LES SOLUTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES
1. — Les solutions doublement périodiques de tau — u=if(x, y). M. Picard (^) a démontré qu'il existe une fonction de la forme
[où R est continu ainsi que ses dérivées secondes dans un rectangle û de côtés a, b comprenant le point (Ç, yj)] qui est doublement périodique avec les périodes a, 6, et qui satisfait en tout point de £2 autre que (Ç, Y)) à Téquation
Nous pourrons appeler cette fonction la fonction de Green doublement périodique relative à l'équation
A^ — p = o pour les périodes a, b.
(*) Fbf'r la note ('), p. 472.
(') Bulletin de la Société mathématique, l. XXVllI, 1900, p. 186. Voir aussi Comptes rendus^ aS janvier 1904, où M. Picard a proposé la question traitée dans la présente Note.
Faisant usage du théorème de Green exactement comme dans le cas d'une fonction de Green ordinaire, nous obtenons la relation
Ainsi (J est doublement périodique en ^, yj aussi bien qu'en a:, y, fait qui ressort, du reste, de la forme donnée par M. Picard à la fonction. De plus, cj satisfait en tout point de û autre que \ = x^ r\=^y k l'équation
Nous avons donc
Considérons maintenant la fonction elle est doublement périodique avec les périodes a, b^ et puisque
--^j f^{'^^yX-n)f{^^y)dxdy,
nous déduisons de l'équation aux dérivées partielles de R :
ou
2. — Théorèmes généraux sur Pexistence des solutions doublement périodiques de Am + X/^ A(^, y) =:/(^, 7).
Si u(xy y) est une solution doublement périodique de (1) Au -h lA^x, y) u =/(x, 7),
le théorème de Green nous conduira par des méthodes bien connues à la formule
où ç(xjyj Ç, Y)) est la fonction considérée dans le dernier paragraphe. Inversement, si u est une solution de cette équation fonctionnelle, le même paragraphe nous apprend que u(xj y) est une solution doublement périodique de
Au — u =/— (i 4-XA)£^,
c'est-à-dire de l'équation (i). Par suite, les solutions doublement périodiques de (i) coïncident avec les solutions de l'équation fonctionnelle
- ^//[ï -+- >^A(a;, 7)] u(x, y)g(x, 7, Ç, ri)dxdy.
La forme de cette équation diffère de celle qui se présente dans le premier problème aux limites, par le remplacement de A A en i -t-XA; différence qui n'est d'ailleurs nullement essentielle.
Si CD est le déterminant de l'équation fonctionnelle (déterminant qui est une fonction transcendante de X^, nous arriverons exactement comme dans la première Partie de ce travail, aux théorèmes suivants :
I. Six n'est pas une racine de D, il existe une solution double-
ment périodique et une seule de
Aw -+- XAw =/.
II. Si \ a une valeur pour laquelle D et ses mineurs d^ ordre inférieur à n s'annulent^ le mineur d'ordre n restant différent de zéroy il existe n solutions doublement périodiques linéairement indépendantes : $v (<?^ ^ seulement) de l'équation
Ùlu -hXA = o.
Pour chacune des valeurs de X considérées dans le théorème II, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une solution doublement périodique de l'équation non homogène est, comme dans le cas du premier problème aux limites, que la fonction
F(5.^)=- i:;,fjf{^^y)^ô{^^yXr\)dxdy
satisfasse aux /i équations
jJ¥{x,y)W,{x,y)dxdy = o (v = i, 2, ..., n).
Dans le cas du premier problème aux limites, nous avions l'expression
W^{xy y) = const. X K{x, y) 4>v(a;, 7);
en remplaçant X A par i 4- X A, nous aurons, dans le cas présent,
^v(^, y) = const. [ I -h X A(iE?, y)] $v(a7, y),
et les conditions précédentes deviennent
J J¥{x, y)[\ -h\ X{x, y)\(i^^{x,y)dxdy = o
ou
f f^^>* dx dy - Ç Çy A<I>v dx dy = o
48o MAX MASON.
lorsque X :^ o, puisque
A$v+XA$v=o.
D'après le n® I , F est une solution doublement périodique de
