PROBLÈME VI

d'un POIINT DONNÉ HORS d'uNE LIGNE DROITE , TIRER UNE PARALLÈLE A CETTE LIGNE.

Cette opération doit être faite sur le papier ou sur le terrain. Dans le premier cas, la ligne AB^Jig. 45, étant tracée, et le point F désigné, tirez du point F pris à volonté la ligne FE, qui rencontre en un point E la ligne AB - mesurez avec un rapporteur l'angle AEF, au point F; faites avec cet instrument l'angle EFD, semblable au premier : la ligne FD , prolongée s'il est nécessaire, sera parallèle à AB (45 et 46).

Autre manière. Faites glisser une équerre parallèlement (le long d'une règle) à la ligne AB, jusqu'à ce qu'elle rencontre le point F, qui est, dans cet exemple, placé sous la ligne ABjpuis de ce point, et le long de Féquerre, tracez une ligne indéfinie FD : alors, si l'équerre n'a point changé de direction^ cette dernière ligne sera parallèle à AB. Cette méthode, étant expéditive, est d'un grand usage dans la pratique, surtout pour rapporter les plans levés à la boussole, comme on le verra en son lieu.

Si la parallèle demandée doit être déterminée sur le terrain , faites placer des jalons en A et

F, jjg. ^5; posez un grapliomètre à un point E pris à volonté sur la ligne AB; puis mesurez 1 angle AEF; transportez cet instrument au point F; faites poser un jalon au point de la première station E; formez au point F un angle EFD égal à l'angle AEF, et faites planter un piquet dans l'alignement de FD.

jduire manière. Faites mettre des jalons aux points A, Jîg* 45; abaissez de la ligne

AB sur le point F la perpendiculaire GF, par la méthode indiquée au problème V; mesurez cette ligne exactem<^nt; du point B, abaissez la perpendiculaire BD, à laquelle vous donnerez même longueur qu'à la ligne GF : alors la ligne qui passera par les points F et D sera parallèle àAB.

Si le point F n^cut point été désigné, on aurait abaissé deux perpendiculaires AC, BD, d'une grandeur arbitraire, mais égales.

PROBLÈME YII.

TRACER UN TRIANGLE QUELCONQUE SUH UNE LIGXK DONNÉE, ou QUI SOIT ÉGALE A UNE AUTRE,

Les triangles qu'il s'agit de tracer doivent l'être sur le papier ou sur le terrain : nous supposerons d'abord le premier cas.

Soit le triangle équilatéral de la figure 13 qu'on propose de décrire sur une ligne donnée AG : sa base étant déterminée, des points A et G comme centres, décrivez, avec une ouverture de compas égale à la base AC, deux arcs qui auront leur point de section en B^ puis tirez les lignes BA; BC.

DE L AilPENTAGE. 55

Si Ton demande un triangle égal à celui de îa figure 45, marquez sur la ligne désignée la longueur de la base ABj comme ce triangle est isocèle, prenez la longueur d'un de ses côtés, AD, par exemple, et des points A et B comme centres, avec un rayon égal à AD ou BD, décrivez deux arcs qui auront leur commune section en D, et tirez DA, DB.

S'il s'agit de décrire sur une ligne donnée, ou simplement sur le papier, un triangle rectangle, 10, déterminez sa base CB; élevez à l'une de ses extrémités B une perpendiculaire avec une équerrej portez sur celte ligne la longueur AB du côté de l'angle droit, et du point A tirez AC.

Si l'on propose de décrire un triangle acu* tangle semblable à celui de la figure 12, déterminez une base AC; prenez avec un compas la longueur BC; du point C, et d'un rayon égal à BC, décrivez un arc en B; ensuite prenez la longueur du côté AB; puis du point A, et d'un rayon égal à AB, décrivez un arc qui coupera le premier, et déterminera le point B; puis tirez BA, BC.

Si les mesures de ces triangles étaient seulement indiquées ou cotées sur un canevas, on les construirait par des points d'intersection, et d'après la proportion des longueurs de leurs côtés réduites sur une éclielle de plan.

On voit donc qu'on peut facilement faire sur le papier un triangle semblable à un autre quelconque, sur une ligne donnée ou autrement, et qu'il suffit de connaître les trois côtés

d'un triangle pour le rapporter sur le papier par le moyen des points de section. Nous mettrons ce procédé en usage pour expliquer la construction d'un plan géométrique levé seulement par la mesure des côtés des triangles, et sans mesurer les angles*

Afin de résoudre la seconde partie du problème, nous supposerons qu'il faille déterminer sur le terrain les triangles que nous avons rapportés sur le papier.

Désirant simplifier les démonstrations, nous dirons qiien principe ^ pour faire un triangle sur le terrain , égal à un autre ou à un triangle quelconque y sur une ligne donnée ou autrement, dont on connaisse les angles et la longueur des côtés, il faut déterminer avec un instrument les angles de ce triangle , et les longueurs de ses côtés par les mesures. Nous allons éclaircir ce principe par deux exemples.

Premier exemple. Soit le triangle ADB de la figure 43, qu'il faille déterminer sur le terrain, et sur la ligne AB, qu'on suppose indéfinie, et sur laquelle on a marqué le point B. Faites placer un jalon dans la direction de BA, et un autre dans celle de BD; connaissant par le ca-* nevas les mesures des angles et des côtés de ce triangle , posez un graphomètre au point B, et déterminez (par la méthode indi-

C) On appelle caîieças ou croquis une figure qui représente les angles visuels que les lignes forment sur le terrain, et sur laquelle on désigne les divers objets de détail qu'il s'agit de lever géométriquement ; on y cote aussi les mesures des lignes et des angles.

DE LARPÊNTAGE. 55

nuée au problème ÏÎI ) l'angle ABD^ que nous supposons être de 55 degrés 5 faites porter dans lalignement de BD lé nombre de mesures indiquées au canevas pour ce côté : elles détermineront le point D, auquel il faut placer un jalon ; ensuite , transportez l'instrument au point A, qui a été déterminé par la longueur du côtéBA; à ce point, déterminez l'angle DAB, qui sera égal à l'angle DBA, ce triangle étant isocèle 3 si les côtés BD et AB ont été mesurés exactement 5 vous trouverez autant de mesures pour le côté DA que vous en avez trouvé pour le côté DB; et, connaissant la valeur des deux angles A et B^ qui est de 110 degrés, celle de Tangle D sera de 70 degrés (51) : on transportera toujours le graphomètre au point D pour vérifier cet angle.

Second exemple. On propose de déterminer sur le terrain le triangle rectangle ACB de la figure 10 : au point B, élevez, avec une équerre, la perpendiculaire BA, à laquelle vous donnerez autant de mesures qu'on en aura marqué sur le canevas pour ce côté 5 déterminez le point C par la mesure du côté BC : les points A et C étant déterminés , la longueur CA sera donc égale à celle cotée sur le canevas pour ce côté; mais, pour apporter plus d'exactitude, on mesurera effectivement cette ligne.

On voit qu'on peut toujours déterminer sur le terrain un triangle quelconque {et le rapporter sur le papier) par la connaissance seulement de V angle compris^ et de la Iongueur des côtés qui le comprennent. Nous

prendrons pour exemple la figure ^3. Pour construire ce triangle, il suffit de connaître :

ou l'angle D et les côtés DA, DB, ou l'angle B et les côtés BA, BD, ou l'angle A et les côtés AD, AB.

Or il en est de même pour tous les triangles, îl résulte des problèmes sur la construction des triangles , les conséquences suivantes :

1. ^ Deux triangles sont égaux quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun.

2. ° Deux triangles seront égaux s ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.

5.^ Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont leurs côtés égaux chacun à chacun.

Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont seulement deux angles égaux chacun à chacun^ puisque le troisième angle de Vun est nécessairement égal au troisième angle de Vautre: car ce dernier angle, réuni à chacun d eux, complète leur valeur respective de 180 degrés.

5.° Deux triangles qui ont deux côtés pa^ rallèles et égaux sont semblables dans toutes leurs parties.

Nous donnerons dans la troisième partie de cet abrégé la méthode par laquelle on peut toujours déterminer un triangle par la connaissance de trois de ses six parties, pourvu qu'il y ait un côté : c'est ce qui constitue la

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science de la Trigonométrie. Mais nous avons cru devoir d'abord exercer les cornmençans sur le rapport des triangles sur le papier et sur le terrain : cette pratique étant fort essentielle dans l'art de lever les plans, on comprendra plus facilement ce que nous dirons sur cette matière.

Nous allons encore donner la manière de déterminer un triangle sur le terrain sans inst rumens 5 par la connaissance seulement de la longueur des trois côtés. Exemple : Après avoir donné à la base kC^ Jîg. 13, sa longueur respective , ayez deux cordeaux chacun égal en grandeur aux côtés AB, CB. Etant également tendus, leurs extrémités se joindront au point B, qui sera le sommet du triangle, auquel on fera planter un piquet, et vous atu'ez déterminé le triangle ABC proposé.