III. — Existôncô de la première fonction harmonique

Nous avons montré qu'il existe une fonction harmonique, c'està-dire une solution de

(i) Att-i-XA(x,y)i/ — o,

nulle sur le contour S d'un domaine Q sans être identiquement nulle dans û, pour les seules valeurs X = X^ racines d'une certaine fonction transcendante entière D. Nous allons prouver maintenant qu'il y a une infinité de racines de D et que les fonctions harmoniques correspondantes sont les solutions de certains problèmes de calcul des variations.

Joarn, de Math. (5* iérie) , tome X. — Fasc. lit, 1904. 52

46o MAX MASON.

Considérons le problème suivant : Rendre minimum l'intégrale

u désignant une fonction qui s'annule sur le contour S deùy admet des dérivées secondes en tout point de Q et satisfait à V équation

ou

Y^{u) = 1 I Au^dxdy.

L'existence d'une solution de ce problème n'est pas évidente, mais il y a certainement une limite inférieure finie \ pour les valeurs de J * sous les conditions imposées. Nous allons démontrer le théorème suivant :

La limite inférieure \ ou la valeur symétrique — \ est une racine de D et la fonction harmonique de (i) correspondante est une solution du problème de minimum.

D'après la définition de X^, il existe une série infinie de fonctions satisfaisant aux conditions du problème

Ui, Ua, U,, ..., telles que

(2) limJ(U,) = X,.

De plus, ces fonctions peuvent être choisies de façon que l'on ait

OÙ le signe reste le même quel que soit h.

Définissons une suite de fonctions/;^ par les expressions

(3) /,=.AUd=AoAU, (/;=r,2, 3, ...), le signe àz restant le même que dans (2)'.

En multipliant (3) par U^ et intégrant dans Q

ffU^AV.dxdy + \ =ff/,V,dxdy.

Appliquons la formule de Green; puisque les U^ s'annulent sur le contour S, on aura

\-Hl^,)=ffAUHdxdy.

Et d'après (2) (3y limff/,U,dxdy = o.

Soit maintenant

une série indéfinie de fonctions continues dans û ainsi que leurs dérivées premières et secondes et nulles sur S. Écrivons pour abréger