s. ZAREMBA

Posons

(i3) p = p^4-Xp'.

La fonction p' représentera un potentiel de double couche vérifiant Péquation suivante :

où

La fonction A^ étant limitée (h*' 5), on voit que la substitution (i3) ramène le cas général à celui où la fonction A© est limitée. Nous supposerons donc dans la suite qu'elle satisfasse à cette condition.

Cherchons à résoudre Péquation (i) pour l'ensemble des valeurs de X vérifiant l'inégalité suivante :

en désignant par a un nombre positif donné, tel cependant que l'on ait

Nous pourrons nous borner au cas des potentiels logarithmiques ordinaires, cas qui ne se distingue du cas général que par la complication un peu plus grande du raisonnement.

Considérons le potentiel généralisé w vérifiant l'équation (6) et donnons au nombre caractéristique m de ce potentiel une valeur telle que Ton ait

(•6) -4:ïï=«'

La chose sera possible puisque a est inférieur à R. Dans ces conditions la formule (8) fera connaître la fonction w pour toute valeur de X vérifiant l'inégalité (i4)« Cela posé, désignons par ç le potentiel logarithmique ordinaire dérivant d'une double couche de même den-

site que celle dont dérive le potentiel w et posons

La fonction vp et ses dérivés premières, 3^ et jî-> seront continues (n** 6), même à la traversée de la ligne (S). Posons

(18) p=:(p-f-XQ,

en désignant par Q un nouveau potentiel logarithmique ordinaire de double couche. L^équation (i) donnera

en désignant par (^), la fonction à laquelle se réduit sur (S) la fonction vp et en tenant compte des équations (6) et (17).

16. Désignons par H^ une limite supérieure du module de la fonction h^. Nous aurons, en dehors des inégalités (i i), encore l'inégalité suivante :

on aura donc

à cause de la relation (16).

Désignons par (f^ le potentiel logarithmique ordinaire de double couche défini par Téquation suivante :

Le théorème III du Chapitre II et les inégalités (20) nous donneront aisément

Cela prouve que, pour les valeurs de X vérifiant l'inégalité (i4), la fonction o, introduite au numéro précédent, pourra être calculée au

Journ. de Math, (5* série), tome X. — Fasc. IV, 1904. 49

436 s. ZAUEMBA.

moyen de la série suivante :

On aura donc

kz=0

pour les mêmes valeurs de X, en posant

On aura d'ailleurs

(23) hv,|<(n-C,)^,

en vertu du théorème III du Chapitre II; par conséquent,

(24) l4'*l<2(i-hC.)|'-

On verra, en se reportant au n*' 6, que la fonction ^^a et ses dérivées du premier ordre, -y^ ^t-j^j seront continues même à la traversée de la ligne (S) et l'on s'assurera ensuite que l'intégrale suivante :

a un sens. Cherchons une limite supérieure de cette intégrale. L'équation

que la fonction ^^^ vérifie en vertu de sa définition, donne

d'où, à cause de (2^),

Pour trouver une limite supérieure de l'intégrale qui figure au second membre de celte inégalité, décrivons dans le plan des (x, y) un cercle (S) de rayon L assez grand pour que la ligne (S) tout entière se trouve à l'intérieur de ce cercle. Cela posé, décomposons l'intégrale qui nous occupe en deux parties J et J' se rapportant respectivement à la partie du plan limitée par le cercle (S) et à la région du plan extérieure à ce cercle. Remplaçons dans Tintégrale J la quantité I w,( I par la limite supérieure que lui assigne l'inégalité (23) et observons que, à l'extérieur du cercle (2), une limite supérieure de la fonction I Wk I nous est fournie, comme on le prouvera avec un peu d'attention, par l'expression suivante :

où r représente la distance du point où l'on considère la fonction | Wj^ \ au centre du cercle (S). Nous trouverons aisément

en désignant par B' une quantité ne dépendant ni de l'indice ât, ni de la fonction h^. L'inégalité (25) donnera alors

où B représente un nombre qui, comme le nombre B', ne dépend ni de l'indice /r, ni de la fonction h^.

17. Pour calculer le potentiel de double couche Q, portons dans l'équation (19) la valeur (22) de ^ et voyons s'il est possible de satis-

438 s. ZAREMBA.

faire à cette équation en posant

(27) Q(X)=iQA*,

les fonctions Q^ étant des potentiels logarithmiques ordinaires de double couche vérifiant les équations suivantes :

(28) (Qa-(Q*). = ^[(Q*)e+(Q*X] + 2(-}*), (Ar = 0,T,2,...),

OÙ (4**)* représente la fonction à laquelle se réduit la fonction ^f^ sur la ligne (S).

Nous avons déjà eu l'occasion de faire remarquer que la fonction ^/^

et ses dérivées du premier ordre -~^ ^^ "^ sont continues, même à la

traversée de la surface (S) et que Ton a

11 résulte de là que la théorie du n*' 15 est applicable à Téquation (28). Gela posé, désignons par n le nombre entier et positif, tel que Ton ait

(29) \K\ia<:\^,.

La fonction Q^t considérée comme fonction de la variable complexe X n'aura dans le domaine défini par l'inégalité

Ti+n

pour toutes singularités, que des pôles simples tous compris dans la suite

(3i) A|, Aj, .,., A„.

Pour simplifier le langage, nous nous exprimerons comme si la fonction Qa devait avoir tous ces nombres pour pôles, en convenant en mcmc temps de dire que le résidu correspondant à un terme de la suite (3i) est nul si ce terme n'est pas en réalité un pôle de la fonc-

lion Q;^. Désignons par Il^a le résidu relatif au pôle \ et posons

La fonction G^t sera une fonction de X holomorphe à rinlérieur du cercle défini par l'inégalité (3o) dans le plan de la variable complexe X et elle représentera un potentiel de double couche vérifiant Péquation suivante :

en posant

(34) 2^*=2(<l/0,+2Rn*a),+(n*,),].

D'après ce qui a été établi au n® 15 on aura

avec

(36) CJ.=£(f),[(^),-(^)J*

en convenant en outre de remplacer dans la formule (35), pour a = i , le symbole U^,< parFunité.

Cela posé on s'assurera aisément, en s'appuyant sur les inégalités (24) et (26) du numéro précédent, qu'il existe un nombre positif B,, ne dépendant ni des indices ât, a et j ni de la fonction A©? tel que Ton ait

On conclura aisément de cette inégalité, en adjoignant à la formule (35) la relation suivante :

(n,«x~ (n,aX = x,[(n,a).^ (n,«),],

S. ZA.REMB.V.

que la série

est absolument et uniformément convergente dans tout le plan, pour toute valeur de X vérifiant l'inégalité (i4)-

Montrons qu'il en est de même de la série suivante :

dont les coefficients sont eux-mêmes des fonctions de X.

Il résulte des formules (34) et (35) et de la remarque faite plus haut au sujet du symbole U^ que nous pouvons considérer la fonction $)fc comme définie dans toute l'étendue du plan au moyen de la formule suivante :

(4o) **=c*+|;c*.u,,+2 ic^'Ua." +<!'*.

Il résulte immédiatement de cette remarque que la théorie du n® 15 est applicable à l'équation (33). Désignons par F^^e potentiel logarithmique ordinaire de double couche défini au moyen de l'équation suivante :

et considérons le potentiel de simple couche Zf^ vérifiant l'équation la formule (3) nous donnera

D'ailleurs la fonction Zf^ de X sera holomorphe pour l'ensemble des valeurs de X vérifiant l'inégalité (3o).

Par conséquent, si la série

représente le développement de z,^ suivant les puissances de X, elle aura X;,^.< pour rayon de convergence. J'ajoute qu'elle convergera uniformément dans tout le plan pour toute valeur de X vérifiant l'inégalité (3o) parce que les fonctions harmoniques Zf^f sont manifestement toutes régulières à l'infini.

On établira aisément, au moyen de l'inégalité de Schwarz, les inégalités suivantes :

D'ailleurs, la formule (4o) donne

Par conséquent, l'inégalité (26) donnera

D'autre part, on conclura aisément des résultats déjà établis que Ton a

|p*i<fi.§

en désignant par B^ un nombre positif ne dépendant ni de l'indice k ni de la fonction h^. Il résulte de cette inégalité :

44^ s. ZAREMBÂ.

I** Que la série

sera absolument et uniformément convergente dans tout le plan pour toute valeur de X vérifiant l'inégalité (i4) ?

2,^ Qu'il existe un nombre positif Bg, analogue aux nombres B, B, el Ba, tel que l'on ait à la fois

(45) i--*.|<B,^ et Î2*,|<B,2,'.

En s'appuyant sur les inégalités (43) et (45), on déduira aisément de l'inégalité (4^) du Chapitre précédent la conséquence suivante : il existe un nombre positif B,, analogue aux nombres B, B, , B, et B,, tel que l'on ait

Cela prouve que la série

sera absolument et uniformément convergente dans tout le plan, pour toute valeur de X vérifiant l'inégalité (i4)- Or la série (44) jouit aussi, comme nous venons de le voir, de la même propriété.

Il en résulte, à cause de la formule (4^), que la série (3g) jouira aussi de cette propriété parce que les fonctions G^ n'ont pas, comme semble l'indiquer la formule (4^), les nombres — i et -h i pour pôles. D'ailleurs, nous l'avons déjà établi, les séries (21) et (38) sont, comme les précédentes, absolument et uniformément convergentes dans tout le plan pour toute valeur de X vérifiant l'inégalité (i 4). Il résulte de tout cela, en tenant compte en outre des équations (18), (27) et (82), que l'expression suivante de p

(47) .=i;^-(,^+XG(X) + K^)

sera valable dans tout Tintérieur du cercle (S) défini dans le plan du paramètre complexe X par Tinégalité ( 1 4)« On conclura immédiatement de la formule (47) qu'il existe une solution de l'équation (i) analytique par rapport au paramètre X jouissant à l'intérieur du cercle (S) de toutes les propriétés spécifiées dans l'énoncé du théorème fondamental Il de l'Introduction. Mais on peut donner au nombre a une valeur aussi voisine de R que l'on voudra; on peut donc, dans la conclusion que nous venons de formuler, remplacer le cercle (S) par le cercle que définit l'inégalité suivante :

Pour achever la démonstration du théorème fondamental II de l'Introduction il nous reste à établir que la solution de l'équation (i) analytique par rapport à X est unique et à justifier ce qui a été dit au sujet des solutions non analytiques par rapport à ce paramètre. La démonstration de ces deux points se ramène, on le reconnaît sans peine, à celle de la proposition suivante : lorsqu'un potentiel de double couche V vérifie sur la ligne (S) l'équation suivante :

OÙ X' représente une constante et lorsque la valeur commune des deux membres de cette équation considérée comme fonction d'un point mobile sur (S) satisfait aux hypothèses générales faites dans ce travail au sujet de la fonction k^^ le nombre X' doit être égal à l'un des termes de la suite

et la fonction V doit s'exprimer au moyen des fonctions fondamentales correspondant à ce terme, soit X;^, de la suite précédente, comme si cette fonction représentait le résidu relatif au pôle "k^ d'une solution analytique de l'équation (i).

Pour établir cette proposition faisons, dans l'équation (i),

Journ. de Afath. (5« série), tome X. — Fasc. IV, igu-î- ^^

444 s. ZAREMBA. — LES FONCTIONS DE M. POINCARE, ETC.

L'équation (i) admettra alors la solution

D'ailleurs, la constante X' ne peut être nulle, sans quoi on aurait identiquement V = o. Par conséquent l'équation (5o) définit la même fonction analytique de X que la formule (48) pour la valeur considérée

deAo-

Il en résulte que V doit bien jouir des propriétés annoncées.

J'ajoute que les formules (4) et (5), on le prouvera avec un peu d'attention, restent exactes dans les conditions générales où nous nous sommes placés ici en ce qui concerne la fonction h^.

Il resterait encore à compléter ce qui précède par la discussion détaillée des pôles — i et -h- 1 dans le cas des potentiels logarithmiques ordinaires et à développer les applications de cette discussion au problème de Dirichlet. On le fera aisément par la méthode que j'ai suivie dans l'étude des mêmes questions dans le cas de l'espace (*).

(*) Sur les méthodes de la moyenne arithmétique de Neum,ann et de Robin dans le cas d'une frontière non connexe {Bulletin de V Académie de Cracoçie, octobre 1902).

Sur les solutions satisfaisant à des conditions aux limites donmes de Véquation différentielle

Au -h XA(a;, y)u=f(x, y). Par m. Max MASON.

Introduction.

Dans la théorie de l'élasticité et dans celle de Télectricité, l'équation des vibrations stationnaires

(i) Att-f- XA(a:, ^)tt = o

ne le cède en importance qu'à l'équation potentielle. Le paramètre X de l'équation doit être déterminé de façon qu'il existe une solution u(xyy) qui s'annule à la frontière d'une région donnée sans être identiquement nulle (*).

L'équation (i) est l'équation de Lagrange qui correspond au problème isopérimétrique. M. Weber (^) a prouvé (en supposant établi le principe de Dirichlet) l'existence d'une infinité de valeurs de X pour lesquelles il y a une fonction harmonique solution du caractère demandé.

(*) Voir Ency, der math, Wiss.j t. 11, k^c (Sommerfeld). (') Math. Ann,, t. 1, 1869, p. 1.

Schwarz (*) fut le premier à démontrer rigoureuseftient Texistence d'une telle valeur de X; M. Picard (^) montra l'existence d'une autre. Enfin, la démonstration pour une infinité de valeurs fut donnée par M. Poincaré ('). Dans ces trois cas, la méthode employée fut celle des approximations successives avec l'hypothèse que A(x^y) ne change pas de signe dans le domaine considéré, et les propriétés de minimum des fonctions harmoniques autres que la première ne furent pas considérées.

L'objet de ce Mémoire est : i** d'obtenir des théorèmes généraux d'existence pour les solutions de l'équation différentielle

Au -h XA(x, jj^)w =/(^, r),

sous certaines conditions aux limites, par l'application de la méthode employée par M. Fredholm pour la solution de certaines équations fonctionnelles; 2'' d'en déduire l'existence des fonctions harmoniques comme fonctions minima. Nous justifierons ainsi le principe de Dirichlet tel qu'il a été appliqué par M. Weber dans le problème isopérimétrique, de même que M. Hilbert (*) l'a justifié sous sa forme primitive. La démonstration de l'existence d'une infinité de fonctions harmoniques s'annulant sur la frontière et d'une infinité d'autres satisfaisant sur le contour à l'équation

sera faite sans rien supposer sur le signe de A (a?, y). Dans la seconde Partie, nous nous occupons de l'existence des solutions doublement périodiques (*).

(1) Fenn. Acta, t. XV, i885. — Ges. Abh., i. I, p. 2/^I.

(«) C. R., t. CXVII, 1893, p. 5o2.

(') Bend. Pal., t. VIII, 1894, p. 5y. Dans cet article, A=:i. — Voir aussi Zarbmba, C. B.y i. CXXXll, f90i, p. i549; Krak. Abh., t. XLI, 1901, p. 242. — KoRN, Abhandlungen zur Polentialtlieorie. Berlin, 1902.

(*) Festschrift : Veber das Dirichletsche Princip {Abh. der k. Gôtt. Gelehrtengesellschaft. Berlin, 1901).

(•) J'ai considéré des questions analogues pour Téquation à une seule variable, dans Math» Ann,, t. LVIII, 1904, p. 528,