AU,±:X,AU

où les signes ± sont les mêmes que dans le second membre de (2)' On prouvera, comme dans le cas précédent, que

(5) \\mfJ\}f,ghdxdy=^o,

pourvu que, en outre de la condition primitive

fj^hghdxdy

les nouvelles conditions

soient satisfaites.

En effet, il résulte de (6)' que les fonctions

où c est une constante, satisfont à toutes les conditions du nouveau problème de minimum, sauf |K(p>i)| -= r, car elles s'annulent sur S et Ton a

K'(m,-, ^?h) = ^{^h Ua) -+- cK'(m/, y h) = 0 (t = o, I , ..., /i - i),

puisque les u^ satisfont aux conditions du problème de minimum et que Y h satisfait à (6)'.

Alors on peut appliquer les méthodes du cas précédent sans modification et il en résulte Téquation (5).

Considérons d'abord le cas où \l^\.^. Si notre théorème n'était pas exact, ± \ ne serait pas racine de D. Alors il existerait (§ II),

pour chaque valeur de //, une solution de