MS

On déduit immédiatement de la relation précédente les inégalités suivantes :

(27) I «* -f- g I*, I < v/K(Â) VW;,, + W,^, (A: = i,2,3,...).

Considérons maintenant deux potentiels logarithmiques de simple couche $0 et $, définis au moyen des équations suivantes :

Le potentiel $ représentera une fonction harmonique régulière à l'infini. Cela posé, multiplions l'équation (28) par Ui^t ds et intégrons l'équation obtenue en étendant l'intégration à toute la ligne (S); il viendra

en s'appuyant d'une part sur (26) et, d'autre part, sur l'expression connue de la somme

En s'appuyant sur l'inégalité de Schwarz, on déduira de (29) l'iné-

4^2 s. ZAREMBA.

galité suivante :

(3o) 1 1, 4- 1,, I < B vWV, + W,,„

où l'on a désigné par B le nombre positif défini au moyen de l'équation

Les inégalités (27) et (3o) donnent

(3i) I «; i< [2 v/K(Â) + 1] vwû:;:tw;^,

en posant

(32) u'f, = u^^, -f- Wa, et en tenant xîompte de ce que l'on a

Posons encore

(33) a; = (Ta-^. -h a^,

et faisons la remarque suivante : si l'on remplace dans l'équation (i) les fonctions Œo et u par les fonctions (t^ et u\ les séries (4) et (6) deviendront identiques aux séries suivantes :

Reportons-nous maintenant au théorème V du Chapitre précédent, et désignons par H^^^^ et H!f^ les maxima des valeurs absolues delà fonction u\ sur les portions (S') et (S") de la ligne (S); nous aurons

(36) Hf^'^ < (ïï -^ C.S'^Hi^^-h ^nf.

Désignons par F (S') le maximum de l'expression

av/K(A) + |

lorsque le point A décrit la portion (S") de la ligne (S). La quantité F(S') représentera, pour toute valeur de S' différente de zéro, un nombre positif fini d'autant plus grand que S' sera plus petit, et l'inégalité (3 1) nous donnera

Soit a le plus petit des nombres

et r;,

les inégalités (36) et (37) donneront

ce qui donne

(38) Hf < |HV' + (^- ,)Çi^avW^^v;]^.

Désignons par F,(ô') le plus grand des deux nombres

F(5') et ^^4^^^,

il résulte des inégalités (37) et (38) que Ton aura, en chaque point de la ligne (S),

(39) |«;|<[H<;'+(A-i)F.(8')v/W: + Wo]^ (Ar=2,3,...).

424 s. ZAREMBA.

Cela prouve que, pour toute valeur deX vérifiant l'inégalité

la série (35) est absolument et uniformément convergente dans tout le plan. D'ailleurs, la différence R'^ — a peut être rendue égale à zéro lorsque R^ < R et aussi petite que l'on voudra lorsque R'^^ = R : il n'y a qu'à attribuer à S' une valeur assez petite. Il résulte de là que l'inégalité

assure la convergence absolue et uniforme de la série (35) dans tout le plan. Il s'ensuit (n**9) que l'inégalité précédente assure aussi la convergence absolue de la série (34)- '1 résulte d'ailleurs de l'inégalité ( 23 ) que l'on a

Par conséquent, les séries (34) et (35) convergeront absolument pour X = — I. On en conclura au moyen des relations (33) et (32) que l'on a

lim <j,;fc = — lim a^^^^ = ç,

lim«aA = — limt^a^^., == ^,

en désignant par ç une fonction [définie sur la ligne (S)] vérifiant les hypothèses énoncées au sujet de la fonction <j^, au début du n** 8, et par ^ le potentiel de simple couche défini par l'équation

Cela posé, on s'assurera que l'on a

rX'[@)'-(0)><'^=!l":(w;.-w..).

Or, en vertu de l'inégalité (23), on a

lini(W;,H-W,*) = o,