II. — Propriétés fondamentales des potentiels
f>. Rapportons le plan à un système de coordonnées rectangulaires Xy y et désignons : par r la dislance du point courant P (a;, y) à un point B situé sur la ligne (S); par ds l'élément de cette ligne relatif au point B ; par y l'angle formé par le rayon BP avec la normale intérieure à la ligne (S) en B; par A et a* les valeurs en B de deux fonctions définies sur (S), fonctions que nous supposerons vérifier les conditions générales imposées (n** 4) aux fonctions a*© et h^. Cela posé, considérons les potentiels logarithmiques généralisés de simple couche u et de double couche v définis par les équations
et
On établira aisément les faits analytiques suivants : 1° La fonction u reste finie en chaque point de la ligne (S) et cela sans exclusion des sommets.
2** Lorsqu'un point A situé sur la ligne (S) n'est ni un sommet ni
un point de discontinuité de la fonction a*, les quantités (;^ ) et ^ j sont continues en ce point et l'on a
ainsi que
où a*' représente la fonction définie par Téquation suivante :
(5) ^^:zl.Ç^^Ji^^o^^ds,
4o6 s. ZAREMBA.
en désignant par r' la distance du point A à l'origine B de l'élément d'arc ds et par a l'angle formé par le vecteur AB avec la normale intérieure à la ligne (S) en A. J'ajoute que la fonction a" définie par l'équation (5) ne peut avoir, en dehors des sommets de la ligne (S), aucun autre point de discontinuité.
3** Pourvu que la fonction h soit continue en un point A situé sur la ligne (S), ce point fût-il un sommet, les fonctions (p), et {ç\ seront continues en A et l'on aura en ce point
si, en outre, le point A n'est pas un sommet de la ligne (S), on aura encore
en désignant par h' la fonction définie par l'équation suivante :
où p représente l'angle formé par la normale intérieure élevée à la ligne (S) au point B, origine de l'élément d'arc ds avec le vecteur BA, de longueur r\
4** La fonction h' n'admet, en dehors des sommets de la ligne (S), aucun autre point de discontinuité; en outre, elle est limitée, même dans le voisinage des sommets.
5® Désignons par ^{x^y) un potentiel logarithmique généralisé dérivant d'une couche simple ou double portée par la ligne (S). Le produit
(8) ?(^,7)(ar«H-r»)",
oli m représente un nombre positif quelconque, tendra vers zéro en même temps que l'expression
et il en sera de même de tout produit que Ton obtiendrait en rempla-
çant la fonction ©(a?, y) par une de ses dérivées partielles d'ordre quelconque.
6. Considérons dans le plan trois points A(xj y)^ A< (^njKi) ^^ h^{x^ JK)) 6^ posons
Une application facile du théorème de Green permettra d'établir la relation suivante :
(9) (m»-fx«) r* r'f{r,m)f(j',^)dxdy=9.T:[f{rm)-f{r^)\
OÙ, cela va sans dire, m et (x représentent deux nombres positifs. Gela posé, considérons quatre potentiels logarithmiques généralisés <f(x, y), u(x, y), ^(x, y) et v{x, y) et supposons :
I® Que les potentiels <p et w de nombres caractéristiques w et (x dérivent d'une même simple couche;
n^ Que les potentiels ^ el v aient pour nombres caractéristiques respectifs les nombres caractéristiques /w et (x des potentiels ç et w et dérivent d'une même double couche. On déduira aisément de la relation (9) les relations suivantes :
(10) et
( (^'-P-Or" ry(rm)u(x%y)dx'dy ( {m^-^^)fy jyf{rm)v{x',y)dx'dy
où r représente la distance des points (a;, y) et {x\ y).
J'ajoute que, dans les relations précédentes, il est permis de regarder u et V comme des potentiels logarithmiques ordinaires à condition de remplacer dans les premiers membres le facteur m* — (x* par m^. G'est ce que l'on vérifiera aisément au moyen d'une relation analogue à la relation (9).
4o8 s. ZAREMBA.
Les fonctions de a? et ^ formant les premiers membres des équations (lo) et (il) rentrent dans la catégorie des fonctions F(x,y) que Ton peut définir au moyen de la formule suivante :
.,-4-ac ■»-»-•
(.2) F(^'r)=j ./, Arm)g(x',y)d.v'dy',
OÙ g(^\y) représente une fonction donnée. Lorsque la fonction g(x'j y), continue en général, ne cesse de l'être que sur certaines lignes (L) et lorsqu'en outre elle est limitée, la fonction F (a?, y) jouit des propriétés suivantes :
I® Les dérivées premières sont finies et continues en chaque point du plan et l'on a
avec une formule analogue pour -c —
2® Si Ton désigne par ç une limite supérieure des valeurs absolues de la fonction g{x\y) et par DF Tune quelconque des dérivées ^ ou — , on a, en chaque point du plan :
(•3) |Fi<-™|ï'
