IV. — Sxistônce d^unô infinité de fonctions harmoniques

Nous procéderons par induction. Admettons l'existence de n fonctions Ui(i = o, I, . . ., /î — i; qui, pour des valeurs de X, égales en

valeur absolue aux nombres respectifs X,-, sont solutions harmoniques de

ùku 4-XAtt = o.

Nous supposons de plus que chaque fonction Ui est la solution du problème

J{u) = minimum

où u s^annule sur S et satisfait aux équations

|K(m)| = 1, K'(tty, ^)^l f A.Ujudxdy = o (/ = o,i,...,i— i).

(ûi

Pour démontrer l'existence d'une (n-h i)»*™* fonction «„ de cette série, considérons le problème

J(u) = minimum

pour les fonctions u nulles sur S et telles que

\K(u)\ = i, K'(wy, u) =o (y = o, I, ..., /i — i).

Appelons ^ la limite inférieure des valeurs prises par J sous ces conditions. Nous allons montrer que si X;i>X^|, -+-X„, ou — X„ est une nouvelle racine de D et que si X„ = X„^, il existe pour X = X„ ou X = — X;,, une nouvelle fonction harmonique, solution de (i), linéairement indépendante des autres.

Choisissons une série de fonctions U;^ satisfaisant aux conditions du nouveau problème de minimum et telles que

(2) limJ(U,) = X„,

le signe restant le même quel que soit h. Soit d'autre part

une série infinie de fonctions satisfaisant aux conditions de continuité et s'annulant sur S.

Journ. de Math, (5* série), tome X. — Fasc. IV, 1904. 53

Posons