I. — Sur la méthode de M. Fredholm

M. Fredholm (*) a montré comment on peut déterminer une solution de l'équation fonctionnelle

OÙ X est un paramètre et où 'j», / sont des fonctions finies et intégrables pour les valeurs de leurs arguments comprises entre a et h. Cette méthode s'applique, avec une légère modification, au cas où/, sans rester fini, a la forme

/(?, >i, ^- y) = Riog[(^ - \r + (r - f\r\ + s.

où R et s sont des fonctions de Xy y y Ç, yj finies et intégrables. Nous définirons le déterminant D de (i) par les équations (^)

fi=i

"^-i^xi:

fix^y^x^y,) o /{x^y^x^y^)

/{x^y^x.y,) /(x.y^Xty^) o

/(x^y/^x^y,) /(x^y^x^y^) /{x^y^x^y^) X dxt . . . dx,,dyf . . . dy^.

/(x,y,x^y,^) /(x^y^x^yA) /{x^y^x^yk)

(') Acta Math., t. XXVII, 1908, p. 365.

(*) Pour plus de simplicité, nous écrirons dans les déterminants y(X|^,Xj^,) au lieu de/(x„ /„ x„ y,), etc.

Nous appellerons mineur d' ordre /i t/^ D la fonction suivante de X et des paramètres $,-, y],-, Œ/, T/ (i = i , 2, . . ., /i) :

-,-l,Yia...n

CT|0"o

/(Çîï)«<ïl'Cl)

Ti Ta . . .Tn

/(ÇiTQi<r«'Ci»)

/(?lT)larl^,)

X dxx.^*dxhdyx.,.dyh.

A^hrh^n'^a) f^^hyh^xyx) /(a^A^A^J^î)

Dans les formules de M. Fredholm la diagonale principale n'était pas formée par des zéros, mais par des quantités de la forme

/(^i^li^i^i), /(^i-r/^/r/)-

Ce changement a été proposé par M. Hilbert qui a montré qu'il laissait intactes celles des formules de M. Fredholm qui ne contiennent que D et ses mineurs du premier ordre et que les séries précédemment définies restent convergentes pour toute valeur de X, même quand /a une singularité logarithmique (*). Nous aurons l'occasion de nous servir des résultats qui concernent les mineurs d'ordre n\ nous indiquerons donc brièvement les changements causés par celte modification dans le cas général. En suivant les méthodes de M. Fredholm, on obtient les identités suivantes :

(*) Conférences de M. Hilbert à Gôttingen, hiver 1901-1902. Voir aussi Kellogg, Dissertation^ Gôttingen, 1902 et Andrab, Dissertation, Gôtlingen, 1908, où Ton étend au cas où Inéquation fonctionnelle contient n variables la démonstration faite par M. Hilbert pour une seule variable.

J G . . . . S*. L *^a Va. \ G à S'a ... Œ«

dudv

T^ Tj. . .T;! y

*,2 . . .Cj„

^ft ^^

.X'(d' ^'"•^'^ ly r /(w, p, (J,, T,)/((T,, T,, w, \?)duds?

= — >^2/(^" ^^' ^v, Tv)(©

-^"2/^^" ^*' ^^' '^v)/(?v, ^iv, ^^n ^.)C0

l{ . . . «7-2 "V-^ "V-Hl» • • «/l /

(Sà{

•9 I • • • 'Trt 1

Sa • • •*»»

-»« Sa • • «Sv— a *»v-< Sv4-( • ' 'S/i

Tj Tj . • .Tv— I Tv ^v+i

- >^'2/(^^' ^^' ^*' "0/(^n ^n ^v, Tv)

'ïa ^3 • • 'Sv— 1 SV4-4 • • •?«

(J2(T3. . .(Jv, dv^.,. . .(Jrt W2 •'S • • • tv— I tv4-« • • • ^/l

45o MAX MASON.

Ces équations diffèrent de celles de M. Fredholm par Taddition des termes en X^, lesquels contiennent tous en facteurs des mineurs de D d'ordre /i — 2. Pour n = 1 , ces équations deviennent

= — X^(d/ / /(«, (^, (7, t)/(o-, T, tt, (?)rfarfi^,

cC ' > -h X / / /(«/, c', 0", t)(0. dudv

= — X»(D/ / /($, Y), tt. p)/(«, t:, Ç, y))c?«</p.

Considérons d'abord le cas où X n'est pas une racine de la fonction transcendante D. En introduisant le symbole fonctionnel S qui donne à l'équation (i) la forme

nous aurons où

F = g-^V'^'^f f gi^j -n^ ^. 0 /(^» ^7 ^, r) ^^ ^^»

pourvu que la fonction ^($, ^j ^, y) satisfasse aux mêmes conditions de continuité que/. En particulier, on voit d'après (3') que F est identiquement nul lorsqu'on remplace g par

et, par suite,

S,,S/<p(Ç, Yl) = <p(Ç, Y))

Donc, s'il y a une solution de (i), elle est unique et donnée par la formule

D'ailleurs, d'après (2'), cette expression satisfait bien à l'équation (i). On a donc le théorème suivant :

Si le paramètre X n^est pas racine de D, l'équation admet une solution unique

Considérons maintenant le cas où D et ses mineurs d'ordre inférieur à n sont nuls pour la valeur de X considérée quelles que soient les valeurs des variables $, y), œ, t dont ils dépendent, mais, où le mineur d'ordre n n'est pas identiquement nul (* ). Alors (2) et (3) deviennent

'^ f' r f(^^ ri, u, ^) (q)"" '^''"'^''idudç^o,

•kf' f'/iu, V, <j„ T.) CO' "l'")-^---"!» {dudi> = o.

ft».

|Tj,Tf]j..

rj.y),..

■fin

(*) Pour chaque valeur de X il existe un nombre fini /i, tel que le mineur de D d'ordre n n'est pas nul. Voir Frbdholh, toc. cit., p. 371; sa démonstration s'applique ici sans modifications.

Journ. de Math. (5* série), lome X. — Fasc IV, 1904. ^1

Ces identités sont celles mêmes de M. Fredholm et sa méthode appliquée sans modification conduit aux théorèmes suivants :

Il ne peut exister de solution non identiquement nulle de V équation homogène

que si \ est racine de D. Si n est l'ordre du premier mineur de D qui ne s'annule pas pour cette valeur de X, il y a exactement n solutions linéairement indépendantes ^ lesquelles sont de la forme (*)

*v(ç, TQ)= -7-ri V—\<^\ ) (V = !,...,«).

" • "TV-) s SV4-) • • •?»

. ..ïlv,Yl r)v+,...Y)„

■An

. ..crv, «Tvffv+i- ..a"»

• • •'^v-i Tv'^v-i-) • • •'f»

( •ïi ti •

Poar ce//e même valeur de X, i7 /le pei// exister de solutions de V équation à second membre

'?(^»^)-+->^///(^»^î^»y)?(^» y)dxdy = ^{l,r{)

que si la fonction ^'(5, >)) satisfait aux n équations fonctionnelles

f f Hx,y)Wy,(x,y)dxdy = o (v = i, 2, ...,n),

(^) L^ensemble des fonctions ^v ^st indépendant du choix des paramètres. L'introduction de nouvelles valeurs pour ces paramètres ne fait que changer chaque 4» en une combinaison linéaire des 4»v. Voir Frbduolm, loc. cit., p. 3yS,

OÙ l'on a (^)

.1 Si • • •?•/—! Çv Çv+» • • «Su

■**v(a;, r) = — T-JTTXI®

Et alors, la solution la plus générale est

oà Ze^ Çv ^ont des constantes arbitraires.

Dans la démonstration de la convergence des séries qui définissent D, on prouve (^) que Ton a, quel que soit l'entier positif h,

où c, c' et c" sont des constantes indépendantes de h et ne contenant que des puissances positives de b — a. On peut donc prendre (b -- a) assez petit pour qu'une valeur de X quelconque, mais fixée à l'avance, ne soit pas racine de D. Nous pouvons donc énoncer encore cette proposition :

Étant donnée une valeur quelconque de X, on peut prendre

(*) La note précédente s^applique aux Wy. (') Andrak, loc, cit., p. 101.

(b — a) assez petit pour que l'équation

a// tt/ie solution^ et une seule.

II. — Théorèmes généraux d'existence pour le problème aux limites.

Nous établirons dans ce paragraphe l'existence d'une fonction w(ic, y) qui est continue dans une région û ainsi que ses dérivées premières, qui satisfait à l'équation différentielle

(t) Am 4- X a (.r, y)u=f{x, y)

et prend des valeurs données (j{s) sur le contour S de û ( ' ). On admet que les fonctions A et / soient bornées et intégrables dans û et que (7(5) soit une fonction continue de .ç, longueur de l'arc de S. D'après le théorème de Green, on a

(2) ff{^^u-uù.i>)dxdy=..-fU^^^-uf^ds,

n étant la normale intérieure à S. Prenons pour u une solution (^) de (i), solution dont nous postulerons provisoirement l'existence. Et prenons pour s? la fonction de Green ^(a?, y, Ç, y]), solution de l'équation potentielle Ap = o dans la région û, qui admet la même singularité que logv'(x- — ^y ■+- (>^ — y))'* et s'annule sur S. L'existence d'une telle fonction i^ a été prouvée par plusieurs méthodes. Appliquons la formule (2) à la région obtenue en excluant de û une aire circulaire

(*) Od suppose la région Q, limitée et à connexion simple, son contour S étant formé d'un nombre fini d'arcs analytiques. On sait qu'on peut appliquer à une telle région les résultats de la théorie du potentiel.

(^) Nous emploierons le mot solution pour désigner une fbnction qui satisfait à Téquation (1) en tout point de Q. Cette définition implique la continuité des dérivées premières.

de rayon r, de centre (Ç, y]). En passant à la limite pour r = o, on obtient par une méthode bien connue

(3) ua,ri)^:^£a^ds-±ffg(/-lAu)dxdy,

{il)

en remplaçant les valeurs de u sur S par a.

Inversement la théorie du potentiel montre que toute solution u de l'équation (3) satisfait à Tégalité

Am =/— XAtt

[c'est-à-dire à l'équation (i)] et admet les valeurs aux limites (t(s)\*). L'intégration de (i) sous les conditions aux limites données est donc ramenée à la résolution de l'équation fonctionnelle

OÙ F(Ç, Y)) désigne la fonction connue

et où nous avons étendu l'aire d'intégration à un carré de côté (6 — a) entourant û, g étant considérée comme nulle en dehors de ù.

Or, (4) est une équation fonctionnelle de la forme considérée § I. Pour appliquer les résultats de M. Fredholm, il suffît de savoir à quelles conditions F($, Y]) est identiquement nul. Comme la représentation au moyen de la fonction de Green est unique, cela ne peut arriver que si l'on a

Les résultats du paragraphe précédent nous conduisent donc aux théorèmes suivants :

L Si f{x^ y) et (7(s) ne sont pas à la fois identiquement nuls^ (*) Voir Harnagk, Lo gar ithmisches Potential. Leipzig, 1887.

il existe^ pour toute valeur du paramètre X autre que les racines de la fonction entière D, une solution et une seule de l'équation

Au ■+• X A(ir,7) u =f(x, y)

qui prenne les valeurs aux limites <x(^). Cette solution est donnée par la formule

u(^,ri) = F(l,ri)^\ff[^,,}^^

IL // ne peut y avoir de solution nulle sur S (sans être identiquement nulle) de l'équation

Au H- X A(^, y)u = o

que si le paramètre X est une racine de D. Si n est l'ordre du premier mineur D qui ne s'annule pas pour la valeur considérée de X, il existe exactement n solutions linéairement indépendantes s' annulant sur le contour S. Ces solutions ont la même forme que les fonctions $v(^? y) données dans le paragraphe précédent.

Pour la même valeur de X, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une solution de

Au-^\A{x,y)u^f{x,y)

qui prenne des valeurs aux limites o'(^) est que f{x^y) et o'(^) vérifient les conditions

ffF(x,y)Wy(x,y)dxdy = o (v=:r,..., /*),

où Vv a la forme donnée dans le paragraphe précédent. D'ailleurs, la fonction /($, yj, x^ y) de ce même paragraphe a ici la forme

Dans les expressions de D et de ses mineurs, A peut être supprimé du déterminant et mis en facteur. En écrivant Sy^ sous la forme

nous aurons

L'identité

montre que le déterminant A(ç) reste invariant si l'on permute les paramètres Ç|-, y)/ avec a,-, T/, respectivement; en effet, on aurait seulement changé la position relative des lignes et des colonnes. Dès lors, revenant aux définitions de $v et de '^''v, on voit facilement qu'il suffit de choisir, pour les valeurs des deux paramètres $v, f\^^ de "^''v, les paramètres o-y, Tv de $vj respectivement, pour avoir la relation

^v(^, y) = A(a;, y) Ov(iP, y) X const.

Les conditions trouvées précédemment pour F peuvent alors s'écrire

ou, puisque A$v -H X A$v = o :

/ lF(xj y)A<b^(x^ y)dxdy = o.

Appliquons le théorème de Green; puisque les $v s'annulent sur S,

on aura

//[F(^,r)^*v(^,r) - ^.(^,y)àF{x,y)]dxdy = -J^F^ds.

Mais la fonction

satisfait dans û à l'équation

et elle prend les valeurs a sur S. Les conditions deviennent alors

On a donc le théorème :

III. Si X a une valeur pour Laquelle D et ses mineurs s'annulent jusqu'à l'ordre n exclusivement, il ne peut y avoir de solutions de

Au -h XAm = /

prenant les valeurs œ sur S, que si f et a satisfont aux conditions

Dans ces égalités, les Oy sont les n solutions linéairement indépendantes et nulles sur S de l'équation différentielle rendue homogène.

Lorsque ces conditions sont satisfaites^ les solutions ont la

forme

I ) -^X'-'-^n ( f vT T 1

oU les Cy 50/1/ des constantes arbitraires.

En fin ^ on transforme immédiatement le dernier énoncé du paragraphe précédent :

IV. Pour une valeur donnée quelconque de \ on peut prendre la région Q assez petite pour qu'il existe dans Q une solution et une seule de

Am 4- \Ku=f

prenant les valeurs données a sur S. Cette solution a la forme donnée dans le théorème I.