COSY
la norms^le dn à l'élément, tirée ici vers l'intérieur de la nappe, ou
faisant un angle aigu avec les z positifs. Ces trois cosinus directeurs
seront ^cosy, ^cosy, cosy; de sorte que le flux, sortant, pendant l'instant dt, à travers l'élément plan /ixe — ^du sol, ou qui vient transpirer au-dessus, sera iK-^j-^^dtj c'est-à-dire
\r ( d^ dh d9 dh d^\ , , \dœ dx dy dy dz)
9 de la surface telle
qu'elle est à l'époque /, l'afflux ou apport correspondant total de liquide sera donc
(„6) rf,/K(^^gJ^^g)<,,.
plan de repère, était variable, mais connue à chaque instant, le second membre zéro de cette relation (i i4) ferait place à une fonction donnée de t. L'on continuerait à reconnaître, comme ci-après (n°7), la determination complète du problème.
Or c'est, à d'insignifiants écarts près sur le contour, ce volume liquide qui aura surélevé les niveaux de -^dt^ et aura rempli la capacité-libre, appelée (jl par unité de volume apparent du terrain, com-
) telle qu'elle est à l'époque /,
et la nouvelle surface, relative à l'époque t -h dt^ si elle se trouve effectivement au-dessus. Appelons, pour fixer les idées, (i-o ce que devient, aux points de la surface supérieure, la valeur de [jl, partout fonction donnée de a?, y, z ; et, le volume terreux envahi par la nappe se composant de filets verticaux exprimés par dxsdh^ auxquels correspondent les capacités (Xp d*s dh accessibles au liquide, l'afflux total (i i6) aura aussi la valeur
{\\^his) dt I \u^-^d(T.
Les fonctions sous le signe /> continues par hypothèse, étant très
sensiblement constantes dans le petit champ commun des deux intégrales (ii6) et (i i6 bis)y seront égales entre elles. Par conséquent, la condition cherchée, propre à déterminer les déplacements élémentaires de la surface libre, est
("7) f^orf7 = K(5^ + ^-^H-^-j (pour-- = -/0.
Si, au lieu de s'élever, la surface supérieure s'abaissait, ce serait à travers ses éléments tels qu'ils sont à l'époque t -h dl, qu'on évaluerait l'afflux (alors négatif) y surgissant entre les époques /, / 4- 1//; et l'on obtiendrait encore, évidemment, la formule (i 1 7) ( ' ).
(*) On pourrait même, toujours, construire un peu plus bas ces éléments de la surface à travers laquelle surgissent les flux (116), modificatifs du niveau, savoir, à une petite distance verticale constante e de la surface actuelle z =: — A, juste assez au-dessous de cette dernière pour que les flux y acceptent ia formule
régulière K.~; car il semble difficile que des anomalies locales, toujours à
craindre aux limites des nappes (note delà page i5), ne la mettent pas en défaut
ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. 869
6. On y arriverait aussi, dans tous les cas, même quand le fond se trouve percé d'orifices, en considérant la partie imbibée, sans cesse comprise de ^ = — A à z = H, d'un filet rectangulaire vertical de terrain, à section droite d(j=:dxdy. Les deux flux qui sortent, par unité de temps, à travers les deux faces (H-+-/i)û?y, (H-i-A)rfa;, contiguës à l'arête (x, y\ sont respectivement
dy I Fggdz, dx j Fydz^
tandis que les flux entrant dans le filet par les faces opposées ont les mêmes valeurs, accrues de leurs différentielles respectives en x et y.
Enfin, la face inférieure donne accès à un flux, K-~ — —> exprimé ' ' an cosy '■
par ou par
si l'on convient d'aflecter de l'indice i les quantités qui doivent être prises à la limite supérieure ^ = H des intégrales. Or la capacité,
[u^d^-^y envahie durant l'unité de temps par le liquide, à la partie
supérieure du filet, vaudra l'excédent, pour ces cinq faces, des flux entrés sur les flux sortis; et l'on aura, en divisant par rfcr.
Mais la diff'érentiation complète, en x ou y, des deux intégrales
à la surface libre elle-même. On continuerait, alors, à égaler (sensiblement) les deux intégrales (îi6), (116 bis) et, par suite, leurs éléments; car, ajoutées au liquide, de hauteur apparente e, compris, à Tépoque tj au-dessus de la surface z= — A -i- e, elles donneraient, à très peu près, deux expressions différentes du volume fluide qui s'y trouve à Tépoque t -{- cit. L'équation (117) subsisterait donc.
définies ligurant au second membre, donne en tout, si Ton indique respectivement par les indices i et o les quantités prises aux deux limites supérieure et inférieure (comme on vient de dire pour la première),
ou bien, par la substitution, sous le signe /, du troisième terme
de (m), transposé, à la somme des deux premiers, et par Tintégration en z,
La relation (i i8) devient dès lors identiquement (117), pourvu qu'on y remplace F„ F^., F, par leurs valeurs (1) (p. 12).
7. Si les dénivellations h de la surface supérieure étaient données, à Tépoque /, en fonction de x et de y, le système linéaire formé par l'équation indéfinie (112) et par les conditions respectives (ii3), (i i4), (i i5) aux diverses parties de la surface, déterminerait complètement, dans toute la nappe infiltrée, la charge ç. Car, supposé qu'il existât deux solutions distinctes, leur différence 9' vérifierait évidemment les équations
(nq) ^ ^ J \ J / \ /
1 (fo'
f -V- =: O (aux parois), 9' = o (aux orif. et à la surf, super.).
Alors la première équation (i 19), multipliée par ç' et par l'élément de volume dtrfj puis intégrée par parties, à la manière ordinaire, dans toute l'étendue imbibée ta du terrain, donnerait, vu l'annulation de ç' ou de sa dérivée en n aux diverses parties de la surface,
ÊCOULKMKKT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. 3'Jl
relation exigeant, dans tout l'espace o, la constance de ç' et, par suite, son annulation comme à la surface supérieure.
L'expression de ç, à l'époque initiale où sont données les dénivellations A, se trouve donc déterminée parfaitement; et, comme la relation (117) fait ensuite connaître pour cette époque, puis, de proche en proche, pour les instants suivants, la vitesse d'élévation ou d'abaissement de la surface libre sur chaque verticale (a?, JK), le problème des mouvements de la nappe infiltrée paraît bien mis complètement en équation.
§ II. — Formules de deuxième approximation, dans le cas de vitesses presque horizontales.
8. Supposons d'abord la nappe beaucoup plus étendue en longueur et largeur qu'en profondeur, sans orifice de fond, et à petites pentes ,très graduellement variables, soit de fond, soit de superficie; en sorte que, à une première approximation, les vitesses d'écoulement y soient horizontales, ou, la charge ç, indépendante de la coordonnée verticale z. De plus, admettons la constance, pour chaque verticale (x, y)^ des deux coefficients spécifiques K et [x,,, qui seront, dès lors, fonction seulement de x et dey. Si l'on appelle $ la valeur moyenne de ç sur cette verticale, depuis z = — h jusqu'à z = II, valeur fonction de Xj y et tj l'équation (112) y donnera donc, sensiblement.
Deux intégrations successives en z (après multiplication, chaque fois, par dz) depuis z = z jusqu'à la limite a = H où ^ aura, d'après la
seconde relation (i i3), la valeur approchée 't~"^'^'T~ 5~* donneront
/ (dR d<P , dH ^*\xTr ^
^ ^ * l [ d (jrd^\ d (y; d^W
formule permettant d'apprécier les petites variations de ç le long de la
verticale {x^y). Or multiplions-la elle-même par „ ^ , et intégrons
de ;5 = — A à ^:^ = H, de manière que le premier terme donne précisément la valeur moyenne même O de la charge sur toute la partie mouillée de la verticale. Il viendra
. . 1 ^* \clx dx dy dy ) 2
' K \^dx \ dx J dy \ dy ) \ 6
et, en faisant z = — A, 9 = 9© dans (120), puis retranchant (120) de (121),
/ N f ^* "" \dx dx "*" dy dy)
KLc/a\ dx) dy\ dy ) \ 3
Les deux relations (121) et (122) évaluent, comme on voit, les écarts respectifs des valeurs Ço, o, de la charge, aux extrémités de chaque verticale mouillée, d'avec la charge moyenne $.
Si l'unité de longueur est choisie comparable à l'épaisseur H h- A de la nappe aqueuse, les dérivées de 0 en a? et y seront, d'après ces formules, très petites comparativement à $, puisque l'on admet la petitesse des rapports de $ — Oo, ^ — ©, à $.
9. Maintenant voyons ce que devient exactement, lorsqu'on tâche d'y introduire $ au lieu de 9, la condition spéciale (117), qui détermine le changement élémentaire des dénivellations A. Prenons cette condition sous la forme que nous savons être équivalente (118), réduite ici, par l'absence d'orifices de fond, à
dh d r' , d /•".-, .
ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. 3'j3
D^autre part, différentions par rapport à x et à/ la formule (H4-A)$=: f fdz, qui définit $; ce qui donne
' rf«p ^ ^ rfH dh
relations d'où se tireront les valeurs de / . '*' dz à porter dans (i 23). On aura ainsi
et les formules approchées (121), (122) de O — 9, et de O — Çp permettront d'éliminer du second membre toute autre fonction inconnue que h et O. Comme, en outre, la condition (1 15) donne 9^, = A — Ç et, par suite, à très peu près, dans les termes de deuxième approximation, H4-A = H4-^ + $, la formule approchée (122) pourra s'écrire
^4-90 ou A = Î4-$-(^^-h^^) ^
L'équation cherchée (de deuxième approximation) en $ s'obtiendra donc en portant cette valeur de h et sa dérivée en t dans la formule (124), au second membre de laquelle les petites quantités $ — Çi, $ — 9^, auront été remplacées parleurs expressions (121),
(122) (avec h réduit à î^ + O), et leurs facteurs -j: r^ réduits de
même a
3'jfl J. BOUSSINESQ.
Bref, nous aurons, en $ et A, un problème à trois variables indépendantes, a?, y, ;, d'où se tromera complètement éliminée la coordonnée verticale z. Or, notre but, ici, était précisément cette élimination de ^, immédiate seulement à la première approximation.
10. Pour arriver à des formules simples, supposons constantes la profondeur H du fond et la dépression capillaire ^ sous la surface. La relation (i 25) sera dès lors
(,.6) A = Ç.*-Ii^^'[^(K§).|(K|)],
et réquation (124) se trouvera, de son côté, réduite immédiatement par la destruction mutuelle de quatre termes dans le second membre, à
c'est-à-dire à la forme simple déjà obtenue (p. 21) en première approximation (*).
(*) Si l'on ne négligeait pas les pentes -~ — ■ — - soit du fond 5 = H, soit de la
superGcie telle qu'elle est dans Tétat final d'équilibre, avec son élévation Z àue à la capillarité, les quantités entre crochets de (i34) deviendraient, tous calculs faits,
IV(n4-;+ )[^(^^^) ^ydxda^-^ df dy) diœ.f) ]
6 ldx\ da^J dy\ dy)\ d{x, y)
A une première approximation, où * disparaîtrait devant H -h Ç, elles se rédui-
d^ raient à K(H4-Ç)-t7 \ ®'' ^ ""® deuxième approximation, où l'on conser-
d^ verait en outre le terme K*-i r» il est clair que tous les autres termes
di^x, y)
s'eilaceraient devant celui-là, pourvu que les pentes en question -^ — - — - fussent
seulement comparables à celles, -7- -, de la superficie, considérée dans la
principale partie dynamique 4> de son élévation A; car les uns, ceux où figurent
ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eaU INFILTRÉES DANS LE SOL. 375
Comme $ tend vers zéro, on peut le supposer devenu petit. Ne le négligeons toutefois que dans le facteur (H -f-î^ -f- *)^ du dernier terme de (126), terme déjà très faible et qu'il est permis, sans inconvénient, d'altérer un peu par rapport à lui-même. Alors l'équation (126), différentiée en /, donne
relation où l'on peut réduire dans le dernier ternie (double), d'après
deux dérivées de H ou de Ç avec une de *, seraient comparables aux cubes des dérivées premières de 4», tandis que les autres, les derniers et les plus grands, le seraient aux produits des dérivées premières de ^ par ses dérivées secondes, supposées beaucoup plus petites que *. Ainsi, Téquation (127) conserverait sa forme, même en deuxième approximation.
Voici comment on peut reconnaître que les carrés des dérivées premières de 4» en j? et y seraient négligeables à côté des dérivées secondes, par suite de l'hypothèse faite que les dérivées successives de * sont de plus en plus faibles. Il est naturel d'admettre que toute dérivation en j? ou en j de <ï» et de ses dérivées produit un rapetissement, relatif, comparable à une certaine puissance, «ï»"^, de *. Les dérivées premières de * seraient, dès lors, comparables à **+'» et, les dérivées secondes, à *»+*'». Donc, les carrés des dérivées premières atteindraient l'ordre de petitesse de **+-'*, ou seraient comme les produits, par*, des dérivées, secondes.
Il résulte de là que, dans Thypothèse de — \- comparable à -r. r>
^(•^*> y) d\Xy y)
l'équation (i25) continue à se réduire à (12Ô) et donne (ia8) ci-après. Dès lors,
(127) prendrait encore la forme (129); car les differentiations en x ely de(i28 bis)^
ou indiquées dans la formule remplaçant (128 bis) et qui a le facteur H + C) à
côté de K, sous un signe "j" ^^ -f-^ pourraient se faire comme si ce facteur
H 4- Ç était constant, vu que sa dérivation produirait un rapetissement de l'ordre
de -r; r> OU dc **-+^'*, taudis que celle des autres facteurs, 'comme est le
di,x,y) ' ^ -
facteur entre crochets de (128 bi$)^ ne produit qu'un rapetissement de l'ordre
de ***.
On voit donc que l'équation (129) ci-après s'étend, comme (127), au cas
de H et C, graduellement variables, sauf quand * est devenu tellement petit que
ses dérivées disparaissent devant celles de H et de ^. Mais, alors, le phénomène
est, en quelque sorte, terminé ou évanoui, et sans intérêt.
d^ , dh
cette relation même, -r- à ^> puis remplacer ^ par sa partie prin-
cipale
resultant de (127). Enfin la substitution de cette valeur (128) de ^ ainsi modifiée, dans (1 27), donne l'équation en $ cherchée :
(d.K± d.Kf\
(.39) , f^-^^ , ^-^J^V» , MH + ;)Y^-^^ , ^-^é)
1 "^V rfa: "^ rfj / a "^ 3K \ rfar "^ d'y /
dx |Xo û(r /
Si, par exemple, le terrain est homogène, ou que K, eXp soient constants, cette équation, divisée par K, devient
(,3o) g^ = (H+ï)i.* + ^[? + ai^i.«]-
Le second membre se réduit, en première approximation, à son terme (H 4- J^) A^^; ce qui donne bien alors l'équation du refroidissement d'une plaque homogène. Et l'on voit que la deuxième approxi-
mation ajoute à ce second membre, outre le terme non linéaire A^ — >
que l'on connaissait déjà, un terme linéaire en AaAs^, comparable au précédent quand A^^ est de l'ordre de petitesse de $*.
11 . Si l'on posait H = o et ^ = o, comme nous l'avons fait (au § VI du Mémoire principal) dans le cas d'un fond plat avec source au niveau de ce fond, l'équation (126), réduite à
donnerait
dx dy \ d^
dx dy J'dt
d^ ^'dl
OÙ Ton substituerait à -^j dans les petits termes entre crochets, sa valeur de première approximation ^ > alors égale à
en vertu de (127). Et cette expression (i3i), ainsi transformée, de
dh
dt'
T-> portée dans (127), conduirait à l'équation indéfinie en $ :
"dt "" V dû "~
^^ dl "X dx "^ dy J'
d , .r d\ / , ,. rf
dx "J 1 1 ' "^ ' rfy I **
dx dy / \]Âi ~dx^ jl^ ^J / T
\ t/j7 dy J \ dx dy J i\
Lorsque K et (jl^ sont constants, il vient, en divisant par K,
11X0 rf* . *» 2r**A A *' /-Î.A A\A **1
12. Je n'essaierai pas de tirer parti de ces formules, les calculs de seconde approximation étant loin d'offrir, dans la question présente, l'intérêt qu'ils auraient, par exemple, dans une étude d'ondes régies approximativement par Téquation de d'Alembert ou des cordes vi-
branles. En effet, les lentes déformations qu'éprouvent de telles ondes, déformations caractérisliques des phénomènes et dès lors importantes à considérer, sont données uniquement par la deuxième approximation; car l'équation de d'Alembert les annule. Mais, ici où la première approximation ramène, en général, le problème des mouvements de la nappe à celui du refroidissement d'une plaque et non à la question des cordes vibrantes, cette première approximation règle déjà, même dans le cas particulier, plus complexe, des équations (i33) et(i34), les altérations assez rapides du phénomène, et une approximation plus élevée ne peut y changer relativement que peu de chose (* ).
§ III. — Petites dénivellations d'une masse aqueuse infiltrée^ de profondeurs quelconques, avec ou sans écoulement au dehors.
13. Abandonnant l'hypothèse de la quasi-horizontalité des mouvements moyens locaux, supposons maintenant quelconques la profondeur H et les pentes du fond, mais petites les dénivellations h de la surface, ou plutôt leur partie dynamique Ço? autre, d'après (ii5), que celle, î^, due à la capillarité. La charge 9 étant, dès lors, partout très petite, nous négligerons les carrés et produits de cette fonction ou de ses dérivées. Enfin, pour simplifier, nous supposerons constante, dans la dénivellation A, la partie Ç, produite par l'action capillaire, afin de pouvoir prendre, pour surface finale d'équilibre de la nappe, un plan horizontal^ ;:=:—. î^.
En raison de la continuité de ç, la valeur de cette fonction © ou de ses dérivées partielles, sur chaque verticale (a?, y^ et au point où
(*) Au moment où s^imprimait, vers le commencement de janvier, le Paragraphe XI de ces Recherches, consacré à leur application aux trois sources de Cérilly, d'Armenlières et de la Dhuis, dont les deux premières appartiennent au bassin de la Vanne, M. Edmond Maillet calculait les débits d*été d'une troisième source de la Vanne, celle àii^àix Miroir, pour laquelle il obtenait, d'après les observations faites de 1886 à 1900, un coefficient de tarissement a égal à o,o5o65. Cette quatrième source se classe donc dans le type de celles de a Dhuis et de Cérilly, qui se présentait théoriquement comme devant être le plus ordinaire.
ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTREES DANS LE SOL. 879
passe actuellement la surface libre souterraine 5 = — s — <Po5 pourra n'être pas distinguée de leur valeur au point (oc^y) du plan horizontal z = — l^] car l'erreur entraînée par une telle substitution, étant de l'ordre du produit, parç^, de la dérivée enz de la fonction considérée, sera négligeable d'après l'hypothèse faite. Cela revient à j^(?r le champ où existe et où doit être obtenue la charge ç, dans les limites qu'il a effectivement pour nnfini, ou pour ç évanouissant. Et ce sont bien les limites à adopter ici ; car, par le fait même de la réduction convenue des équations à leurs parties linéaires en <p, on cherche la forme admissible pour ç dans le cas de valeurs initiales Ço infiniment petites, produits d'une fonction arbitraire de x et de ^ par une constante voisine de zéro.
