IV. — Problème de Neumann

15. Nous entendons par problème de Neumann^ le problème qui consiste à déterminer un potentiel logarithmique (généralisé ou ordinaire) de double couche portée par la ligne (S), tel que l'on ait

OÙ Ao est une fonction donnée sur la ligne (S) et X une paramètre variable.

Nous n'envisagerons dans ce numéro que le crs particulier où h^ peut être regardé comme la valeur périphérique d'une fontion ç qui jouit des propriétés suivantes : dans toute l'étendue du domaine (D) et même sur la frontière (S) de ce domaine, la fonction ç est finie et

continue ; la quantité (•^1), satisfait aux conditions générales imposées à la fonction a*© au numéro 4; enfin, la fonction F, définie par l'équation suivante :

est continue en chaque point situé à V intérieur du domaine (D) et elle est limitée dans toute l'étendue de ce domaine.

Les hypothèses précédentes relatives à la fonction h^ permettront

d'appliquer au problème de Neumann la méthode que nous avons eu l'occasion d'appliquer au même problème dans le cas de trois variables indépendantes (*)•

Désignons par Po le potentiel de double couche défini par l'équation suivante :

(^oX-(^o)/=2Âo.

La fonction

existera et, si l'on détermine la fonction (3*0 qui entre dans l'équation (i) du Chapitre précédent, au moyen de l'équation suivante :

cette fonction satisfera aux conditions voulues pour que le théorème fondamental I de l'Introduction lui soit applicable.

La fonction rf^, étant définie au moyen de l'équation ( 2), le potentiel de double couche p défini par la formule

où, dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires, la fonction /(r[x) serait à remplacer par la fonction logr, vérifiera l'équation (i). On en conclura de suite que, dans l'hypothèse où nous nous sommes placés en ce qui concerne la fonction A^, l'équation (1) admet une solution analytique par rapport à X, jouissant de toutes les propriétés spécifiées dans l'énoncé du théorème fondamental II de l'Introduction.

La remarque suivante nous sera utile plus tard : soit V^t le résidu relatif au pôle X^t de la fonction ç du paramètre X, nous aurons

(*) Zarbmbâ, Sur l'intégration de réquation Aa-i-^a = o {Journal de Mathématiques pures et appliquées, fasc. I, 1903, p. io3 et suivantes).

^31 s. ZAREMBA.

OÙ les C,^j représentent des constantes déterminées au moyen des formules suivantes :

(5) C,,^j^K[{^)-{^\]ds 0=. ,.,.... A),

pourvu que, dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires, on convienne de remplacer, dans la formule (4), pour Âl=i, le symbole U|,| par l'unité.

14. Revenons au problème de Neumann, mais excluons maintenant le cas des potentiels logarithmiques ordinaires en ne faisant, en revanche, au sujet de la fonction A^, que les hypothèses générales énoncées au n° 4.

En vue d'applications ultérieures, nous désignerons dans ce numéro le potentiel cherché par Wy et par m le nombre caractéristique de ce potentiel, au lieu de designer ces éléments, comme dans les autres parties du travail, par p et [x.

Nous aurons

(6) (i^)e - (VP),= X[(ip), 4- (iV),] 4- 2A,.

Désignons par h l'expression qui forme le second membre de cette équation et voyons s'il est possible de développer la fonction A, suivant les puissances de X, en une série de la forme

Ar = 0

Cela donnerait

les iV;t étant les potentiels de double couche définis par les équations suivantes :

(9) {vi^k)e-(^^k)i-^^à^ (k = o,i, 2,...).

L'équation (6) donnerait

(9) (^k)e-^(^k)i=^h^-^i (Âr = o, f, 2, ...)

(10) Aa-hi = - ^ fh^ '^^^,(^o^^ds (/tr = o, i, 2, ...),

où r' et P ont la même signification que dans la formule (7) du n^S.

Désignons par H;fc une limite supérieure du module de hi^\ nous aurons

en vertu du théorème III du Chapitre IL Cela prouve que, sous la condition

tous les développements en série que nous venons de considérer seront absolument et uniformément convergents dans les domaines où Ton a à les envisager. Ces développements sont par conséquent légitimes, et le problème de Neumann est résolu au moyen de la série (8) pour l'ensemble des valeurs de X vérifiant l'inégalité (12).

JS. Nous avons établi, au n® 15, que le problème de Neumann admet une solution analytique par rapport au paramètre X, jouissant des propriétés spécifiées dans le théorème fondamental II de l'Introduction, lorsque la fonction h^ satisfait à certaines conditions particulières. Proposons-nous maintenant d'étendre ce résultat au cas où cette fonction ne vérifie que les hypothèses beaucoup plus générales dans lesquelles nous nous sommes placés au numéro précédent.

J'observe d'abord que, sans nuire à la généralité, nous pouvons admettre que la fonction A© est limitée. En effet, soit toujours p© le potentiel de double couche défini par l'équation

(^'o)^-(^o)/=2Ao-