AV,±X„AV,= AU, (A

qui s'annulerait sur S.

De (7) et de

Aui±\iAui=o (î = o, I, . .., /i — i),

il résulte (puisque W/ et Yj^ s'annulent sur S et que U/^ satisfait aux conditions du problème de minimum) que Ton aura, quels que soient i et hy

± (K - X,)//Aa . V, dx dy

Dès lors, puisque l'on a X„> X/, quel que soit i •< /i, les V;^ satisfont aux conditions (6)'. On voit, comme dans le cas précédent, qu'elles satisferont aussi à (6). Par conséquent Téquation (5) est vérifiée ou

(8) lim f fAlJldx,y=:\imK(\J^) = o.

Mais ceci est impossible puisqu'on a, quel que soit A,

Ainsi, -f- X„ ou — X„ est sûrement une racine de D pour X„> \^^. De plus, il en résulte qu'il y a une nouvelle solution harmonique u^ de (i) pour X = 4- X„ ou pourX — — X^,; déterminons son facteur constant de façon que

On déduira, comme précédemment, des équations

, A«/ dz X/ A «// •= G Aw„zhX„A«„=o !

que tt/i satisfait aux équations

'K'(ay, «„) = o (y = o, 1 , . . ., n — i).

Ainsi i/.;, satisfait aux conditions du problème de minimum et, puisqu'il donne à J la valeur X„, c'est la solution du problème. Notre théorème est complètement établi pour X„> X„,. De plus, d'après la définition de X^, il ne peut y avoir de racines de D dont la valeur absolue soit comprise entre X„, et X^.

Considérons maintenant le cas où l'on aurait

Il existera pour X = X„ ou X = — X„, une solution de (i), linéairement indépendante de «;,!, w^2, ..., Un-r' Sinon, d'après (2), D et ses mineurs seraient nuls pour X = X;» ou X = — X„ jusqu'à l'ordre n exclusivement. Alors il existerait (III, § II), pour chaque valeur de A, une solution Vy^ de

(7) AV,±X„AV,r=AU„

s' annulant sur S, car les fonctions AU;^ vérifient les conditions suffisantes

j I AU /^Uidxdy := K'(«/,, U^) = o (i = n — i, n — 2, ..., n — r).

Ces solutions V;^ ne sont pas déterminées d'une manière unique; elles ont la forme

où les c sont des constantes arbitraires.

SOLUTIONS SATISFAISANT A DES CONDITIONS AUX LIMITES DONNEES. l^'Jl

Or on a, par hypothèse,

K(«,) = i, K'(Ui,uj) = o,

et, par conséquent, on peut déterminer les c de façon que

j jAuiYj^dxdy= j ( KUiV^f,dxdy±L 0^1=0

Donc les fonctions V^ satisfont aux conditions (6)'.

Comme précédemment, elles vérifient (6) et, par suite, (5) et (8); d'où la contradiction annoncée. Il y a donc une solution u^ de (i) qui est linéairement indépendante de w„,, . . ., «/„;.. Considérons alors la fonction harmonique

et déterminons les rapports des coefficients par les équations

K'(«i, Un) = ± Ci-h CrJ^\Ui, u^) = o {i = /2 -- i , . . . , /i — r),

et leur facteur commun par la condition

|KK)! = i.

On verra, comme dans le cas X;i>X^<, que u^ vérifie les équations

puisque X;,> ^^n^r-h- Ainsi u^ satisfait à toutes les conditions du problème de minimum et, puisqu'il donne la valeur \ à l'intégrale J, c'est la solution du problème.

En résumé, nous avons prouvé, en admettant l'existence de n fonctions harmoniques, l'existence d'une (/i 4- iyèm« ^^ g^^ propriété de minimum. Il y a donc une série infinie de telles fonctions. Il faut observer qu'un nombre fini seulement de valeurs X^ peuvent coïncider, car, pour toute valeur de X, il n'y a qu'un nombre fini ou nul de mineurs de D

qui soient nuls (*). De plus, puisque -+- X,- ou — X, sont des zéros de la fonction transcendante entière D, il ne peut y avoir de limite supérieure pour les valeurs X,-. En définitive, nous obtenons ce théorème :

// existe une série infinie de valeurs numériques X,- du paramètre X et de fonctions harmoniques Ui nulles sur S et solutions de Véquation

^Ui =h X,- A {x, y) Ui=o.

La fonction Ui est solution du problème

^ =ff[{^ï "^ i^y] ''^ "^^ = minimum,

et elle donne la valeur \ à V intégrale J, H n^y a pas de limite su-périeure finie pour les nombres X, (^).