De certaines solutions transcendantes entières. — Pour

m'écarter le moins possible des notations de Cauchy, je considérerai l'équation

où une variable t est spécialement mise en évidence, puis la solution OÙ p est une fonction des a définie par Téquation caractéristique

que, pour plus de symétrie, j'écrirai

Pj^ étant un polynôme en a de degré k. P^ est donc la simple bonstante a„o...o5 coefficient de -^ • Nous supposerons d'abord expressément que cette constante n'est pas nulle. L'expression

formée comme à l'habitude, les intégrales ayant des limites convenables, se réduit pour 1=^1^ k\di formule de Fourier qui représente F(ar<, x^t . . .), c'est-à-dire à une fonction arbitraire des variables x. Je vais établir que la somme des n expressions précédentes^ formées en attribuant successivement à p, les n valeurs des racines de Inéquation caractéristique, est une solution développable en série entière de l'équation aux dérivées partielles primitive. On a tout d'abord

Donnons à p les /i valeurs en question et sommons, il vient (6) s,+ '-=^s, + i^^s,+ ...,

Journ» de Math, {b* série), lome X. — Fasc. I, i(jo4. *^

go A. BUHL.

s^ désignant la somme des k^^^^ puissances des racines de Téquation caractéristique, c'est-à-dire des fonctions symétriques bien connues et faciles à former, s^ est la simple constante n, tandis que «,,52,... sont des polynômes en a. Substituant alors la série (6) à la place de eP('-^^ dans la formule (5), il nous vient une série où Ton peut

d'abord mettre tous les ~ ^^'^ ^ en avant des intégrales. Et quant aux

intégrales qui jouent le rôle de coefficients, la première, au facteur 5^ près, est F(a?,, x^^ . . .) et toutes les autres se déduisent de cette dernière fonction par des combinaisons linéaires de dérivations partielles, car, en admettant que les intégrales

ait

aient toutes un sens pour les différentes valeurs de l'indice ât, il est clair que ces polynômes Sf^ apparaîtront sous les signes sommatoires, même s'ils n'y figurent pas d'abord, en faisant une suite convenable de dérivations par rapport à x^^ x^^ ... et en formant une fonction linéaire de ces dérivées partielles. Les exemples donnés plus loin éclairciront d'ailleurs tout ceci et nous verrons que les solutions en forme de séries entières que nous sommes en train de rattacher au type unique considéré en commençant sont celles que donne la méthode des coefficients indéterminés. Ace propos, je puis montrer tout de suite que, dans la solution que nous venons de définir et que je représenterai par

(8) s.(F) + ^^S,(F) + ii:^'s,(F) + ...,

une loi de récurrence se manifeste immédiatement quant à la formation des opérateurs S. Lorsqu'il s'agit de calculer les sommes de puissances semblables S/^ des racines de l'équation caractéristique, on peut, par exemple, employer les formules de Newton jusqu'au calcul de 5«, inclusivement. Au delà nous avons les formules récurrentes

1\^«4-/+- 1\ *ViW-i ■+-•••-+-1^-1**4-1 -H P/i^/=o (/ = 0, I, 2, ...,oc).

EQUATIONS LINEAIRES AUX DERIVEES PARTIELLES. 9I

En multipliant cette égalité par

2ir

et intégrant toujours sous les mêmes conditions, nous voyons reparaître des intégrales de la forme (7) contenant de plus sous les signes sommatoires les polynômes en a que sont les P à l'exception de P^ qui est une simple constante. L'égalité obtenue peut s'écrire symboliquement

(9) p„s„^,4- (POSn./-, + ...-+- (P„-OS/.i ■+- (P»)S/- O,

les (P) représentant des opérateurs à définir une fois pour toutes et qui permettent de calculer S„^|- pour toutes les valeurs de /, c'està-dire tous les termes de la série (8) dès que l'on connaît les n premiers.

J'ai à revenir maintenant sur le lemme fondamental du début de ce Chapitre, lequel va nous donner des résultats d'un nouvel intérêt.

Une solution telle que (8) étant obtenue, ses dérivées partielles où l'on changerait la fonction F ne seraient-elles pas de nouvelles solutions distinctes de (8) ?

La réponse est négative pour les dérivations partielles par rapport aux variables x, elle est affirmative pour les dérivations partielles par rapporta /. Dans le premier cas, en effet, tout revient à substituer à F une dérivée partielle de F et comme F est arbitraire cela n'augmente en rien la généralité. Dans le second, au contraire, les nouveaux coefficients S obtenus ne peuvent ainsi se ramener à ceux de la série primitive. Cela n'est vrai toutefois que jusqu'à la (/i — iy«™« dérivation inclusivement. Par des dérivations successives par rapport à ^formons, en effet, les n solutions

s. (FO+^^S,(FO-h^^S, (F.)-i-...,

S„-,(F») -H ^S„(F„) + ii:^S^,(F„) +. . .,

9^ A. BUHL.

OÙ F,, Fa, . . ., F;, sont des fonctions arbitraires. Je dis qu'en dérivant une fois de plus et désignant par F^^^, une nouvelle fonction arbitraire, la solution obtenue

n'est pas distincte des précédentes. Pour le voir, il suffit d'appliquer aux n 4- r séries précédentes respectivement les opérateurs (P»), (P,^,), . . . , (PO, Po, puis de faire F, = F, = . . . = F„= F„^, dans les /^ premières. Ajoutant ensuite, en tenant compte de (9), il vient un résultat identiquement nul. Et, comme les opérateurs (P) sont permutables aux opérateurs S, on voit que notre dernière série est une somme des séries (10) où les fonctions arbitraires F sont modifiées d'une certaine manière.

Cette démonstration se pourrait évidemment répéter indéfiniment.

Nous sommes donc arrivés en dernière analyse à déduire de la solution (i) les n solutions (10) dont la somme, plus généralement, est une fonction transcendante entière de t contenant n fonctions arbitraires.