Exemples. — Soit d'abord l'équation
dx dy
Posant / = <?*'^^P-'', il vient l'équation caractéristique a — ^ = o, que je résoudrai par rapport à a. Donc «^ = i , 5, = p, ^^ = P', ... et, par suite, en faisant pour simplifier x^=^ o, il vient la solution
F(r)-HnF'(r)-+-SF"(r) + ---,
qui, lorsque le choix de la fonction arbitraire F(j^) lui fait représenter Y{x -hj^), n'est autre que le développement taylorien de cette fonction arbitraire ^^ x -^ y que donnent les considérations élémentaires bien connues de la théorie des équations linéaires et homogènes aux dérivées partielles du premier ordre.
Prenons maintenant l'équation bien connue de la théorie de la pro-
pagalîon de la chaleur
ôx* dy
L'équation caractéristique a' — ^ = o résolue par rapport à a donne s^^=i 2, 521= 2^',, ,Çj,v4 = o, d'où la solution
qui, dérivée par rapport à x^ donne cette autre
^$(jK)+f;*'(r)+fi>(7)^--"
Si l'on avait résolu l'équation caractéristique par rapport à p, on aurait trouvé la solution
Toutes trois sont données par M. P. Appell, dans le Mémoire intitulé : Sur V équation r — q = o et la théorie de la chaleur (Journal de Mathématiques j 4* série, t. VIII, 1892, p. 187), et par M. H. Laurent {Traité d'Analyse y t. VI, p. 192). Si l'on prend pour fonctions arbitraires des polynômes, les séries ci- dessus se réduisent aussi à des polynômes, comme le remarque M. Appell. Les dérivées partielles de ces polynômes donnent d'autres polynômes qui sont encore des solutions. Les séries ci-dessus peuvent ne pas être convergentes. Ainsi la
dernière ne peut représenter une fonction se réduisant à — — pour
y = o, car, pour cette valeur de ^{x)^ elle est divergente, résultat donné par M"** Kowalevski. (P. Appell, loc. cit., p. 188 et 206.) Soit encore, comme exemple, l'équation de la propagation du son
L'équation caractéristique a^ — p^ = o donne a = d= p, d'où ^o = 2, 5a/ = 2^^', .9214-1 = o. On a donc la solution
C)4 A. BUHL.
puis, par derivation, par rapport à x^ cette autre
f,*(7)+f;n7)+fî*"(r)+---
En remplaçant d'abord $ par F, puis F par $ et additionnant et retranchant, on aurait un développement pouvant représenter la solution bien connue F(x -h y) -h 9{x —y). Soit enfin Téquation de la théorie du potentiel
On a
a* + P' 4- Y* = o, d'où
a=±iVP*-Hï% «0=2, «,.= 2(-i)'(P* + ï')S «»/+• = <>. d'où la solution
où les exposants des parenthèses indiquent des puissances symboliques. Par dérivation, on a
La somme de ces deux séries, si Ton choisit des polynômes pour les fonctions arbitraires F et $, nous donne tous les polynômes sphériques (P. Appkll, Traité de Mécanique rationnelle, t. III, p. m; H. PoiNCARÉ, Figures d'équilibre d'une masse /luide, p. /Ji). Le fait que les dérivées partielles d'un polynôme sphérique sont aussi des polynômes sphériques est évident d'après les théories précédemment développées. On peut remarquer ici que le fait, pour les équations qui nous occupent, d'admettre des polynômes pour solutions n'est nullement le privilège de l'équation de Laplace ou de celle de la théorie de la propagation de la chaleur; il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que les séries entières qui satisfont à ces équations aient pour coefficients des
ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. qS
opérateurs aux dérivées partielles susceptibles d'annuler, lorsque leur ordre s'élève, des polynômes arbitraires d'ordre inférieur.
4. Cas oà Vèquaiion caractéristique^ relative à une équation d'ordre n, r^est pas du degré n. — Dans tout ce qui précède, le coefficient Po, du terme de degré le plus élevé de l'équation caractéristique, n'est pas nul, si bien que l'équation aux dérivées partielles
contient toujours le terme -rf^- D'après les théorèmes généraux de
Cauchy et de M™* de Kowalevski, les solutions précédemment trouvées, qui contiennent n fonctions arbitraires et se peuvent réduire à des fonctions arbitraires, ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre /^ —i, ont une existence dont la légitimité était pour ainsi dire assurée à l'avance (E. Goursat, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, p. 17 et 23). Si P© ou, plus généralement, Po, P,, ..., Pjt^, sont nuls, les choses vont changer et nos développements en séries entières ne subsisteront qu'avec une généralité moindre; en outre, les lois de formation des coefficients changent de nature d'une manière remarquable. Les fonctions symétriques s sont ici des fractions rationnelles en a, ayant pour dénominateurs des puissances de Pjt et le développement (6) ne sera pas entier en a. Toutefois il sera possible de le multiplier par une puissance de P;t telle qu'il devienne entier jusqu'à un terme d'indice r arbitrairement choisi et, en transportant un tel développement dans Tinté-
grale (5), nous aurons une série où le coefficient de —-^pourra
être considéré comme une fonction arbitraire et où les termes d'ordre inférieur, considérés à gauche du précédent, auront des coefficients que l'on déduira l'un de l'autre par des opérations fonctionnelles, analogues à celles qui se faisaient de gauche à droite dans les cas précédemment étudiés. Ce développement limité représentera asymptotiquement une solution toutes les fois que l'on pourra établir que, pour une valeur suffisamment grande de r, le reste de la série tend vers zéro. Ainsi, par exemple, l'équation
ôxdy
96 A. BUHL.
admet, sous toutes les restrictions précédentes, la solution
F(^)(jK)4-^F->(j.) + ...+ ^^F'(r)-t-f;F(>.).
De telles anomalies sont déjà disculées par Cauchy et par Brisson, géomètre à peu près oublié aujourd'hui, si de n'est justement par l'éloge qu'en fait Cauchy {Œuvres complètes , 2® série, t. VII, p. 198). Bien que le second cas méritât une étude tout aussi attentive que le premier, ce serait m'écarter trop de mon sujet que de m'arrêter ici davantage. J'ai seulement voulu montrer, par des exemples simples, comment les seules propriétés des opérateurs composant le premier membre d'une équation linéaire permettaient de déduire d'une solution très particulière d'autres solutions formant des classes très étendues. Nous allons maintenant généraliser ce qui précède pour des équations aux dérivées partielles à coefficients non constants.
