I. — Introduction

1 . Dans les nombreux travaux provoqués par le célèbre Mémoire de M. Poincaré : La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet ('), on s'est borné, presque exclusivement, à Tétude du cas où les angles formés avec des droites fixes par la normale ^à la frontière sont des fonctions continues des coordonnées du pied de la normale. A notre connaissance, M. Korn (*) seul s'est affranchi de cette restriction dans le cas de deux variables indépendantes où il a considéré une frontière affectant la forme d'un polygone curviligne. Mais M. Korn s'est borné strictement à étendre à ce cas la solution du problème de Dirichlet par la méthode de Neumann, sans chercher à effectuer l'extension correspondante de la théorie des fonctions fondamentales.

Ajoutons que M. Korn est conduit à faire, au sujet des valeurs périphériques de la fonction demandée dans le problème de Dirichlet, une hypothèse bien plus particulière que celle de la simple continuité. Il y

(^) Acta Mathematica, 1896.

(') Korn, Abhandlungen zur PotentiaUheorie. Dtimmler, Berlin.

Journ. de Math. (5* série), tome X. — Fasc. IV, 1904. 44

396 s. ZAREMBA.

a donc intérêt à reprendre l'étude de toute la théorie dans le cas où, dans le voisinage de certains points de la frontière, la direction de la normale éprouve des variations brusques; tel est précisément le but de ce travail.

En principe, la même méthode est applicable au plan et à l'espace ; il existe cependant entre ces deux cas des différences assez marquées pour que chacun d'eux exige une étude spéciale. Nous n'envisagerons ici que le cas du plan.

Après avoir défini certains termes et certaines notations dont nous nous servirons constamment, et rappelé certains faits analytiques, nous énoncerons, à la fin de l'Introduction, les résultats principaux que nous avons obtenus.

2. Les problèmes dont nous aurons à nous occuper concernent un domaine déterminé dans le plan par sa frontière (S). Il faut donc, tout d'abord, préciser la notion de ces éléments. A cet effet, considérons dans le plan n lignes fermées, soit

et supposons : i^que chacune d'elles, considérée isolément, partage le plan précisément en deux régions connexes dont elle serait la frontière commune ; 2*^ qu'aucune des lignes précédentes n'ait un point commun avec une autre d'entre elles. Le plan sera évidemment partagé par l'ensemble des lignes (i) en /i -h i régions.

Aucune des lignes (i) n'ayant de points situés à l'infini, il n'y aura, parmi les régions précédentes, qu'une seule région (R^) s'étendant à l'infini. Nous l'appellerons la région infinie et nous diviserons les // autres régions en catégories de la manière suivante : toute région contiguë à la région (Ro) sera dite de première catégorie ^ toute région autre que (R^) et contiguë à une région de première catégorie sera dite de seconde catégorie; enfin, d'une manière générale, toute région contiguë à une région de catégorie k sans être elle-même une région ^ de catégorie k — i sera dite de catégorie k -hi.

Cela posé, nous dirons que les lignes fermées (i) sont des branches différentes d'une même ligne fermée non connexe; convenons une

LBS FONCTIONS DE M. POINGARÉ ET LA. MÉTHODE DE NEUMANN. 'ig'J

fois pour toutes de désigner cette ligne non connexe par le symbole (S).

Nous dirons, en outre, que l'ensemble des régions de catégories impaires constitue le domaine intérieur (D), et que l'ensemble des autres régions, y compris la région infinie (R©), constitue le domaine extérieur (D'). D'après cela, la ligne (S) sera la frontière commune des domaines (D) et (D'). Le sens que nous venons de donner aux symboles (S), (D) et (D') leur sera conservé dans toute l'étendue de ce Mémoire,

Il va sans dire que nous ferons certaines hypothèses restrictives au sujet de la ligne (S).

Nous supposerons que chaque branche de la ligne (S) est formée d'un nombre fini d'arcs que nous appellerons calés de la ligne (S); et nous dirons que les points de concours des côtés sont les sommets de cette ligne.

Voici les hypothèses que nous ferons au sujet des arcs précédents :

i** Chacun de ces arcs admet une tangente déterminée en chacun de ses points.

2^ Si l'on désigne par ^ l'angle positif non supérieur à - formé par

lestiormales élevées en deux [points quelconques A et B situés sur un même côté de la ligne (S), on a

j:<c.âb,

où C désigne un nombre positif, le même pour chacun des calés de la ligne (S).

3"" Il existe une certaine longueur constante S, la même pour tous les côtés de laligne(S), telle que sil'on décrit d'un point quelconque O, pris sur la ligne (S), comme centre un cercle (S) de rayon 5, < S, mais d'ailleurs quelconque, la circonférence de ce cercle ne rencontrera le côté (C) de la ligne (S), sur lequel ce point est situé, qu'en deux points ou en un seul point, suivant que la distance du point O à l'extrémité la plus proche du côté C ne sera pas ou sera inférieure à 84, et toute parallèle à la normale en O à la ligne (S) ne pourra rencontrer la portion du côté (G) située à l'intérieur du cercle (£) qu'en un seul point au plus.

398 s. ZA.REMBA.

4** Tout angle 6 de la ligne (S), c'esl-à-dire l'angle formé par les deux côtés issus d'un même sommet et compté à l'intérieur du domaine D vérifiera les inégalités suivantes :

G <^6 < 2ir.

3. De même que dans nos autres travaux sur la méthode de Neumann, nous envisagerons, en même temps que l'équation de Laplace, l'équation plus générale

(2) Att — (i.^tt = o,

où l'on a désigné par (x un nombre réel non négatif, et par Aw, suivant l'usage, l'expression

Convenons, une fois pour toutes, de représenter par /(z) la fonction définie par l'équation suivante :

OÙ, pour les valeurs réelles de z, les seules que nous aurons à considérer, le radical doit être pris avec le signe positif. Posons ensuite

en convenant de prendre la détermination positive du radical et considérons la fonction /(rfx). Cette fonction, regardée comme fonction des variables x et y^ est, comme on le sait (* ), et comme on le vérifierait immédiatement, une intégrale dont le rôle, par rapport à cette équation, est absolument analogue à celui de la fonction logr dans la théorie de l'équation de Laplace. On trouvera une étude détaillée de la fonction /(>?) et de fonctions analogues dans l'Ouvrage de M. Poin-

(*) PoiNCARfi, Sur les équations de la Physique {Rendiconti del Circolo mateniatico di Palermo, 1894).

LES FONCTIONS DE M. POINCARÉ ET LA MÉTHODE DE NEUMANN. SpQ

caré, Théorie analytique de la propagation de la chaleur. Mais, pour les applications que nous avons en vue, il suffira de savoir que l'on a (0

|/(z) = (log. + c)[.H-2^,]

où c représente une constante qu'il ne nous importe pas de connaître.

Si, dans l'expression d'un potentiel logarithmique, de simple couche ou de double couche, on remplace la fonction logr par la fonction /((xr), on obtient une nouvelle fonction que nous appellerons un potentiel logarithmique généralisé de nombre caractéristique (x de simple couche dans le premier cas et de double couche dans le second. Il est évident que tout potentiel logarithmique généralisé représente une intégrale de l'équation (i).

La terminologie que nous avons adoptée pourrait faire croire que, pour [X = o, les potentiels logarithmiques généralisés se réduisent aux potentiels logarithmiques ordinaires. C'est bien ce qui a lieu pour les potentiels de double couche, mais la même circonstance ne se présente pas, en général, pour les potentiels de simple couche : pour qu'elle se présente, il est nécessaire et suffisant que la densité o* de la simple couche vérifie la condition suivante :

I <^ds=z o.

où l'intégration doit être étendue à toute la ligne portant la simple couche. Rien d'analogue n'a lieu dans l'espace et c'est ce qui empêche de considérer le cas du plan comme un simple cas particulier compris dans le cas de l'espace.

4. Il résulte des recherches récentes sur la théorie de la méthode de

(^) Sberbt, Calcul intégral, a« édition, p. 58i et 582.

400 s. ZAREMBA.

Neumann et sur celle de la méthode de Robin, théories qui, en réalité, ne sont que deux aspects d'une même théorie, que ces théories sont comprises dans celles des deux problèmes suivants :

Convenons de représenter par (F), et ($)^ les valeurs limites sur la ligne (S) des fonctions F et $ définies, la première dans le domaine intérieur (D) et la seconde dans le domaine extérieur (D'); désignons

en outre par ( ^ ) . ^M 5^ ) l^s dérivées normales d'une fonction ^

calculées, la première pour le côté intérieur de la ligne (S) et la seconde pour le côté extérieur, la normale elle-même étant, dans les deux cas, dirigée vers l'intérieur du domaine (D); cela posé, on donne deux fonctions a*© et h^ définies sur la ligne (S) et l'on propose : j® D'établir V existence d'un potentiel de simple couche u et celle d^un potentiel de double couche p, potentiels qui peuvent être des potentiels logarithmiques ordinaires ou des potentiels généralisés de nombre caractéristique donné ^ vérifiant les équations suivantes :

oà X représente un paramètre variable;

2** D'étudier les propriétés des fonctions u et v considérées comme fonctions de la variable complexe X.

Nous allons étudier ces problèmes en supposant que les fonctions o'j et Ao vérifient les hypothèses suivantes :

1® Chacune d'elles ne peut cesser d'être continue qu'en un nombre limité de points ;

2** Chacune des intégrales

f\<i,\ds et f\h,\ds

a un sens.

3® Lorsqu'un point A situé sur la ligne (S) tend suivant une loi

quelconque vers un sommet M de cette ligne, le produit

|o'.(A)|Âm'',

OÙ p représente un nombre positif constant inférieur k l'unité, reste, pour des valeurs assez petites de AM, inférieur à une constante finie ;

4® La fonction A© reste finie dans le voisinage de chaque sommet.

Gela posé, désignons par 0 un des angles de la ligne (S), par R la plus petite des valeurs que prend le rapport

quand on envisage successivement tous les sommets de la ligne (S), et par (T) le domaine limité dans le plan de la variable complexe X par un cercle de rayon R ayant l'origine des coordonnées pour centre. Les théorèmes suivants résumeront alors les principaux résultats que nous avons établis dans ce travail :

Théorème fondamental L — U équation (5) admets par rapport à V inconnue m, une solution uÇk){*)^ fonction analytique du paramètre X. Cette fonction du paramètre X existe dans toute l'étendue du domaine (T) et n'admet^ à l'intérieur de ce domaine, d'autres singularités que des pôles simples et réels faisant partie d'une suite de nombres réels et inégaux :

suite qui ne dépend que de la ligne (S) dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires, mais qui, dans le cas des potentiels logarithmiques généralisés, dépend encore du nombre caractéristique de ces potentiels. D'ailleurs la suite en question ne dépend en au-

(*) Nous entendons par solution de l'équation (5) un potentiel de simple couche qui la vérifie en chaque point de la ligne (s) avec exclusion, cela va sans dire, des sommets et des points où la fonction d^ cesse d^être continue; nous supposons de plus que ce potentiel dérive d^une simple couche dont la densité ^ satisfait aux conditions générales imposées à la fonction (i^.

402 S. ZAREMBA..

A chaque terme X^ de la suite (7), on peut faire correspondre un nombre fini, soit j^^ de potentiels de simple couche

qui formeront ce que nous appellerons un système complet de fonctions fondamentales de M. Poincaré relatif au nombre X;^ ^t. qui jouiront des propriétés suivantes :

I® Ces potentiels sont des potentiels logarithmiques ordinaires s'il en est ainsi du potentiel u\ si, au contraire, u est un potentiel généralisé de nombre caractéristique [x, il en est de même des potentiels (9);

2® Les fonctions (9) sont linéairement indépendantes; en d'autres termes, aucune combinaison linéaire et homogène à coefficients constants de ces fonctions ne peut conserver une valeur constante dans toute l'étendue du plan.

3** On a, en chaque point de la ligne (S) distinct d'un sommet,

t\^ La valeur commune des deux membres de l'égalité (10) est une fonction qui ne peut devenir discontinue qu'aux sommets de la ligné {s) et, si l'on désigne par o'^tr ( A) la valeur de cette fonction en un point variable A situé sur la ligne {s) et par M l'un quelconque des sommets de cette ligne, le produit

(11) MA^'tf^^CA),

où pi^ représente un nombre positif inférieur à l'unité, reste fini lorsque le point A tend vers le point M suivant une loi quelconque.

5° Lorsqu'un potentiel de simple couche U (bien entendu de la même nature que les autres potentiels considérés) satisfait à la relation

OÙ X' représente une constante vérifiant l'inégalité

et lorsque de plus la valeur commune des deux membres de l'équation précédente est une fonction qui vérifie les hypothèses générales faites au sujet de la fonction d^^ le nombre X' sera égal à l'un des nombres de la suite (7), soit à X;^, et la fonction U sera une combinaison linéaire et homogène à coefficients constants des fonctions (9).

6** Lorsque la fonction u{X) admet le nombre X;^ pour pôle, le résidu correspondant est une combinaison linéaire et homogène à coefficients constants des fonctions (9).

7*^ Dans le cas des potentiels logarithmiques généralisés, on a toujours

(12) |Xj>i,

tandis que, dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires, on a

En dehors de la solution analytique par rapport à X dans le domaine (T), laquelle est unique, l'équation (5) peut admettre une solution non analytique dans ce domaine. La solution non analytique n'existera que dans le cas où tous les termes de la suite (7) ne seraient pas tous des pôles de la solution analytique, et alors les deux solutions ne diftéreront entre elles que pour des valeurs de X égales à ceux des termes de la suite (7) qui ne sont pas des pôles de la solution analytique.

Théorème fondamental IL — U équation (6) admety par rapport à l'inconnue v^ une solution (*) vÇk)^ fonction analytique du paramètre X dans toute l'étendue du domaine (T).

(^) Nous entendons par solution de Téquation (6) tout potentiel de double couche la vérifiant en chaque point de la ligne (S) où la fonction A^ ne cesse pas d^être continue sans exclusion des sommets ^i dérivant, en outre, d^une double couche dont la densité h satisfait aux conditions générales imposées à la fonc-

tion Aq.

Journ, de Math, (5* série), tume X. — Fasc. IV, 1904. 4^

4o4 s. ZAREMBA.

Cette fonction ne possède, à l'intérieur du domaine (T), d'autres singularités que des pôles simples et réels faisant partie de la suite (7). Le résidu relatif à un pôle quelconque X;^ sera un potentiel de double couche V;^, vérifiant l'équation

et dérivant d'une double couche dont la densité sera égale à la fonction à laquelle se réduit sur (S) une certaine fonction U^t? combinaison linéaire et homogène (*) à coefficients constants des fonctions (9) ; on aura à l'intérieur du domaine (D)

et à l'intérieur du domaine (D')

aX,

Enfin, en dehors de la solution analytique par rapport à X dans le domaine (T), l'équation (6) pourra admettre une solution non analytique dans ce domaine. La solution non analytique n'existera que dans le cas où tous les termes de la suite (7) ne seraient pas tous des pôles de la solution analytique et alors les deux solutions ne différeront entre elles que pour les valeurs de X égales à ceux des termes de la suite (7) qui ne sont pas des pôles de la solution analytique (^).

Il va sans dire que notre théorie comprend comme cas particulier le cas où la ligne (S) serait dépourvue de sommets. Le domaine (T) considéré dans l'énoncé des théorèmes précédents coïnciderait alors avec toute l'étendue du plan de la variable complexe X.

(^) II existe un cas exceptionnel où le moi homogène doit être supprimé dans l'énoncé précédent : c'est celui oii, dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires, on envisage le pôle, X^ = — i et où la ligne (S) est telle que parmi les fonctions U,y il en existe une irrégulière à Tinfini et nulle sur (S).

(') J'ai résumé sommairement les résultats précédents dans une Note insérée aux Comptes fendus le 6 juillet igoS.