III. — Problème de Robin

8. Nous entendons par problème de Robin le problème qui consiste à déterminer un potentiel de simple couche u vérifiant l'équalion suivante :

OÙ 0*^ est une fonction donnée sur la ligne (S).

Nous supposerons d'abord que la fonction o*^ ne peut cesser d'être continue qu'aux sommets de la ligne (S) et que Ton a

où Eo est une constante positive, p' un nombre positif inférieur à l'unité et / la distance du point auquel correspond la valeur considérée de 0*0 ^^ sommet le plus voisin. Ce n'est qu'à la fin de ce Chapitre que nous nous placerons, en ce qui concerne la fonction a*,,, dans les conditions plus générales énoncées dans l'Introduction.

Il y a évidemment deux cas à distinguer suivant que u est un potentiel logarithmique généralisé ou un potentiel logarithmique ordinaire. Mais, dans ce numéro, nous n'établirons que des propositions où l'on n'a pas à distinguer ces deux cas.

Désignons par - la densité de la simple couche dont dérive le

potentiel u. Nous aurons

Journ, de Math. (5* série), tome X. — Fasc. IV, 1904. 4^

4l2 s. ZAREMBA.

Cherchons à développer la fonction a* suivant les puissances de X. Le terme indépendant de X se réduira évidemment à a*©. Nous pourrons donc poser

Désignons par u,, le potentiel dérivant d'une simple couche de densité — • Nous aurons

Cela posé, les équations (i), (5) et (6) donneront

(7) 2«'*- = (Sf),+ (^*). (k^o,i,2,...).

Tous ces calculs reposent sur l'hypothèse que les développements en série que nous avons employés sont légitimes. Il faut donc s'assurer dans quelles conditions il en est bien ainsi. Il résulte immédiatement du théorème I du n** 7 que l'on pourra calculer, sans rencontrer aucun obstacle, autant de coefficients que l'on voudra dans les séries (4) et (6). Cette remarque faite, considérons la série suivante :

(8) ^'k'f\^,\ds

Le théorème IV du n® 7 nous apprend que le rayon de convergence p de cette série vérifiera l'inégalité suivante :

(9) P>=èl-

Voici, d'autre part, ce qui résulte du théorème II du n*^ 7 : si

Ton désigne par (S") Tensemble des points de la ligne (S) situés à V extérieur des cercles de rayon commun y] décrits des sommets de la ligne (S) comme centres, la série (4) convergera absolument et uniformément sur (S") pour toute valeur de X de module inférieur à p, et cela si petite que soit la longueur yj. Donc, exception faite des sommets, la série (4) est absolument convergente (sans l'être uniformément) sur toute la ligne (S) pourvu que Ton ait

OÙ, comme cela résulte de l'inégalité (9), p représente un nombre positif 720/2 nul.

Comment se comporte la valeur (o')j^ de la somme o* de la série (4) en un point A situé sur la ligne (S) lorsque le point A tend vers un sommet de cette ligne, le paramètre X ayant, bien entendu, une valeur vérifiant l'inégalité (10)?

Nous répondrons à cette question en supposant que le paramètre X vérifie, en même temps que l'inégalité (10), encore l'inégalité suivante :

où R représente le nombre considéré dans les théorèmes III et IV du n^ 7.

Le nombre X ayant une valeur vérifiant à la fois les inégalités (10) et (i 1), désignons par R^ un nombre quelconque vérifiant à la fois les trois inégalités suivantes :

(12) < Ri<p,

Cela posé, considérons l'inégalité (16) du n" 7. Il est aisé de voir qu'il est possible de donner au nombre p une valeur au moins égale à y et assez voisine de l'unité, et au nombre o^, une valeur assez petite que nous supposerons être inférieure à l'unité, pour que l'inégalité

4l4 s. 7AREMBA.

soit vérifiée pour chacun des sommets de la ligne (S). Les nombres p et ôo étant choisis de cette façon, l'inégalité

MA<ô„

où M est un des sommets de la ligne (S) et A un point quelconque situé sur elle, entraînera, en vertu de l'inégalité (2), l'inégalité

laquelle, eu égard au choix des nombres p et 80 ^^ au théorème I du n® 7, entraînera à son tour les inégalités que voici :

MA en posant

On conclura aisément de ces inégalités que la série suivante :

entière en ^, a R< pour rayon de convergence, et que, par conséquent, elle est absolument convergente pour /=X. Cela étant, voici, on le reconnaîtra, avec un peu d'attention, la réponse que nous pouvons donner à la question que nous nous étions posée : il est possible de faire correspondre à toute valeur de X r^èri fiant à la fois les inégalités (10) et (i i) un nombre positif p inférieur à Vunitéy mais d^ autant plus voisin de ce nombre que la différence R — | X | sera plus petite y tel que le produit ( <^)J^^ ou l représente la distance du point A au sommet le plus voisin de la ligne (S), reste inférieur en valeur absolue à un nombre fini indépendant de L

LES FONCTIONS DE M. POINGARÊ ET LA MÉTHODE DE NEUMANN. 4l5

Voici les autres conséquences les plus importantes qui résultent de l'étude précédente de la série (4) •

I® Bien que cette série ne soit pas uniformément convergente sur la ligne (S), elle est cependant intégrable terme à terme pour toute valeur de X vérifiant l'inégalité

OÙ R' représente le plus petit des nombres R et p, lesquels, rappe-. lons-le, sont l'un et l'autre différents de zéro;

1^ Pour toute valeur de X vérifiant l'inégalité précédente, la série (6) est absolument et uniformément convergente sur la ligne (S) et même dans toute région finie du plan (*) et la somme u de cette série représente le potentiel dérivant d'une simple couche de densité a* portée par la ligne (S);

3*^ Sous la même condition, on a

en chaque point de la ligne (S), pourvu que ce point ne soit pas un sommet, ce qui prouve que la fonction w, somme de la série (6), est une solution de l'équation (i) pour l'ensemble des valeurs de X vérifiant l'inégalité (i3).

9. Considérons, pour un moment, le cas particulier des potentiels logarithmiques ordinaires. On s'assurera aisément que, dans ce cas, les relations suivantes seront vérifiées :

/ ^/c^i (h -i- I &,,ds = o (A* = o, 1 , 2, . . .) ;

on sait d'autre part que, pour qu'un potentiel logarithmique ordinaire dérivant d'une simple couche de densité c' représente une fonction

(*) On verra plus basque, sauf un cas exceptionnel que nous indiquerons, rinégalité (i3) assure en réalité la convergence absolue et uniforme de la série (6) dans tout le plan.

4l6 s. ZAREMBA.

harmonique régulière à l'infini, il est nécessaire et suffisant que Ton

ait