V. — Extension aux conditions aux limites généralisées

Les théorèmes sur l'existence des solutions de

Aw 4- X A tt = /, qui satisfont, sur le contour S de û, à l'équation

[où 2(5) et (j{s) sont des fonctions continues données avec la condition 2(5) <[o], peuvent être démontrés en remplaçant la fonction de Green employée (§ II) par la solution de Green de l'équation po-

(*) Voir note (*), p. 45i.

(') Si la fonction A change de signe dans O on peut remplacer la condition |K| = i soit par K = i, soit par K = — i. Dans le premier cas on arrive à des valeurs positives X/; dans le second cas à des valeurs négatives. L'ensemble des valeurs X/ se compose donc, si A change de signe, d'une infinité de valeurs positives et d'une infinité de valeurs négatives.

SOLUTIONS S.VTISFAISANT A DES CONDITIONS AUX LIMITES DONNÉES. fx'jZ

tentielle qui satisfait, sur le contour, à la condition

G-hS(^)^-o.

^ ^ an

L'existence d'une telle fonction a été prouvée dans le cas

Sans aucun changement de méthode^ on démontrera des théorèmes analogues à ceux du premier cas y les équations du § II s'appliquant sous la même forme aux conditions aux limites généralisées.

Les fonctions harmoniques pour ce problème sont les solutions, autres que zéro, de l'équation

Att-hXAtt = o qui satisfont sur S à la condition

tt -h S-T- = G, on

Il n'y a de telles solutions que si X a pour valeur une racine de D, le déterminant D étant formé avec A et la fonction de Green généralisée.

Pour prouver l'existence d'une série infinie de fonctions harmoniques, on peut appliquer les méthodes des paragraphes 3, 4 avec une légère modification.

Considérons, pour cela, le problème de minimum

sous la condition

|K(tt)l = ï, avec K(u)^= f jAu^dxdy.

Sous l'hypothèse £ < o, il existe une limite inférieure déterminée \ des valeurs de J vérifiant la condition. On peut donc déter-

miner une série dci fonctions

telles que

(le signe ± restant le même quel que soit h), et que

limJ(UA) = X„.

De plus, nous pouvons supposer sans restriction que ces fonctions U>^ satisfont sur S à la condition

Car cette condition, n'affectant les valeurs de ces fonctions que dans une bande aussi étroite que l'on veut enserrant le contour, ne peut altérer la limite inférieure de J.

Définissons une série de fonctions /^ par les équations

où le signe ± est le même que dans (2). Multiplions cette équation par Ua ; en intégrant dans £2, on aura

OU, d'après les conditions aux limites,

L'hypothèse que zh \ n'est pas racine de D conduit à une contradiction comme dans le paragraphe III, les équations restant encore valables. Il n'y a qu'une différence, à savoir dans la démonstration que les fonctions V satisfont à la condition (6). Nous avions utilisé au paragraphe III le fait que les fonctions s'annulent sur le contour. Actuellement, nous trouvons encore que les fonctions vérifient (6)

pourvu que les valeurs des expressions

\ff\],dxdy

restent inférieures à une limite finie. Or

Donc, si X est le maximum de | a? | sur le contour \ffV,dxdy

dxdy

< ''£(^2+ ')dy + x//[. + (^')']<fe<<7.

Dès lors, ces quantités restent inférieures à une limite finie, car

on a

^f\sj{m-^m^'y-s:-^^Y-" ^<»

On prouvera, sans autre changement, le théorème analogue à celui du paragraphe IV :

Il existe une série infinie de valeurs. X, telles que^ pour l'une des valeurs X = zh X,-, l'équation

Au -h XAw = o

possède une solution w,- différente de zéro et satisfaisant sur le contour à la condition

i^ + S^ = o, S<o, La fonction u est la solution du problème

Journ. de Math» (5* série)) tome X. — Fasc. IV, igo^-

minimum

SOUS les conditions

KJ'"'

dxdy

i; I I Aujudxdy = o (y = o, 1, ..., f* — i).

Elle donne à l'expression J la valeur X,-.

Il n'existe pas de limite supérieure finie pour les quantités X,- ( ' ).