MESURER UN ANGLE
D'après ce que nous avons dit à l'égard des angles et de leur mesure ( 8 et 18 ), il sera facile de mesurer un angle quelconque. L'angle BAC,^^. 59, qu'il s'agit de mesurer, est sur le papier ou sur le terrain. 1.^ S'il est sur le papier, prenez un rapporteur, jÇç*. 28 , et posez-le sur BAC de manière que son centre C soit sur le sommet A de cet angle, et le diamètre CB sur le côté AC : alors Tare du rapporteur qui se trouve compris entre le diamètre et le côté AB indique, par le nombre de degrés qu'il contient, la valeur de l'angle BAC. Il en est de même pour tous les angles. Nous ferons seulement observer que, pour les mesurer avec plus d'exactitude, il faut prolonger suffisamment leurs côtés. 2.^ Si l'angle proposé est sur le terrain, on en distingue de deux sortes : ceux dans lesquels on peut entrer, et ceux dan$ lesquels on ne peut point entrer.
1.^ L'angle CAB se trouvant dans le premier cas, j?^. 39, faites planter un jalon sur le côté
44 PRAÏ'IQUE
AC; et un autre sur le côté ABj posez un graphomètre,^^; 32 ^ sur le sommet Aj disposez ensuite cet instrument de manière qu'en regardant au travers des pinnules DH de son diamètre fixe, vous aperceviez le premier jalon (on assurera le gràphomètre dans cette position en serrant la vis de pression I) : puis dirigez l'alidade mobile GC vers le second jalon; et, lorsque vous serez parvenu à Tapercevoir au travers des pinnules de cette alidade ( ou règle mobile), alors l'arc du demi-cercle du grapbomètre cjui sera compris entre le diamètre DH et la règle GC indiquera, par le nombre de degrés qu'il contiendra, la valeur de l'angle proposé. Exemple : L'angle FAE de la figure 32 est de 30 degrés , et a pour mesure l'arc CH ; cet angle est égal aussi à celui de la figure 39 et à celui DCB de la figure 28.
2.0 L'angle ECD représente un bastion, fig. 40, dont on ne peut approclier qu'extérieurement. Prolongez les côtés EC, DC; puis, ayant déterminé (arbitrairement, mais il est préférable de les rendre égales) les longueurs des lignes CA, CB , mesurez les deux angles CBA et CAB; ajoutez ensemble leurs valeurs; et, puisque (51) les trois angles d'un triangle ACB valent 180 degrés^ retranchez de 180 degrés la somme des deux angles connus : le reste sera la valeur de l'angle x4.CB; égal à l'angle ECD, et vous aurez :
Mais si l'on prolonge également les côtés C A ,
DE l'arpentage. 45
CB5 comme dans l'exemple de la figure 40^ il ne sera nécessaire que de mesurer un seul angle A ou Bj et retrancher de 180 degrés le double de la valeur de Fangle connu* L'angle A est de 35 degrés : retranchez 70 degrés de 180 degrés^ le reste 110 degrés est la valeur de l'angle C.
Autre manière. Des lignes parallèles entre elles ayant mêmes directions^ les angles qu'elles forment respectivement entre elles sont égaux : donc, si l'on détermine GII, FH, parallèles à EC^ CD, l'angle GHF sera égal à l'angle ECD, et pourra se mesurer facilement.
Donc aussi deux angles ahc^ def^ tournés d'un même côté et ayant leurs côtés parallèles , sont égaux.
On pourrait aussi obtenir Fangle ECD par le moyen de deux règles assemblées par un de leurs bouts en charnière', et dont les branches seraient mobiles comme celles du compas de proportion, jÇg; 37. On appliquerait le côté AC, Jîg. 37, sur le côté CE de l'angle ECD, jÇ^. 40, en faisant mouvoir l'autre branche jusqu'à ce qu'elle soit en contact avec le côté CD de l'angle ECD. L'écartement que ces règles forment entre elles, donnera la mesure de 1 angle, qu'on pourra rapporter sur le papier par le moyen des règles qui auront servi à le mesurer.
On peut aussi mesurer facilement un angle quelconque avec la planchette, la boussole, etc., ainsi qu^on le fera voir par la suite.
Voici un moyen facile de mesurer un angle sur le terrain. Mesurez sur le côté AB de l'angle
CABjjÇ^. 41, une partie Aè, et sur AC une autre partie Kc et la corde puis , rapportant le triangle cAb (sur une éclielle de plan, ainsi qu^on l'indiquera article Plans géométriques) ^ et prolongeant les côtés Ab et Ac s'il est nécessaire, vous formerez l'angle CAB; on fera seulement observer que plus les côtés Ab et Ac seront grands, plus l'opération sera juste.
L'angle solide ECD, fîg. 40 , pourra aussi être déterminé par le même procédé, en mesurant les prolongemens CA, CB,et la ligne AB. Car, ayant rapporté le triangle ACB, l'angle ECD sera construit par les prolongemens ACj BC (les angles opposés au sommet étant égaux, 44).
Il y a aussi d'autres manières d'obtenir la grandeur des angles : nous les ferons connaître incessamment.
PROBLÈME IIL
SUR UNE LIGNE DROITE ET UN POINT DONNES, DECRIRE SUR CETTE LIGNE UN ANGLE EGAL A UN AUTRE BAC, ET QUI AIT SON SOMMET A UN POINT DESIGNE 41 et 42.
On propose de faire sur la ligne EG un angle égal à un autre de 50 degrés, et qui ait son sommet au point D, sur cette ligne. L'angle qu'on propose de former doit être décrit sur le papier ou sur le terrain.
1.*^ Si (îette ligne est sur le papier, posez un rapporteur sur la ligne GE, Jîg. 42, de manière que son centre soit sur le point D, et son diamètre sur DE j vous marquerez un point F
DE LARPENTAGE.
sur le papier, vis-à-vis le degré 50 du rappor-leur, puis vous tirerez la ligne DF.
jlutre manière. Tracez, des points A et Jîg. 41 et 42 j comme centres, des arcs égaux hc^ de ; prenez la distance hc; et, du point décrivez un arc qui coupera l'arc de au point e ; de ce point de section tirez les angles A et D seront égaux; et les triangles hkc ^ dDe^ seront semblables sous le rapport de leurs angles et sous celui de leurs côtés.
Afin de prouver l'égalité des angles et des côtés de ces deux triangles, si l'on découpait le triangle bAc^ après avoir posé le point A sur le point D du second triangle, et le côté Ab sur le côté Dd^ le point c se trouverait placé sur le point e^ et le premier triangle couvrirait parfaitement le second.
2.*^ Si cette ligne est sur le terrain, on posera un graphomètre au point D, jÇ^. 42 3 après avoir dirigé le diamètre fixe dans l'alignement de DE, on formera avec ce diamètre et la règle mobile de l'instrument un angle égal à 50 degrés, et l'on fera placer un jalon dans la direction des pinnules de la règle mobile : alors on aura formé sur le terrain et au point désigné Fangle proposé.
On voit par ces exemples qu'il sera toujours facile de mesurer un angle sur le terrain et sur le papier, et de le déterminer dans les deux cas, de quelque grandeur qu'il soit, sur des lignes et des points désignés.
PROBLÈME lY.
FXEYER UNE PERPENDICULAIRE ^UR UNE LIGNE A UN POINT PRIS SUR CETTE LIGNE.
Cette ligne est sur le papier ou sur le terrain.
1. ^ Si elle est sur le papier^ prenez avec un compas deux parties égales , comme CA , CB^
jîg^ 43j de chaque côté du point C désigné; ensuite j avec une même ouverture de compas arbitraire, décrivez , des points A et B comme centres 5 deux arcs qui se coupent au point D , puis tirez la ligne DC : elle sera perpendiculaire sur AB5 puisque les angles DCA et BCB sont droits (15).
Autre mardère. Prenez un rapporteur; posez son centre sur le point C, et son diamètre sur CA, CB; marquez sur le papier le point de 90 degrés, puis tirez de ce point et au point C la ligne CD. ^
Autre manière^ Placez une règle parallèlement à la ligne AB ; faites glisser une équerre sur le bord de cette règle, jusqu'à ce qu'elle rencontre le point C; alors tracez le long de Féquerre la ligne CD : cette ligne sera perpendiculaire sur AB5 puisqu'elle formera de part et d'autre deux angles droits (15). Cette méthode, qui est la plus prompte, est d'un grand usage dans la pratique.
2. ° Si la ligne AB est sur le terrain, le point C étant désigné , posez un graphomètre à ce point; dirigez son diamètre fixe sur CA, CB ; formez avec le diamètre et la règle mobile de
Finstrument 5 un aogîe qui soit de 90 degrés, et faites placer un jalon dans la direction des pinnules de la règle mobile.
Auîre manière. Posez une équerre d'arpenteur,/^^n 5^5 au point C, de manière quelle soit droite sur son pied^ et ce dernier perpendiculaire à l'horizon (quelquefois on place un fil à plomb au point correspondant sous le point A, pour assurer le pied de l'instrument dans une position verticale); ensuite dirigez le rayon visuel de son diamètre EB sur CA, CB, fig. 43, et faites placer un jalon dans la direction FC de rinstrument. Cette méthode est fort usitée dans la pratique.
Si l'on proposait d'élever une perpendiculaire sur le terrain à l'extrémité B de la lic^ne AB,^^. irn bis^ on le ferait promptement %a plaçant une équerre au point dirigeant l'un de ses rayons visuels BE,^^; 54 „ sur BA, et en faisant placer un jalon dans la direction de son autre diamètre FC.
Si la perpendiculaire doit être élevée sur le papier, du point B tracez, arc arbitraire
ADE ; 2.^ du point A, et avec le rayon AB, déterminez le point D; 3.° de ce point, et avec la même ouverture de compas, déterminez ie point E; /î.° des points D et E pris successivement pour centres^ décrivez deux arcs qui se couperont au point C : la droite qui passera par les points C et B satisfera à la question. Mais le moyen le plus expéditif est de placer une équerre parallèlement à la ligne AB prolongée^, de faire glisser l'équerre le long de la règle jusqu'au point B, et de tracer BC, 3
