La condition (i i5), ainsi devenue

A = Ç + (p (pour ^ = — Ç),

différentiée en ;, donnera, comme vitesse -^ d'exhaussement de la

surface, la dérivée ^ prise pour ^ == — Ç. Et cette valeur portée, afin

d'éliminer A, dans la relation (117), rendue linéaire par la réduction de son second membre au premier terme, la transformera en une relation capitale, régissant © à la limite supérieure z = — J^ du champ, savoir

(^35) f^o§ = Kg (pour z =-0.

Celle-ci vient compléter la condition d'état initial, où h^ désignera la valeur primitive de h eif(x,y) la fonction arbitraire donnée A© — J^ :

(i36) (f = h^—t =f(x^y) (pour z = — J^ et / = o).

Ces relations (i35) et (i36), en s'adjoignanl aux équations (112), (ii3)et (ii4)? déterminent complètement (p. Car, s'il existait deux fonctions différentes ç et 9 -i- ç' les vérifiant, leur différence ç' satis-

Journ. de Math. (5* série), tome X. — Fasc. IV, 1904. 4^

38o J. BOUSSINESQ.

ferait évidemment aux équations suivantes :

(137) / (à la superficie ^ = — Ç) ^"^==(^0"^*

(sur le reste de la surface) ( -p ou ç' j =0,

et, enfin,

(i38) (pour / = o et :3 = — Ç) 9'=o.

Or, la première équation (^37), multipliée par (f' et par un élément de volume dts^ puis intégrée, par parties, à la manière ordinaire, dans toute l'étendue xs comprise entre le plan z = — J^ et les parois ou les orifices, donne immédiatement, grâce aux trois dernières relations (137) et en appelant da les divers éléments de la surface supérieure, confondue avec sa projection a sur le plan ir = — Ç,

OU bien

Mais, d'après (i38), le carré ç'* est nul initialement sur toute la surface cr; et, s'il cessait de l'être à un moment donné, ce serait pour rendre positive, ainsi que sa dérivée en t, l'intégrale de surface figurant au premier membre de la formule (iSg), lequel aurait alors tous ses éléments de même signe et ne pourrait pas s'annuler.

Donc ç' = o ; et la fonction ç qui satisfait aux équations (i 1 2), (1 1 3), (i i4'), (i35) et (i36) du problème est unique.

15. Le mode de démonstration qui précède rappelle tout à fait celui par lequel on prouve que la question du refroidissement d'un corps est déterminée par son équation indéfinie et parles conditions ordinaires aux limites ou initiale. C'est que, en effet, le problème actuel est.

analy tiquement, identique à celui du refroidisseïhenl d'un corps athermane isotrope, pourvu de la conductibilité intérieure K, occupant même situation que la nappe aqueuse dans son état final de repos, avec surface maintenue à la température zéro, aux orifices^ mais calorifiquement imperméable, aux parois ^ ainsi que dans le plan z = — Ç, et dont, enfin, la capacité pour la chaleur serait nulle, sauf dans une couche supérieure mince où, très grande par unité de volume, elle aurait la valeur finie \Lq par unité d'aire.

Car, alors, la relation (i35) exprimerait bien réchauffement de

cette couche par le flux calorifique K^ venu de l'intérieur, tandis

que, dans le reste du corps, l'annulation de la capacité pour la chaleur réduirait l'équation indéfinie du refroidissement à celle, (112), des températures stationnaires (*).

46. Il est clair qu'une pareille condensation de toute la capacité calorifique du corps dans sa couche supérieure, tout en donnant un cas limite ou extrême de la question du refroidissement, n'est pas de nature à changer la formule générale de la température ç. Il y aura

donc lieu de prendre pour <p la somme VcUT d'une infinité de solutions simplesy produits de constantes arbitraires c, dépendant de l'état initial (i36), par des facteurs U, T fonctions, respectivement, les premiers, des coordonnées a;, y, ^, les seconds, du temps t {^),

(*) Si l'on remplaçait, dans (i35), ~ par --r^, les équations de notre problème des petits mouvements de la nappe infiltrée prendraient la forme de celles des ondes provoquées, à la surface du liquide pesant remplissant un bassin, par de rapides impulsions qu'on y exerce du dehors {voir, par exemple, mon Volume intitulé Applications des potentiels, etc, y p. 678 à 682). Aussi passe-t-on de la

solution <p=:\ cUe~"*' delà question présente, à celle de la question de ces

ondes, en remplaçant simplement les exponentielles «-"*' par les facteurs trigonomélriques cos(^^m).

(*) On pourrait même, tout de suite, s'appuyant sur les démoristrations données à propos du problème du refroidissement, prendre Tme-"*^ {Voir la XV" de mes Leçons sur la Théorie analytique de la chaleur, mise en harmonie

38a J. BOUSSINESQ.

Les équations (112), (ii3), (ii4)j vérifiées séparément par chaque solution simple, deviennent

I (aux orifices et aux parois) (U ou -^ j =0, tandis que la relation (i35), vérifiée de même, prend la forme

Les deux membres étant indépendants, le premier, des deux coordonnées X et y, le çecond, du temps /, ont pour valeur une même constante — m. Par suite, d'une part, T est proportionnel à e""*', et Ton peut écrire

d'autre part, aux relations (i4o) s'adjoint, pour compléter la détermination de la forme de U et des coefficients d^ extinction m des exponentielles, la condition spéciale

(142) K-^ = — m[XoLI (pour^= — Ç).

17. Multiplions l'équation indéfinie en U, qui est la première (i4o), par l'élément rfor du volume xs de la nappe et par une fonction continue U' de 07, y, -3, qui soit, ou la fonction U elle-même, ou la fonction analogue correspondant à une exponentielle e"''*'', autre que e"'"'; puis intégrons par parties comme on a fait ci-dessus pour établir la formule (iSg), en tenant compte des conditions aux limites (i4o)j tant pour la fonction U' que pour la fonction U, et de la condition (142) pour la fonction U. Nous aurons

/ r'X\ r ITIT/ / Ti^ [d\^ d\}' . d\} d\}' . d\} dV'\ ,

avec la Thermodynamique et avec la théorie mécanique de la lumière, t. I, p. 23o à 245.)

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. 383

Si l'on fait U'= U dans celle relation, il vient pour m le quotient de deux intégrales, l'une, de volume, l'autre, de surface, essentiellement positives; ce qui montre que tous les nombres m possibles sont positifs y ou que ce sont bien des coefficients d^ extinction.

Si, au contraire, l'on fait U' différent de U et correspondant à un coefficient d'extinction m! autre que m, l'équation analogue à (i43), mais en ni et non en m, retranchée de (i43), donnera

(i44) (m-- m*) 1 ik^l]\]'d(j= Oj c'est-à-dire /^ [XoUU'rfa = o.

On pourra donc appliquer la méthode d'élimination de Fourier au calcul des coefficients c affectant les diverses solutions simples, et qui dépendent de l'état initial (i36). En effet, si nous appelons U^ les valeurs des fonctions U à la superficie ^ = — ^, la condition (i36) devient

(i45) ^cV,=:/(x,y).

Or, en multipliant celle-ci par pL^UoC^a, puis intégrant sur toute l'étendue a de la surface supérieure, enfin, observant que les termes du premier membre de (t45) autres que cUo pourront s'écrire c'UJ^

ou donneront lieu à l'intégrale & 1 (jLo Uo U„ ^œ, nulle en vertu de (i44)>

l'on aura bien

(i46) cfiL,\]ld<j = fiu,/(x,y)l],da.

Et l'on en déduira le coefficient c quelconque d'amplitude, qui s'y trouve séparé de tous les autres.

18. Supposons maintenant la nappe aqueuse cylindrique ou prismatique, c'est-à-dire limitée par des bords verticaux, reliant la surface libre :; = — ^ à un fond horizontal z = H. Et admettons, d'une part, que le coefficient K des flux soit le produit /f x d'une fonction positive A: de a; et de y, par une fonction x de z, également positive, égale à I à la surface supérieure ;: = — ^, et que le rapport ^ soit

384 ^' BOUSSINKSQ.

constant; d'autre part, que le fond soit, tout entier, ou une paroi, ou un orifice, et que chaque bande verticale des bords se trouve aussi, de haut en bas, ou tout entière paroi, ou tout entière orifice.

Si alors on prend pour fonctions U les produits de facteurs V, dépendant de x et de y, par des facteurs, Z, dépendant de z seul et se réduisant à i, comme x, à la surface supérieure, d'abord, l'équation indéfinie, déduite de la première relation (i4o)? deviendra immédiatement

ky\^ax\ dx ) dy\ dy ) \ TiZ dz\ dz )

Et ses deux membres, indépendants, le premier, de z, le second, de X et dey, se réduiront à une même constante, que j'appellerai v ; de sorte que l'équation indéfinie se dédoublera, pour régir séparément U et Z, dans les deux suivantes :

L'on peut, pour fixer les idées, considérer la fonction V uniquement sur la surface supérieure a, où a;, y prennent toutes leurs valeurs et au contour de laquelle pourront alors être rapportées les conditions (i4o) concernant les parois et ouvertures verticales, à normales dn dirigées comme celles de ce contour. En effet, ces conditions, où il faudra faire U = VZ, seront

(148) f^ouVj=o (sur le contour de (7),

tandis que la relation d'état initial (i45), où U = Uo — VZo = V, deviendra

(149) 2;cv=/(^,y).

Or l'adjonction des relations (148) et (f49) à la première équation (147) constitue précisément le système d'équations qui déterminerait la température p, mise sous la forme ordinaire p = V cV<?^^', dans une plaque à bases imperméables qui recouvrirait la surface a et

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTREES DANS LE SOL. 385

aurait, avec f{x, y) pour température initiale, son contour en partie imperméable et en partie maintenu à zéro, pourvu que l'équation indéfinie de son refroidissement fût

Donc, si nous admettons qu'on ait résolu ce problème de refroidissement, les fonctions V, les constantes v, toutes positives, et les coefficients c d'amplitude, seront connus.

Cela posé, et l'intégration de la seconde équation indéfinie (i47)? en Z, introduisant deux constantes arbitraires, il restera, pour déterminer ces constantes et le coefficient corrélatif m d'extinction de l'exponentielle e~^^^ d'une part, les deux relations

(i5i) Z = i (pour z = — 2^), (^ouZj = o (pour;j = H),

dont la seconde résultera des troisième ou deuxième conditions (i4o) relatives au fond, et, d'autre part, une fois Z ainsi complètement défini, l'équation (142), devenue

(i52) — = ^m^ (pour^=-J:);

d'où se tirera la valeur de m correspondant à chaque valeur de v. Le problème sera donc résolu.

19. Supposons X = i ou K fonction uniquement de x et de y, comme au § IL Alors la seconde équation (i47) admet les deux intégrales particulières coh(Hv^ — ^V^)j sih(Hv^ — -^v^), dont l'une sera exclue par la relation (i5i) relative au fond z = H, savoir la seconde, si ce fond est une paroi, et la première, s'il est un orifice. En attribuant à l'intégrale particulière subsistante le coefficient convenable pour vérifier la première relation (i5i), l'on aura donc, dans ces deux cas respectifs d'un fond imperméable et d'un fond orifice,

(i53) Z=soit <^ohW-,^) ^^.^ sih(Hv^-.v^)

et l'équation (i52) donnera enfin, pour calculer les coefficients d'extinction m, la formule

(i54) m = — ^/^(tah ou coth)(Hv'v + Çy/v).

Si l'on y pose, pour abréger, (H 4- Ç)\/v = a, cette expression de m sera proportionnelle à l'une des deux fonctions a tâha ou a cotha. Or

la dérivée de celle-ci en a est — ;^ — r— ^— -nr-r?? fraction positive comme a:

2(coha ou siha)' ^ '

car son numérateur, nul pour a = o, a sa propre dérivée par rapport à 2 a, savoir coh(2a)dbi, essentiellement positive. Donc m croît avec a, ou avec v; et la plus petite valeur de v donnera la plus petite de m, celle à laquelle correspond l'expression asymptotique, cUe~'"',

de ç.

20. Les résultats deviennent particulièrement simples quand la profondeur H est très grande; car, alors, tous les cosinus ou sinus hyperboliques figurant dans les formules (i53) sont, du moins pour les valeurs modérées de j, ceux d'arguments considérables et se réduisent à des moitiés d'exponentielles. Il vient donc, vu que, d'ailleurs, dans (i54), la tangente ou cotangente hyperbolique ne diffère plus sensiblement de i ,

(i55) (pour H très grand)

On voit que la charge 9 ne dépend plus que des trois variables

ou que la relation (i35), écrite

(■56) tè-S»».

cesse d'être une condition spéciale à la surface supérieure, pour devenir, concurremment avec (112), une véritable équation indéfinie. Mais ce

cas limite d'une nappe infiniment profonde mérite d'etre traité plus simplement, et c'est par son étude que je terminerai le présent travail.

§ IV. — Extinction graduelle du mouvement dans une nappe infiltrée profonde et à bords verticaux, par propagation uniforme d'une onde ascendante.

21, Ne faisons pas tout de suite infinie la profondeur H. Supposons-la seulement constante, et, dans cette hypothèse, considérant l'équation indéfinie (i 1 2) en 9 (où K, ici, ne dépend pas de z) à l'intérieur de la section horizontale, que nous appellerons ex, faite à un niveau z quelconque dans la nappe prismatique, multiplions (112) par (p rfff; puis intégrons dans toute l'étendue a, en appliquant aux deux

premiers termes l'intégration par parties. La condition f -^ ou 9 ) == o

relative au contour de la section annulera partout la somme des deux termes intégrés ; et nous aurons

ou bien, en remplaçant f-^ par ^ (— ) — 5^» multipliant par 2 et réduisant,

(157) ^jrKç»rfï=2jrK(A.ç)»c?<x.

Cette équation montre que l'intégrale / Kç^rfci a sa dérivée seconde en z essentiellement positive, ou sa dérivée première en z,

croissante depuis la surface z = — ^ jusqu'au fond z = ïi. Cette dérivée première, étant visiblement nulle au fond, où disparaît soit

la charge ç, soit le flux entrant K^> se trouve donc négative quel que

soil z] et, par suite, l'intégrale / Kç^rfa est décroissante de haut en

bas. Comme sa valeur, essentiellement positive, ne lui permet de décroître en tout que dans une mesure finie, sa dérivée en z devra donc s'évanouir asymptotiquement aux grandes profondeurs ^, si l'on fait H de plus en plus considérable.

Ainsi la fonction continue ç, à valeurs comparables sur toute l'étendue de a, ne croît pas sans limite avec Zj quelque grand que devienne H, puisque la moyenne (convenablement définie) de ç*, à chaque niveau z^ est tenue de diminuer quand z grandit.

22. Si la condition relative an fond est ç = o, l'intégrale / Kç'^ rfa

s'y annulera. Or cette intégrale, ayant sa dérivée en z évanouissante aux grandes profondeurs, s'annulera aussi, très sensiblement, aux niveaux z plus ou moins voisins du fond; et, comme tous ses éléments sont de même signe, l'on y aura, quand H croîtra sans limite, ç très

petit, ou ^ tendant vers zéro.

De même, quand la condition au fond est ^ = o, la dérivée sui-

vante ^ y tend vers zéro, si H grandit indéfiniment. Car l'équation (112), où K ne dépend, par hypothèse, que de x et de y, différentiée en z^ montre que ^, substitué à o dans cette équation (i 1 2), y satisfait non moins que 9. Et l'on peut en dire autant de la condition relative au contour des sections a, savoir ^ ou 9 = o : le symbole -j- y dési-

gnant (cosa)^ — |-(sina)-T-/ avec a indépendant de z, la dérivation

par rapport à z les transforme en (^ -^^ ou ^ j = o.

On peut donc bien, dans le cas présent où le fond est une paroi, dire de ^ ce qu'on disait de ç quand le fond était un orifice.

D'après cela, l'expression ^ ^ — 77?' premier membre de (i56), que j'appellerai ^ et qui, d'après (t35), s'annule à la surface supé-

rieure z = — ÎI, s'annulera aussi au fond, avec ç et ^> quand, H croissant indéfiniment, le fond sera un orifice. Et dans le cas où ce serait une paroi, la dérivée ^ s'y annulera. D'ailleurs, même dans ce cas,

ç et, par suite, ^ restent finis pour z infini; de sorte que l'expression ^ elle-même ne grandit pas sans limite. Ainsi, l'on aura toujours

(i58) (pour H et j infinis) ^--^ = 0.

23. Cela posé, continuant à appeler ^ le premier membre de l'équation (i56), évaluons l'expression

(■59) é('^^3l)-|(''|)-é(Kâ>

analogue au premier membre de (i 1 2). Il viendra, vu que le rapport ^ est supposé constant et le coefficient K des flux indépendant de Zj

Kp- = (^ ± - 4-) (Kp.), .

dx \K dt dzj \ dx) puis

dx\^dx) '~\Kdt dz)dx\ dxj

L'on aura de même -7- ( K -p- ) et enfin ày \ dy)

£. (k ^Ï\ ~K — (^ ^ ^^ — (^ — ÉS\ — (k ^\

dz\ dz) ~ ^é^5«\K dt dz) ~ \K dt dzJ dzy^dzj'

L'expression (139) devient ainsi

c'est-à-dire zéro, en vertu de (1 12).

Donc la fonction A vérifie la même équation (112) que ç. Et elle satisfait également, sur le contour de chaque section horizontale ex,

à la même condition que ç : car celte condition, f ^ ou 9 j = o, diflerentiée en /, donne (^57 0u^)=o;et Ton vient de voir (p. 388) que, d'autre part, ( w~ 5? <^" ^) = <>• L'on a bien, par suite,

(160) (^ou^j=o (sur le contour de a).

L'on obtiendra en conséquence, pour ^, à chaque niveau j, une relation analogue à (157), ou prouvant que l'intégrale / K^^ rfa a sa

dérivée première en ^, 2 / K^-^rfa, décroissante de haut en bas.

Comme celle-ci, dans le cas d'une profondeur H infinie, est nulle au fond d'après (i58), elle ne pourra qu'être, alors, négative à tous les

niveaux; et la fonction essentiellement positive / K^^rfo- ne pourra

pas croître de la surface au fond. Or, l'équation (i35) l'annule à la surface. Donc elle sera nulle partout, et l'on aura identiquement ^ = o.

24. C'est bien dire que la relation (i56) devient une équation indéfinie du problème, reliant directement la manière dont la charge 9 varie avec / à la manière même dont elle variait initialement avec z. Son intégrale exprime, en elBFet, que ç dépend de ^ et de / uniquement

par la variable intermédiaire z 4- ^ ^ Donc, dès que les dénivellations

données, pour / = o, à la surface z = — Ç, ont fait connaître partout la charge initiale ç = F(a7,y, z), déterminée, en tous les points (Xj y, z) de la nappe, parles relations (i 12), (ii3), (ii4) et(ii5), ces charges résultent, à toutes les époques t ultérieures, de la formule

et l'état physique, les flux de transpiration, qu'elles entraînent, se propagent de bas en haut, sur chaque verticale, avec la vitesse ou

célérité constante ^' Chaque état physique réalisé d'abord aux

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL, Sgi

profondeurs z croissantes^ vient se produire successivement à tous les niveaux supérieurs^ jusqu'à la surface z = — 1^^ où il disparait. Et révanouissement graduel du phénomène, dans le temps, se fait, à chaque niveau z, comme il s'était fait initialement, dans l'espace, de ce niveau aux niveaux plus bas. Le mouvement s'éteint par la durée, comme par la profondeur.

Il est vrai que les équations (112), (ii3) et (ii4) doivent être vérifiées, par ç, à toute époque t et non pas seulement pour / = o. Mais, dès que la nappe cylindrique est supposée indéfinie vers le bas, avec évanouissement simplement asymptotique de ç pour z = ao, ces équations (i 12) à (ii4)? q^î régiraient les températures stationnaires dans un cylindre géométriquement identique à la nappe et à génératrices ou imperméables ou maintenues à zéro sur toute leur longueur^ sont autant satisfaites, en chaque point (a?, y, z) de l'espace situé audessous du plan ^ = — Ç, quand le cylindre a un mouvement ascendant arbitraire, que lorsqu'il est fixe. Et elles admettent ainsi pour intégrale, non seulement ç = F(a;,y, z), mais aussi ç = F(a7, y, z -j- T), où T désignerait une fonction quelconque du temps. C'est cette fonction arbitraire T, nulle, pour / = o, en raison de (11 5) où A est alors connu, que l'équation (i35) a déterminée pour tous les instants ultérieurs (').

2S. Il y a, du moins quand le coefficient K des flux est constant, des cas intéressants où la fonction F elle-même peut être exprimée non plus seulement en série de solutions simples, sous la forme

mais en termes finis. C'est, d'abord, le cas où la dénivellation initiale ç© n'a des valeurs, /(^Pj^), différentes de zéro, que sur une très petite fraction de la surface supérieure z= — î^, et loin de son contour; en sorte que la condition relative aux limites tant inférieure que latérales

(^) Les résultats précédents ont été résumés dans trois Notes des 8, 16 et 22 août 1904 (Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris, t. CXXXIX, p. 387, 4'7et44i).

3g2 J. BOUSSINESQ.

de la nappe puisse être censée se réduire à

(p=:o (pour a;, ^ ou 5 infinis).

Alors le potentiel newtonien, /Zi^^iZîL-î, d'une couche fictive de

matière étalée sur le plan z = — Hi, et ayant, au point quelconque (^oî Xo) ^^ c® plan, la valeur f(^o',yo) P^^r unité d'aire, potentiel où r désigne la dislance du point quelconque (^,y, ^) de la nappe à Vêlement /(x^j yQ)d(7 de la couche, permet de représenter simplement la charge initiale F(a7,y, z); car l'on a

F(a;,7,z) = -^J^jr^

/i^o^.Yo)d<r

/<T [(ï + ^)'+(^-^o)'4-(/-Vo)=P

En effet, la fonction potentielle et, par suite, sa dérivée en z^ nulles aux distances infinies de la couche supposée limitée, vérifient, en outre, à toutes les distances C + -^ de son plan autres que zéro, l'équation indéfinie (i 1 2), devenue AjÇ = o; [et, enfin, la dérivée en z de la même fonction potentielle se réduit, comme on sait, pour Ç -4- ^ infiniment petit, au produit de — 2ir par la densité superficielle /(:r, y), prise égale à Ço, de la couche.

Un second cas est celui où la dénivellation initiale ne s'étend que sur une région de la surface supérieure encore petit^e relativement, mais voisine d'un côté vertical de la nappe constitué soit par une paroi, soit par un orifice. Il suffit alors d'imaginer la nappe latéralement indéfinie en tous sens, comme dans le cas précédent, et de calculer, dans (162), le potentiel / Jl£o^j oj__^^ p^^j. ^^^ couche qui

aurait encore la masse /(^o^o)? P^^* unité d'aire, sur la superficie ^ = — ^ effective, mais une masse égale à celle-là, en valeur absolue, au point du plan z = — î^ symétrique du point quelconque (x^j y^^) de cette superficie, par rapport à la face verticale considérée, en attribuant, d'ailleurs, à cette masse géométriquement symétrique de la première, même signe qu'à celle-ci, si la face latérale en question est

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. SqS

une paroi, et signe contraire^'si elle est un orifice. Car les valeurs du potentiel total et, par suite, de sa dérivée en z, proportionnelle à ç, seront alors, évidemment, égales et de même signe de part et d'autre du plan vertical de symétrie, dans le premier cas, égales et de signe contraire, dans le second ; de sorte que la condition correspondante

se trouvera, vu la continuité de (p, vérifiée d'elle-même sur ce plan. Celui-ci pourra donc devenir soit une paroi, soit un orifice, dans la nappe censée d'abord indéfinie latéralement, sans que rien soit changé au phénomène.

26* On conçoit qu'en associant ainsi, aux valeurs effectives /(x^^ y q) de Ço sur la partie du plan horizontal z = — J^ où existe la nappe, certaines valeurs fictives sur plusieurs parties du même plan où elle ne s'étend pas, valeurs symétriques des premières (quant à leur distribution), par rapport aux bords verticaux effectifs, et prises soit avec mêmes signes, soit avec signes contraires, suivant qu'ils sont occupés par des parois ou par des orifices, l'on obtienne parfois, sur une partie en tout finie ou infinie du plan z = — J^, une couche fictive totale,

//(^o,ro)û?cj,

offrant ces deux genres respectifs de symétrie par rapport à toutes les faces latérales de la nappe proposée. Et il est clair qu'alors la formule (162) continue à exprimer, en tous les points (a;, y, z) de celle-ci, la charge initiale o = F(a;, y, z).

Toutefois, quand la superficie z = —X àe la nappe a plus de deux côtés ou en a de parallèles, que c'est, par exemple, un rectangle, ou un triangle equilateral, etc., et que, par suite, la couche fictive totale

//(a7o,y^)rfcT offre une distribution périodique sur une étendue du

plan ^ = — 2^ infinie dans les deux sens, si, de plus, les faces latérales sont toutes des parois, ou que la nappe infiltrée, privée d'écoulement, ait son volume invariable, il y aura lieu (comme j'ai dit au n° 2)

394 J- BOUSSINESQ. — ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU, ETC.

de placer rorigine des z^ dc manière à annuler la valeur moyenne de la dénivellation initiale (po=:/(x, y). Sans cela, le potentiel serait infini et la charge initiale (162) ne tendrait pas vers zéro dans les grandes profondeurs z (*).

Si l'on veut en arriver alors jusqu'aux valeurs numériques de ç, chacun des compartiments périodiques, égaux à la base supérieure de la nappe proposée, en lesquels se trouve divisé le plan z = — - î^, donne une partie distincte de l'intégrale; et celle-ci devient ainsi une série double, plus ou moins convergente, dont le calcul peut être fort abrégé par des procédés spéciaux (^).

( *) On peut voir à ce sujet, dans le Tome II, p. 45, de ma Théorie analytique de la chaleur, mise en harmonie avec la Thermodynamique et açec la théorie mécanique de la lumière, la discussion concernant le problème analogue de réchaufTement permanent d'un corps par des sources calorifiques extérieures, voisines de sa surface.

(*) J'ai exposé, au n<> 316* de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique (t. II, Compléments, p. io3* à 108*), ces procédés de réduction, qui ont été appliqués effectivement en novembre i883, par Barré de Saint-Venant et M. Flamant, à la question des mouvements d'un liquide dans un vase prismatique, d'où ce liquide s'écoule par un petit orifice percé au milieu de la base {Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. XCVII, p. 1027 et iio5). La solution de ce problème dépend d'un potentiel des vitesses complètement analogue au potentiel newlonien que nous considérons ici, comme je l'avais montré, dès 1878, au n° 202, p. 546, de mon Essai sur la théorie des eaux courantes {Mémoires des Savants étrangers de l'Académie des Sciences de Paris, t. XXIII).

Les fonctions fondamentales dé^M* Poincaré et In méthode de Neumann pour une frontière composée de polygones curçilignes ;

Pae m. s. ZAREMBA,

Professeur à l^Université de Gracoyie.