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7. Voici, sous forme de théorèmes, une série de propriétés des fonctions a" et h' définies par les formules (5) et (7), propriétés qui nous seront indispensables dans la suite et que, avec un peu d'attention, on n'éprouvera pas de difficulté à établir.

Théorème L — Soient M un des sommets de la ligne (S) et A un autre point quelconque situé sur cette ligne.

Supposons qu'il existe deux constantes positives §„ et E telles que l'inégalité

(i5) MA<So

entraîne V inégalité suiçante :

où p représente un nombre positif inférieur à l^ unité.

Si Von impose à la constante 80 la condition de ne pas dépasser une certaine limite 8 dépendant uniquement des propriétés géométriques de la ligne (S), on pourra déterminer deux constantes positives C, et C^ ne dépendant^ comme 8, que des propriétés de la ligne (S), telles que l'inégalité (i5) entraîne l'inégalité suivante :

(.6) |(oj<^[;^5;-'+T(/')] + |Xl*'*'

en désignant par ?(/?) la fonction définie par Véquation suivante :

^ '^ Tvr/ ^ J^ I — 25cose-4-«*

oh 6 représente V angle de la ligne (S) en M.

J'ajoute que le théorème précédent subsiste sans aucun changement quand on remplace dans l'équation (5), servant de définition à la fonction a', la fonction /((^r) par la fonction logr.

Théorème II. — Désignons par l la distance d'un point A situé sur la ligne (S) aw sommet le plus voisin. On aura, même dans le cas où l'on remplacerait la fonction /([xr) par la fonction logr, l'inégalité suivante : ,

(18) i^xK^/lo-i^,

où C3 représente une constante positive dépendant uniquement de la ligne (S).

Théorème III. — Lorsque la valeur absolue de la fonction h entrant dans la formule {'j)a une limite supérieure H, on a, en chaque

4lO s. ZA.REMBA.

point de la ligne (S), à la fois les deux inégalités suivantes :

OÙ l'on a désigné par R le même nombre que page /|Oi et par C^ et G5 deux nombres positifs ne dépendant que de la ligne (S). Au surplus, l'inégalité (20) subsiste même dans le cas où, dans la formule {j)y on remplacerait la fonction fd^-y r) par la fonction logr.

Théorème IV. — On a à la fois les deux inégalités salivantes :

(22) f\^\ds<C,f\<^\ds

oil les lettres R, C4 e/ C5 représentent les mêmes nombres que dans les inégalités (19) et (20). Ajoutons que l'inégalité (22) subsiste même quand on remplace, dans la formule (5), la fonction /(p-r') par la fonction logr'.

Théorème V. — Soit S' une longueur au plus égale à une certaine longueur S dépendant uniquement de la ligne (S), mais d^aflleurs quelconque. Décrivons de chaque sommet de la ligne (S) comme centre un cercle de rayon S'; désignons ensuite par (S*') l'ensemble des points de la ligne (^) situés à l'extérieur de tous ces cercles et par (S') l'ensemble de tous les autres points de cette ligne. Cela posé, si h' est la fonction définie par la formule C'y) ou par celle qui s'en déduit en remplaçant la fonction f([^^') par la fonction logr^ et si H, et H^ sont les limites supérieures des valeurs absolues de la fonction h sur les portions ( S') et ( S") de la ligne (S), on aura^ en chaque point de la portion {S') de la ligne (S), l'iné-

LES FONCTIONS DE M. POINGARE ET LA METHODE DE NEUMANN. ^^l

galité suwante :

OU ^ a la même signification que dans les théorèmes précédents^ les lettres G^ et C^ désignant de noui?elles constantes positives ne dépendant que de la ligne (S).