AV,±X,AV

en choisissant comme précédemment le signe db . Alorsj l'équation

(5) lim J^Jn^g^dxdy = o

sera vérifiée par toute série analogue de fonctions Vy^, pourvu que Von ait, quel que soit A,

(6) \ffy,g,dxdy\<B

où B est un nombre fixe indépendant de h.

En effet, dans le cas contraire, on pourrait choisir parmi les couples U>i, V>i une série infinie de couples U^, Vj^ pour lesquels

462 MAX MASOrt.

on ait, quel que soil A,

(5y ff^HgAdxdy>p ou <p,

p étant un nombre indépendant de A, positif dans le premier cas, négatif dans le second et g'^ étant la fonction déterminée par V)^ dans (4).

Considérons alors les fonctions

où c est une constante. Elles satisfont à Téquation

et s'annulent sur S. Multiplions cette équation par ç^=\J'^-^ cV^ et intégrons dans û; nous aurons, au moyen de la formule de Green,

±XoK(P,)-j(P,)=//[u;/;-4-c(u;é';-Hv;/;)+c«v;^;].fo;rfj.

Mais, puisque U^ et V^ s'annulent sur S,

//(u;Av;-v;Au;)rfx-d[y=//(u;^;-v;/;)rfxrfy = o.

D'où

Choisissons c de façon que pc soit positif et assez petit pour que l'on ait

2cp > c*B, c'est-à-dire | ^ | <[ b"^"

En posant S = 2pc — c*B, nous déduirons de (6) et (5')

±x,K(P,)-j(P,)>//u;/;rf^rf74-S.

D'ailleurs S est une quantité positive indépendante de h; par suite, d'après (3 )' nous pourrons prendre h assez grand (h = H), pour que

et alors

(7) Posons

±X,K(p„)-J(p„)>o, XJK(i;„)|-.J(p„)>o.

V^|K(rH)|

nous aurons | K(m) | = i . Dès lors u satisfait à toutes les conditions du problème de calcul des variations et, en divisant (7) par |K(ph)I> nous aurons

Xo- J(w)>o,

ce qui est incompatible avec la supposition que \ soit la limite inférieure de l'intégrale J sous les conditions du problème. En conséquence, l'hypothèse (5)' est fausse et l'équation (5) doit avoir lieu sous la condition (6).

Pour prouver maintenant le théorèoie lui-même, supposons, au contraire, qu'aucun des deux nombres ±\ ne soit racine de D. Alors, d'après le théorème I du paragraphe II, il existe une solution V;^ de chacune des équations

AV,±XoAV,= AU, (A =.1,2,...), laquelle s'annule sur S et prend la forme

Va(^, r) =//r(5, ri, X, y) A($, y]) U,($, rj) rf? arj

464 MAX MASOIC.

où(')

II nous faut montrer maintenant que les fonctions Va satisfont à la condition (6). On a

ff^hghdxdy

Or on déduit de l'inégalité de Schwarz (*)

(^ffy,g,dxdyy<ffffT*dxdydkdrix(^ffA'Vldxdyy.

Les fonctions V;^ vérifieront donc (6) pourvu que l'expression

ffvidxdy

soit bornée.

Or, il a été démontré (')"que toute fonction u satisfaisant à l'équation

/ I udxdy ^=o

(^) L^intégration est étendue à û dans cette équation et dans les suivantes.

(2) f Ç Çv^^dxdy\ < f f^^dxdy Ç Ç^'dxdy. (Ges. Abh., t. I, p. aSi.)

(•) FoiNCARÉ, loc, cit,, p. 70. Koir aussi KoRN, Abhandlung zur Potential-théorie (Abh. IV, 1902, p. 12; Berlin). ,.

SOLUTIONS SATISFAISAIfT A DBS CONDITIONS AUX LIMITES DONNÉES. 4^5

vérifie Pinégalité

/ / u^dxdy <^ k3(u)

où k est une constanle finie dépendant seulement du domaine Q. D'autre part, on a, si L est l'aire de û,

ff\^ -, zff^àdx dyj dxdy = o; par suite, en prenant w = U^— r- / / X^^dx dy^

ffUldxdy - l(^ffl],dxdyy<U(V,).

De la condition limJ(U>i) = X^, il résulte que les fonctions U^ satisferont à (6) pourvu que les quantités

\ffU,dxdy

restent inférieures à une limite finie quel que soit h. Mais puisque U^ s'annule sur le contour

ffV,dxdy = -ffx^-^dxdy,

et en désignant par X le maximum de | a; | dans Q, on aura

D'où

\ffv^dxdy <XL4-XJ(Uyi)

et la fonction V^^ vérifie (6).

Mais si la condition ((5) est satisfaite, Téquation (5) doit être vérifiée et Ton a

limJJV;,AV^dxdy = \imK(l],)=^o.

Or ceci est impossible, puisque l'on a | K(Ua) | = i quel que soil i. Ainsi l'hypothèse faite sur \ est inexacte et l'un des deux nombres ± \ est racine de D.

Il résulte du théorème II, paragraphe II, qu'il existe une fonction harmonique u^ nulle sur S et solution de l'équation différentielle

Multiplions cette équation par «^î ^^ intégrant dans û au moyen de la formule de Green, on aura

ou, puisque J(Wo) 1> ^j

Xo|K(£/o)|=J("o).

Déterminons le facteur constant et arbitraire qui figure dans u^ de

façon que |K(^/o)| = i-

Alors u^ satisfera à toutes les conditions du problème de minimum et ce sera une solution de ce problème puisque

Enfin ± Xo est en valeur absolue la plus petite racine de D. Car s'il existait une racine X' telle que | X'| <X<>, la fonction harmonique correspondante satisferait (avec une détermination convenable de son facteur constant) aux conditions du problème de minimum et donnerait à J(^/) la valeur | X' |< X©, ce qui est impossible d'après la définition de Xo.

En résumé, la limite inférieure précédemment définie \ ou sa valeur symétrique — X^ est une racine de D et la plus petite en valeur absolue. La fonction harmonique correspondante u^ est la solution du problème de minimum.