à pouvoir, quand la nappe est beaucoup plus longue et large que haute ou profonde, regarder partout comme horizontales, à une première approximation, les vitesses moyennes locales de ses diverses parties, ou comme verticales les surfaces d'égale charge (p auxquelles ces vitesses
(*) Inséré au commencement de ce Volume, p. 5 à 78.
Journ, de Math. (5* série), tome X. — Fasc. IV, 1904. '1^
d'écoulement sont perpendiculaires. Il résultait de là que la charge ç avait, en tous les points d'une verticale quelconque (x, y), même valeur qu'en son plus haut point mouillé^ intersection de la verticale, (rr, y), avec la surface libre souterraine, où ç égale l'altitude A, diminuée, par la tension capillaire des innombrables ménisques constituant cette surface libre, d'une petite quantité J^, fonction, donnée en X et j^, de la température et de la compacité du sol perméable. Je me propose ici de former des équations de mouvement plus générales, convenant au cas de pentes quelconques tant du fond (ou sous-sol imperméable), que de la surface libre souterraine, afin de voir, d'une part, dans l'hypothèse de petites pentes, ce qu'une deuxième approximation ajouterait ou modifierait aux résultats de la première, et, d'autre part, dans l'hypothèse de pentes de fond quelconques, les lois des lents mouvements dus à de petites dénivellations superficielles h,
2. Nous prendrons les deux axes rectangulaires des x et des y dans le plan horizontal mené par le seuil de \di source ^ si l'on a ménagé, sur la partie du contour de la nappe infiltrée (vue en plan) où l'eau arrive à l'air libre, un écoulement assez rapide pour que la lame liquide ruisselant sur le seuil soit sans cesse d'épaisseur négligeable. Lorsque, au contraire, le liquide arrivé à l'air libre y formera une nappe extérieure^ plus ou moins profonde, animée d'assez lents mouvements pour que la pression y varie, sur chaque verticale ou auprès, suivant la loi hydrostatique, nous prendrons comme plan des xy sa surface libre horizontale, que nous supposerons maintenue à niveau constant : il est clair que la charge ç, somme de la pression, évaluée en hauteur d'eau, et de l'altitude (-»-:;) en (a?, y^ z)^ se trouvera alors nulle dans la nappe extérieure et, par suite, sur toutes les portions de la surface du sol perméable qui seront contigucs à cette nappe extérieure, portions constituant les orifices qui relient celle-ci à la nappe infiltrée.
Il pourrait arriver aussi qu'il n'y eût pas d'orifice, ou que la nappe fût dépourvue d'écoulement; nous prendrions alors pour plan horizontal des xy celui où, dans l'équilibre final, la pression serait nulle (abstraction faite de la pression atmosphérique); et la charge ç y tendrait, par suite, vers zéro, comme quand un écoulement est possible.
ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eXU INFILTRÉES DANS LE SOL. 365
Dans tous les cas où il y aura à tenir compte de la dépression capillaire î^, nous admettrons, pour éviter d'inutiles complications, qu'aucune partie de la nappe infiltrée n'atteigne la superficie libre du sol, c'est-à-dire n'arrive au contact de l'air extérieur. Bref, la nappe infiltrée ne sera limitée alors que par la surface libre souterraine, par des parois et par la nappe extérieure. Car, s'il en était autrement, les points où elle arriverait à fleur de sol seraient le siège d'actions capillaires jusqu'à présent mal définies, et qui y rendraient le ruissellement de l'eau difficile, ce semble, à calculer ou à formuler.
Enfin, nous dirigerons vers le bas l'axe des ordonnées verticales z^ qui croîtront, dans la nappe infiltrée, depuis la surface libre souterraine et sans cesse changeante ayant l'équation z = — h, jusqu'au fond fixe ou sous-sol (que nous supposerons, le plus souvent, imperméable) ^=H, à profondeur H fonction donnée de x et de^.
3. Tout élément de volume rectangi^laire dxs = dxdy dzy découpé idéalement dans la partie imbibée du sol, recevra, par unité de temps, à travers ses six faces et à partir de l'époque /, un afflux total de liquide exprimé, comme on sait, par
\dx
Mais, la portion de rfnr accessible au liquide se trouvant occupée dès l'époque /, cet afflux total est nul ; et l'on a
/ \ ^F^ dFy dF^
c'est-à-dire, vu les formules générales (i) des flux F (p. 12),
Telle sera donc V équation indéfinie du problème, équation qui régit les variations, actuelles ou dans l'espace, de la charge <p, aux
(*) Nos notations seront celles du Mémoire principal et les numéros désignant les formules feront suite à ceux des formules mêmes de ce Mémoire.
divers points (,r, y, z) de la nappe; le coefficient K des flux, fonction de la compacité et de la température du sol, y sera donné en a:, y, z.
4. Cette équation étant du second ordre, il faudra, pour compléter la détermination de ç à chaque instant, y joindre une relation convenable, spéciale à chaque élément de la surface qui limite la nappe.
Occupons-nous, d'abord, de la surface commune à la nappe infiltrée et au sol filtrant. Une partie en sera généralement occupée par des paroisy c'est-à-dire par des solides imperméables, principalement par le sous-sol, quand nous le supposons entièrement ou presque entièrement dépourvu d'orifices. Si l'on appelle ^> pour un élément quelconque de cette partie, la dérivée de la charge le long d'une normale dn aboutissant à la surface et issue d'un point intérieur infiniment voisin,
le flux K-p qui entre par cet élément sera donc nul. En particulier,
sur le fond :? — H = o, où les tosinus directeurs de la normale dn ont entre eux mêmes rapports que les dérivées en x^y^ z de z — H, c'està-dire que — -j-' 77* 'j 1^ dérivée ~ égalera, en abstrayant
P ^ r^ , do dVl do dVL do . vi 1* 1 • •
un facteur nni, y- ^ — ^ d d ^' expression qu il faudra ainsi
annuler. On aura donc
((aux parois) ^ = o,
^'^^ ). f ]. , , , V rfo dH do dH d<f
I (au fond impermeable) -^^ = - £ ^ - ^.
Le reste de la surface commune à la nappe infiltrée et au sol filtrant sera constitué par des ouvertures, ou orifices^ aux divers points desquels nous admettons une distribution hydrostatique des pressions extérieures et, par suite, une hauteur nulle ç de charge. Nous y aurons, en conséquence, vu la petitesse des forces vives de filtration et des hauteurs de charge perdues à la sortie^
(ir4) (aux orifices) cp = o (').
(*) Si la surface de ]a nappe extérieure, au lieu d'être fixe et choisie comme
ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eaU INFILTRÉES DANS LE SOL. 36'J
S. Il reste la surface libre souterraine, ou limite supérieure de la nappe, exprimée par l'équation z = — h, avec h fonction de a; et dey donnée initialement et que nous supposerons, pour simplifier, n'avoir • à chaque instant / qu'une valeur sur chaque verticale (x, y), mais dont les variations d'un instant à l'autre seront à déterminer. La pression intérieure (évaluée en hauteur de fluide) y étant — î^, la charge ç y devient h — ^, et s'y trouve connue des que h Test. On aura donc
(i i5) (à la surface supérieure z = — h) cp = A — ^.
Mais il faudra calculer le déplacement élémentaire, -jjdt^ de chaque
élément de la surface libre souterraine, situé sur toute verticale Jixe (x,y), pour obtenir A d'instant en instant. A cet efl<et, nous appellerons 0 la projection totale, sur le plan des xy^ de cette surface supérieure z = — hj et dd celle de l'élément considéré. Celui-ci aura, des
lors, pour aire ? si cosy est le troisième des cosinus directeurs de
