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en outre, lorsque cette condition est vérifiée, le potentiel considéré est nul à l'infini; enfin, lorsque la condition précédente n'est pas vérifiée, le potentiel en question est infini à l'infijni. Voici ce que l'on peut conclure de tout cela en ce qui concerne la série (6) dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires.
I® Lorsque la condition
(i4) C(^^ds = o
n'est pas vérifiée, cette série n'est uniformément convergente dans tout le plan pour aucune valeur de X différente de zéro.
2** Lorsqu'au contraire la condition (i4) est vérifiée l'inégalité (i3) assure la convergence absolue et uniforme de la série (6) dans tout le plan et la somme u de cette série représente une fonction harmonique régulière à l'infini. Pour établir ce point il n'y a qu'à tenir compte des deux faits suivants : d'une part les valeurs absolues des fonctions U|^ atteindront leurs maxima en certains points situés sur la ligne (S) et d'autre part l'inégalité (i3) assure la convergence absolue et uniforme de la série (6) sur la ligne (S) dans tous les cas.
Considérons maintenant le cas des potentiels généralisés. On sait qu'une fonction ^ vérifiant à l'intérieur d'un certain domaine l'équation suivante :
où UL représente un nombre réel, ne peut avoir, à l'intérieur de ce domaine, ni un maximum positif ni un minimum négatif. On en conclura aisément que, dans le cas des potentiels généralisés, les valeure absolues des fonctions Uj^ atteindront leurs maxima sur la ligne (S). Donc, dans ce cas encore, l'inégalité (i3) assurera la convergence absolue et uniforme de la série (6) dans tout le plan.
Supposons que les conditions pour que le rayon de convergence absolue et uniforme R" de la série (6) dans tout le plan soit différent
de zéro soient vérifiées et désignons par R^ le plus petit des nombres R" et R. D'après ce qui a été établi plus haut on aura
(i5) Ro>R'.
Je dis que Ton a
Ro = R'.
Rien d'essentiel ne distingue, dans la démonstration, le cas particulier des potentiels logarithmiques ordinaires.
Nous pourrons donc nous borner à considérer le cas des potentiels généralisés.
Désignons par$^ le potentiel généralisé de simple couche défini par l'équation suivante :
et posons
(,6) «>*= '^^^f^' £'f{rm)u,{o^,y)dx'dy',
en désignant par r la distance des points (a;, y) et (a;', y). On aura (n® 6) :
ce qui donne :
<■'> .0*-i'^=i(J[(^).-^(^).]l*-XJ^
ds.
Désignons par S la longueur totale dé la ligne (S) et par H^^ le maximum du module de la fonction u^ ; soit en outre
m > tx.
L'inégalité (i4) du Chapitre précédent d'une part et le théorème IV du même Chapitre d'autre part permettront de déduire de l'inégalité (17) l'inégalité suivante :
4l8 s. ZAKEMBA.
Le rayon de convergence de la série
étant évidemment égal à R", l'inégalité que nous venons d'obtenir prouve que le rayon de convergence de la série (8) est au moins égal au plus petit des nombres
et R".
Mais on peut prendre m aussi grand que l'on voudra. Donc le rayon de convergence de la série (8) est au moins égal au plus petit des nombres R'' et R.
Par conséquent
R'>Ro.
Cette inégalité entraîne, à cause de l'inégalité (i5), la relation (i6) qu'il s'agissait précisément de démontrer.
10. Considérons maintenant les intégrales de M. Poincaré ( * ) :
où, comme l'indiquent les indices, les intégrations doivent être étendues : dans la première au domaine extérieur (D') et dans la seconde au domaine intérieur (D) de la ligne (S); dans le cas particulier des potentiels logarithmiques ordinaires on devra faire jx = o et admettre en outre que la condition (i 4) est vérifiée, sans quoi les intégrales W).^^ cesseraient d'avoir un sens.
(*) Poincaré, La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet {Acta mathematical 1896). Voir aussi mon Mémoire : Sur l* intégration de l'équation Aw + ï w = G {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1902 ).
Cela posé, on justifiera la notation adoptée en prouvant que les intégrales considérées ne dépendent que de la somme des indices/ et ky on établira en même temps la relation suivante :
et l'on en conclura que la suite infinie
évidemment à termes positifs, est convergente et décroissante (ou du moins non croissante) et que la limite de cette suite ne peut être inférieure à l'unité. Désignons par R'" le nombre positif dont le carré est égal à la limite de la suite (20). On prouvera aisément que la série
a R'" pour rayon de convergence. Or cette série est identique à la série suivante :
dont le rayon de convergence est au moins égal à R". On aura donc
Par conséquent, si l'on désigne par R^ le plus petit des nombres R*" et R ; on aura
r;>Ro.
Je dis que l'on a
r:=Ro
Dans le cas particulier des potentiels logarithmiques ordinaires, on doit évidemment admettre que la fonction (t^ satisfaite l'équation (i 4);
Journ. de Math, (5« série), lome X. — Fasc. IV, 190^1. 47
420 S. ZAREMBA.
nous supposerons en outre que, dans ce cas, l'on a
on verra que cette restriction ne nous gênera en rien. D'ailleurs la démonstration, dans le cas des potentiels généralisés, ne se distingue de celle où l'on considère les potentiels ordinaires que par des modifications faciles à apercevoir, modifications qui sont en^même temps des simplifications sensibles liées à ce fait que, dans le cas des potentiels généralisés, les hypothèses exprimées par les relations (i4) et (23) deviennent superflues. Gela nous permettra de n'envisager que le cas des potentiels logarithmiques ordinaires.
Considérons sur la ligne (S) deux points A et B; soit r' leur distance, et P l'angle formé par la direction BA avec la normale intérieure en B à la ligne (S).
Le point A étant fixe, l'expression
I / 1 cos p I \
représentera une fonction déterminée du point B. Soit P le potentiel logarithmique ordinaire dérivant d'une simple couche dont la densité serait égale à la fonction précédente ( * ) ; nous aurons
Posons
(.5) K(A)=jr;£-[(-)v(-)>.^.
La fonction K(A) du point A ne pourra cesser d'être continue qu'aux sommets de la ligne (S).
(*) L'idée d'introduire la fonction P nous a été suggérée par le Mémoire de M. E.-R* Neumann : Neue Integraleigenschaften successiver Potentiele {Gôitinger JSachrichteny 1902).
Moyennant la relation (26) (uj,\ = ^ f "*-i ^ ds,
facile à établir, Téquation (24) donne
en posant
