J. DOLSSINESQ. — ÉCOULEMENT DES GAZ PAR LES ORIFICES

maximum, pour A= ~ = 0,4(^7, alors que la valeur exacte serait

A = I - 0,328. .. = 0,471..., c'est-à-dire, pratiquement^ la même chose, mais, surtout, de ce que le maximum approché ainsi obtenu est

K = i/~- = o,483ol, tandis que le maximum rigoureux de K est, d'après (3) et (5),

c'est-à-dire plus grand d'environ sa quatre-centième partie seulement. On pouvait, d'ailleurs, s'y attendre, après l'évaluation donnée à la lin du n** III, qui indiquait déjà un pareil excédent, bien insensible, de la valeur exacte.

V. C'est par un calcul précis de nombreux résultats d'observation, accompagné de la représentation graphique, au moyen d'une courbe qui s'est trouvée être le quart d'une ellipse presque circulaire, des valeurs de K en ressortant, que M. Henri Parenty a été conduit à la formule (10), dans la question de l'écoulement non seulement des gaz, mais aussi de la vapeur d'eau, sur laquelle il a fait beaucoup d'expériences (*). On voit que, du moins pour les gaz, cette formule si simple n'est qu'une excellente réduction de l'ancienne et belle formule théorique duc à de Saint- Venant et Wantzel.

(*) Comptes rendus de l' Académie des Sciences de Paris, t. CXIII, p. i84;

27 juillet 1891. Fo^'z" aussi, aux Annales des Mines (novembre 1902), son Mémoire

înlilulé Observations sur les expériences de M, Bateau concernant le débit

de la vapeur et leur concordance avec les formules de M, Parenty. Observons,

loutefois, que M. Parenly fait varier dans une certaine mesure, en sens inverse du

coefficient m de contraction, notre coefficient constant — j de manière à corriger

le mieux possible Tliypothèse imparfaite, qu^implique la théorie^ d^une contraction invariable pour chaque dispositif d'orifice. C'est, naturellement, dans le cas d'un orifice bien évasé, ou de m très voisin de i, que la théorie s'applique le mieux. Pour un orifice en mince paroi, il prend m n::: 0,682 et porte jusqu'à

près de 2,2 noire coefficient — • ■^ in

Sur les équations linéaires aux dérivées partielles et la théorie des groupes continus;

Par m. a. BUHL,

Maitrc de Conférences à la Facullé des Sciences de Montpellier.

Objet du Mémoire. — Parmi les équations linéaires aux dérivées partielles on peut remarquer celles dont le premier membre est une forme linéaire à coefficients constants de certains produits symboliques d'opérateurs qui, considérés en eux-mêmes, définissent les transformations infinitésimales d'un groupe continu. Ainsi toutes les équations à coefficients constants, au sens ordinaire de cette expression, sont formées à l'aide des opérateurs

d'un groupe de translations dans l'espace général. De même la célèbre équation d'Euler et Poisson

s'écrit

XY(5) - «X(-) + (/« - i)Y(;;) - /?- = o;

si l'on pose

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ces deux derniers opérateurs définissant, comme on Je voit immédiatement, un groupe projectif d'une très grande simplicité, on a

XY-YX = X + Y.

Les équations de cette nature ont des propriétés entre lesquelles, à mon avis, il convient de faire des distinctions essentielles, suivant qu'elles résultent du choix des opérateurs composant le premier membre, indépendamment de la façon dont ces opérateurs y sont assemblés, soit qu'elles résultent de la forme de l'assemblage. Le but de ce Mémoire est d'étudier surtout les premières propriétés. J'y montrerai notamment que, lorsque l'on connaît une solution de telles équations, quelque particulière qu'elle puisse être, on peut, en général, en déduire une solution contenant des fonctions arbitraires. En de nombreux points de cette élude je retrouverai et utiliserai des idées dues à l'admirable géomètre que fut Sophus Lie.

I. — Quelques remarques sur les équations à coefficients constants.

1. Je vais passer rapidement sur certaines propriétés connues des équations à coefficients constants, car ces propriétés auront une extension toute naturelle dans la suite pour des équations plus générales. Toutes ces équations admettent une solution de la forme

les a étant liés par une équation algébrique, dite équation caractéristique, que l'on forme immédiatement en portant l'expression précédente dans le premier membre de l'équation donnée. Cette solution si simple contient pourtant en germe les innombrables solutions que donnent les méthodes de Cauchy et dont la Physique mathématique fait un si grand usage. J'insisterai sur le fait que, pour en déduire toutes ces dernières, nous ne nous appuierons plus que sur les propriétés des opérateurs

/ N dû

qui ne dépendent en rien de la façon dont ils sont assemblés pour constituer le premier membre de Téquation donnée.

Du fait que les opérateurs (2) sont permutables résulte cette propriété que je considère comme absolument fondamentale : Toutes les dérivées partielles d'une solution d'une équation linéaire à coefficients constants sont également des solutions. C'est, en effet, évident, puisque porter la dérivée partielle d'une solution dans l'équation proposée revient à appliquer l'opérateur de cette dérivation partielle au premier membre de ladite équation.

Une autre propriété, encore bien évidente, des équations à coefficients constants est que la substitution

où les ô sont des constantes arbitraires, change une solution en une autre. Une telle substitution change, en effet, les opérateurs (2) en eux-mêmes. Mais je considère comme essentiel de montrer que cette seconde propriété n'est pas forcément distincte de la première. Considérons pour cela l'opérateur

D'après la première propriété, et attendu qu'il s'agit d'une équation linéaire, il transforme une solution en une autre, et il en est de même de tous les produits symboliques de tels opérateurs et de toutes les combinaisons linéaires de tels produits. En particulier, la série

sera une solution si la fonction / en est une. Or cette série n'est autre que la formule de Taylor pour le cas de plusieurs variables et si toutes les dérivées partielles de /ont un sens et sont, par suite, de véritables solutions de l'équation aux dérivées partielles considérée, la formule précédente aura également un sens et représentera en général

BUHL.

Cette propriété n'est donc pas distincte de la propriété fondamentale soulignée tout à l'heure. Elle permet de transformer la solution (i) en

Or cette solution en reste encore une si on la multiplie par n'importe quelle fonction des a et des ô et même par les différentielles dcL et rfô. Intégrer entre des limites quelconques une telle expression, c'est encore faire une somme de solutions. Finalement nous parvenons à une expression telle que

(4) jF(a,Ô)f?^«f'^«^nrfarfO.

C'est une intégrale multiple qui. par rapport aux a, doit être prise le long de la variété algébrique définie dans l'espace général par l'équation caractéristique, et une intégrale définie multiple à limites arbitraires par rapport aux ô.

On voit immédiatement que cette solution comprend, comme je l'ai annoncé, toutes les solutions déduites de la formule de Fourier, cette formule étant comprise dans l'expression ci-dessus. Le procédé de Cauchy, qui est vraisemblablement le plus avantageux pour la Physique mathématique, consiste à résoudre l'équation caractéristique par rapport à l'une des variables a. Plus généralement, on pourrait exprimer les coordonnées a de la surface caractéristique en fonction d'autres paramètres qu'eux-mêmes moins un seul. Mais mon but n'est pas de m'engager dans ces recherches. J'ai voulu simplement montrer que toutes les solutions comprises dans la formule (4) découlaient seulement de l'existence de la solution (i) et du lemme fondamental mentionné plus haut.

On verra plus loin qu'en exposant les choses comme je viens de le faire, elles se laissent généraliser de la façon la plus naturelle pour des équations à coefficients non constants. Pour donner un exemple aussi simple que possible de solutions déduites de la formule (4), je l'appliquerai à la formation de solutions qui se présentent sous forme de séries entières. .