OPÉRATION PAR LOGARITHMES

Logarithme sinus de l'angle B 9,733177

+ logarithme base AB 2,G66319

Somme 12,399496

— logarithme sinus de î'angîe C. 9,8943 4G

Logarithme du côté AC 2,505150

qui répond à 320 mètres.

Logarithme sinus A 9,997910

+ logarithme base AB 2,666319

Somme 12,664229

— logarithme sinus de l'angle C. 9,894346

Logarithme du côté CB 2,769883

qui répond à 589 mètres

Nous ferons remarquer, 1 que nous employons

i'^) Le lojçarîthme 2,789885 tombant entre les nombres 588 et 589, il faudrait retrancher une fraction d'unité au nombre «^89 ; mais il est assez rare qu'on ait besoin d'une exactitude aussi rigoureuse dans la pratique.

On a choisi 589, parce que le logarithme 2^769885 est l^eaucoup plus près de 589 que de 588.

RECTÎLÎGNE» 165

le même angle C et la même base AB pour obtenir les longueurs des deux cotés AC, et CB, ce qui est un très-grand avantage pour les calculs; 2.^ que la jormide générale que nous avons établie pour la résolution de toutes les espèces de triangles, aplanit de grandes difficultés sur cette matière, puisqu'elle dispense de faire les opérations relatives à cliaque espèce de triangle; 5.° que, n'employant dans les calculs que les sinus des angles (ou leurs logarithmes) , et le logarithme de la base, nous évitons par-là de charger la mémoire du lecteur d'une infinité de mots qui le fatigueraient; nous lui évitons aussi les calculs qu'il serait obligé de faire en employant les autres lignes, pour obtenir un semblable résultat. On conviendra donc que nous avons beaucoup simplifié cette matière, et Ton s'en convaincra encore davantage par la lecture des ouvrages sur la trigonométrica

De toutes les méthodes qu'on emploie dans les calculs de la trigonométrie, la suivante est la plus courte : nous allons l'appliquer à la figure 97 pour le côté AC. Ecrivez le complément arithmétique (^^ du premier terme

ou de l'angle C 0,105654

Logarithme sinus du troisième

terme ou de l'angle B 9,733177

Et le logarithme de la base AB 2,666519

Vous aurez le logarithme du ^ côté AC . 12,505150

(JSota. On supprime le chiffre 1 à gauche de

On obtient le complément arithmétique d'un nombre ea

cette somme, et le reste 2,505150 est le logarithme du côté AC)

On voit donc que toutes les fois que l'on connaîtra deux angles et un côté d'un triangle, il sera toujours facile cle déterminer la valeur du troisième angle et celles des deux autres côtés, et l'on peut assurer que presque tous les triangles qu'on mesure sur le terrain se trouvent dans ce cas.

Cependant nous ne pouvons nous dispenser de faire connaître plusieurs problèmes relatifs à la résolution des triangles, quoiqu'il soit rare qu'on ait besoin de les résoudre sur le terrain.

1. ^ Connaissant l'hypothénuse et les angles aigus d'un triangle rectangle, trouver les deux autres côtés.

2. ^ Connaissant deux côtés et l'angle qu'ils forment, trouver le troisième côté et les autres angles.

3. ° Connaissant deux côtés et un angle opposé à Fun d'eux, trouver les autres angles et l'autre côté.

^.^ Déterminer les trois angles par la connaissance des trois côtés.

écrivant au-dessus de ce nombre autant de zéros qu'il y a de chiffres qui le cômposent , plus Vunité : ce qui restera après avoir fait la soustraction, sera le complément arithmétique de ce nombre.

Exemple, On demande le complément arithmétique du logarithme sinus de 5! degrés §8^

logarithme 9,894546

Complément arithmétique 0,105654

{^) Le sinus total ou le rayon des tables étant Tunîté suivie de 0, il sufat de retrancher le premier chiffre 1. Le reste sera le logarithme du nombre cherché.

Notre dessein étant (comme on Fa remarqué) de simplifier les démonstrations ^ nous allons ^ avant de donner la solution de ces problèmes^ enseigner la méthode par laquelle on supplée à la trigonométrie dans Fart de lever les plans» Elle consiste à former sur le papier^, avec un rapporteur, des angles égaux à ceux qu'on a observés sur le terrain. Exemple : On donne dans le triangle ABC, 97, la base CB, de 589 mètres, l'angle B, de 52 degrés 45 minutes, et l'angle C, de 51 degrés 38 minutes. Tracez une ligne indéfinie CB, à laquelle vous donnerez 589 parties d'une échelle de proportion; ensuite formez au point B, avec un rapporteur, un angle de 32 degrés 45 minutes, et au point C un angle de 51 degrés 38 minutes : les points de section des deux rayons BA, CA, seront proportionnels à la base CB; l'angle A devra être de 95 degrés 37 minutes, puisque dans tout triangle les côtés sont proportionnels aux sinus des angles qui leur sont opposés (73).

« Cette méthode est moins exacte que la pré- » cédente, en ce que le rapporteur, ou en géné- » ral l'instrument que l'on emploie pour former » sur le papier des angles égaux à ceux qu'on a » observés sur le terrain, ne pouvant être que » d'un assez petit rayon, on ne peut apporter » dans la formation de ces angles Isi. même pré- » cision qu'on obtiendrait en mesurant sur l'é- » chelle la valeur que le calcul a déterminée » pour les côtés.

« Mais, comme il est peu ordinaire qu'on ait » besoin d'une exactitude aussi scrupuleuse, et

y> que d'ailleurs la méthode de rapporter les an- » gles sur le papier est beaucoup plus expéditive, » ceUe dernière doit être regardée comme y> étant d'un usage fort étendu^ et sujjisam" » ment exacte. » (Bezout;, tome I, page 337), Les problèmes proposés pourront se résoudre comme ci-dessous.