A=OD
LES FOTYGTIOKS DE M. PDINCARÉ ET L\ MÉTHODE DE NEUMANN. Z^nS
par conséquent, la fonction ^, nulle à Tinfini, sera nulle dans tout le plan . On aura donc
liml;t= o,
ce qui permet de déduire de l'inégalité (3o) l'inégalité suivante :
mais
on aura donc
BR
et l'on conclura, au moyen.de cette inégalité, de l'inégalité (27), l'inégalité suivante :
(4.) I («*)a I < g(^^ Vw,,, + w,*, 4. VK(Â) ^/w;,, -f-w,*..
Un raisonnement identique à celui qui nous a permis de déduire de l'inégalité (3 1) l'inégalité (89) permettra de déduire de l'inégalité (4 1) les inégalités suivantes :
(42) |«*l<[H,-H(Ar-.)û(S')VW;+W.J^ (Ar = 2.3,...),
OÙ l'on a désigné par a, comme dans l'inégalité (3g) ^ le plus petit des nombres
et r;,
par H| le maximum du module de la fonction Ut et par Û(S') une fonction de S' ayant une valeur positive finie pour toute valeur de S' difl'érente de zéro, celte valeur étant d'autant plus grande que 8' est plus petit; j'ajoute que la forme de la fonction Û(S') dépend uniquement de la ligne (S).
426 s. ZARRMBA.
On conclura immédiatement de l'inégalité (42) que Tinégalité
. iai<r:
assure la convergence absolue et uniforme de la série (6) dans tout le plan. On aura donc
inégalité qui, jointe à l'inégalité (21), entraîne la relation (22) qu'il s'agissait précisément de démontrer.
11. Lorsque la fonction cj*^ satisfait aux hypothèses du n** 8 et lorsque, dans le cas particulier des potentiels logarithmiques ordinaires, elle vérifie encore la relation (i4)> l^i démonstration du théorème fondamental I de l'introduction n'exigerait plus maintenant que la reproduction, avec quelques modifications évidentes, des considérations développées dans les numéros de 9 à 14 inclusivement, de mon Mémoire Sur l'intégration de l'équation
Aw + Ça = o (^).
Nous admettrons donc que, avec les restrictions que nous venons d'énoncer, le théorème en question est établi. Voyons comment on peut s'affranchir de ces restrictions.
Considérons le cas des potentiels logarithmiques ordinaires sans admettre que la relation (i4) soit vérifiée. Posons alors
//Q\ 'ku'-hUo
en désignant par u' un nouveau potentiel logarithmique ordinaire de simple couche. En portant cette valeur de u dans l'équation (i) on trouvera
en posant La relation
I (fds = o
étant satisfaite dans tous les cas, la substitution (43) ramène le cas où la relation (i4) n'est pas vérifiée à celui où elle a lieu.
Montrons enfin qu'il est aisé de s'affranchir de la restriction qui consiste à admettre que la fonction rf^ satisfait aux hypothèses du numéro 8. En effet, supposons que cette fonction ne vérifie que les conditions spécifiées dans l'énoncé du théorème fondamental I et posons
(44) u = Uç^'h'Ku\ L'équation (i) nous donnera
Or la fonction <^^ satisfera, on le prouvera sans peine, aux hypothèses faites au numéro 8 au sujet de la fonction rf^,. Par conséquent, la substitution (44) ramène le cas général au cas particulier où le théorème fondamental I est déjà démontré.
La discussion des pôles + i et — i que peut avoir la fonction u du paramètre X dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires présente un intérêt évident; elle pourra être faite par une méthode analogue à celle dont je me suis servi, pour trois variables indépendantes, dans mon Mémoire Sur les méthodes de la moyenne arithmétique de Neumann et de Robin dans le cas d' une frontière non connexe (* ).
12. Reportons-nous au théorème fondamental I de l'Introduction et considérons la suite
(45) X|, Xa, X,, ...,
(*) Bulletin de V Académie de Cracovie, octobre 1902.
Journ. de Math, (5« série), tome X. — Fasc. IV, 1904. 4^
4^8 s. ZAllEMBA.
ainsi que le système complet de fonctions fondamentales
(4ti) Vk.ij l^k,2, --.j U^.A
correspondant au terme X^ de cette suite. Nous nous proposons de faire au sujet des fonctions précédentes quelques remarques qui nous seront utiles au Chapitre suivant.
Posons
en désignant par les aa,p des constantes quelconques à cela près que le déterminant suivant
l«a.p| (ajp = ij2, 3, ...,yO soit différent de zéro. Il est évident que le système de fonctions
pourra être considéré comme formant un système complet de fonctions fondamentales relatives au terme Xj^ de la suite (45) au même titre que le système (46). Il est aisé de voir que, sauf une restriction que nous indiquerons tout à l'heure, il est possible de disposer des constantes a^p de façon :
I ® Que les relations suivantes :
lesquelles auront lieu dans tous les cas sous la condition k :^ /:', aient encore lieu toutes les fois que Ton 9.i^t\ même si Ton avait en même temps k = k\ 2" Que Ton ait
II est donc permis de supposer, comme nous allons le faire doréna-
vant, que le système (46) soit constitué de telle sorte que la relation
ait lieu pour toutes les valeurs des indices ^ et / et que Ton ait
à moins d^avoir à la fois
k = k' et t = t\
Cela posé, désignons par U^^ le résidu relatif au pôle X^ de la fonction u déGnie par l'équation (i).
D'après le théorème fondamental I, nous aurons
(49) U* = 2C*yU*y
et l'on prouvera aisément que l'on a
(50) C;ty= l\k f ^o^kjds.
Voici maintenant la restriction que l'on doit apporter à ce qui précède. Dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires, il peut arriver que, parmi les fonctions fondamentales relatives au pôle X< = — I, il en existe une, nécessairement irrégulière à l'infini, se réduisant à zéro sur la ligne (S); c'est ce qui se présente par exemple pour un cercle de rayon égal à l'unité. Dans ce cas, il sera impossible, on le prouvera sans peine, de faire en sorte que toutes les fonctions fondamentales relatives au pôle — i satisfassent à la condition (47)- Mais on pourra toujours s'arranger de façon qu'il n'y ait exception que pour une de ces fonctions, soit U| <, et que les autres soient, en outre, toutes régulières à l'infini. Nous admettrons que l'on ait réalisé ces conditions et nous assujettirons alors la fonction L)|,, à la condition
43o . s. ZAREMBA.
suivante :
au lieu d'imposer à cette fonction la condition (47) à laquelle, comme nous venons de le voir, il peut n'être pas possible de satisfaire.
D'ailleurs aucune modification ne devra être apportée à ce que nous avons dit au sujet des relations (48).
Ces conventions admises, la formule (5o) devra être remplacée, dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires pour k =y = i, par la formule suivante :
(52) C,, = -2 f<i,ds.
