MESURER UNE HAUTEUR AU PIED BE LAQUELLE ON NE PEUT PAS ALLER

Etant éloigné à une distance suffisante de l'édifice dont on veut connaître la hauteur, on plantera un piquet au point D,^^. 100; un ^ autre au point A, dans l'alignement de BD; et audit point A on mesurera avec un graphomètre l'angle CAD, et au point D Tangle CDA; cela étant fait, on connaîtra les angles du triangle - CDA, et le côté DA, que l'on aura fait mesurer: il sera alors facile de trouver le côté CD (75).

Dans le triangle rectangle CBD on connaîtra ^

RECTîLIGNE. 177

avec l'angle droit l'angle D : car, l'angle CD A étant de 146 degrés, l'angle CDB, supplément de l'angle CDA, sera de 34 degrés (21); de plus, l'hypothénuse CD étant connue, il sera facile de trouver la mesure du côté CB (problème 1> l^ota. Ce problème peut aussi se résoudre comme le précédent pour le triangle ACD^jÇ^.

Les problèmes relatifs aux figures 98, 99, 100, ainsi que tous ceux qui leur sont analogues, peuvent se résoudre avec un rapporteur d'après la méthode que nous avons indiquée. Nous allons seulement expliquer le rapport de la figure 100.

Tracez une ligne indéfinie AB; marquez sur celte ligne la longueur proportionnelle de AD, et aux extrémités de cette ligne formez les angles A et D : vous obtiendrez le point C par intersection 5 prolongez suffisamment le côté AD ; placez une règle parallèlement sous cette ligne, le long de laquelle vous ferez glisser une équerre jusqu'à ce que son côté droit rencontre le point C, et tracez CB : vous obtiendrez par ce moyen deux triangles semblables à ceux que vous aurez observés sur le terrain, et dont les côtés seront en rapport avec la base AD : donc vous connaîtrez CB sur l'échelle, et sans faire aucun calcul.

On peut aussi déterminer la hauteur AB, Jîg. 100 his y sans instrument. Prenez deux bâtons, dont l'un soit le double de l'autre en hauteur; placez-les de manière que l'intervalle CD soit égal à DG, et que FG soit dans la direction

i?B TRIGONOMÉTRIE

de A vous prolongerez FG en E, et vous aurez la ligne EB égale à AB.

On obtiendrait également la hauteur AB en plantant verticalement un bâton dont la longueur (non compris celle enfoncée en terre) sera connue; on mesurera en même temps l'ombre du bâton et celle de la tour; ensuite on fera cette proportion : l'ombre du bâton CD est à la hauteur du bâton FC, comme l'ombre de la tour BC est à la hauteur de la tour AB.

On peut, au moyen d'une seule base exactement mesurée, obtenir un grand nombre de points trigonométriques en calculant les côtés d^un grand triangle comme serait le triangle BA clocher, Jig. 98. Car, connaissant les longueurs B clocher, A clocher, ces lignes serviront de bases à d'autres triangles, ainsi de suite. On pourrait donc déterminer par ce procédé une infinité de points qui ne seraient pas aperçus dans le plan de la base principale CB ou AB : nous en donnerons un exemple dans la figure 101. Il suffirait dans ce cas de mesurer seulement deux angleis dans chacun des nouveaux triangles ( supposant que les points observés soient en plaine ou accessibles ).

déterminer les points principaux de la. cartk d'un pays.

Pour faire la carte d'un pays , il serait nécessaire d'avoir une base d'une ou plu sieurs Jieues ; mais , comme une base de cette longueur-là ne serait pas facile à trouver à cause des obstacles que présente le terrai© ^ il faut, au moyen d'une

RECTÏLIGISE. 179

base CD^Jig. 101, de 1000 à 1200 mètres, mesurer celle qui doit servir à l'opération dont il s'agit. Supposons que les extrémités de cette seconde base soient les deux éminences A et B ( au-dessus desquelles on aura fait placer deux signaux ) : au point A on mesurera les angles que forment avec la base AB les rayons AEj AF, AG;, etc. , AL, AN, etc. ; et au point B on mesurera les angles que forment avec la même base AB les rayons BE, BF, BG, etc., BL, BN, etc. ; dans chacun de ces triangles on connaîtra un côté qui leur sera commun, et deux angles : il sera donc facile de les déterminer*

Lorsque les principaux points sont déterminés, on obtient ensuite par des opérations accessoires, et sur des bases auxiliaires , les principaux coudes des routes, rivières et canaux, les montagnes, étangs, bois, et généralement tous les objets qu'on veut figurer sur la carte. On a déjà vu que Texactitude des détails d'une carte ou d'un plan dépend du plus grand nombre de points qu'on aura déterminés par les moyens que nous avons fait connaître.

Nods allons actuellement indiquer la manière de lever le plan d'une commune avec tous ses détails.

LEVER LE PLAN d'uNE COMMUNE.

D'après ce que nous avons dit dans la seconde partie de cet ouvrage et sur la trigonométrie, on pourrait être à même de lever le plan d'une commune, puisqu'il ne s'agirait, dans ce cas, que de l'application et des développemens des

principes que nous avons démontrés. Cependant l'explication de la figure 102 aplanira les difficultés qu'on pourrait encore éprouver sur le terrain lorsqu'il faut opérer dans de grandes dimensions.

La figure 102 représente une commune dont BOUS supposons qu'il faille lever le plan. Voici l'ordre dans lequel on doit procéder à cette opération : on fait d'abord la reconnaissance du territoire de cette commune, en parcourant les lignes qui forment sa circonscription. Dans cet exemple, les extrémités de ces lignes sont les bornes n.°^ 1, 2, etc., jusqu^à la borne 11, et revenant à la première (*). Ensuite on détermine, dans le milieu du territoire, des lignes dont on fait mesurer exactement les longueurs, et sur lesquelles on fait des observations analogues aux figures 97 et 100. Supposons donc que l'on ait déterminé d'après ces procédés les points A, B, C, D, E, F, G, H, I, Q, et les bornes n.^^ 1, 2, 3, 5, 6, 8, et 11 : ces points serviront à faire le fond du plan topographique que l'on se propose de faire. Ayant déterminé la position de tous ces points ( et d'un plus grand nombre d'autres qu'on n'a pas marqués pour ne point trop charger la figure ), on connaîtra par le calcul les distances qui existent entre eux, et leur situation respective. C'est sur ces lignes, comme on va le voir, qu'on lèvera tous les détails nécessaires.

f*") Oiî dresse ordînaîrement un procès-verbal des longueurs qui existent entre chaque borne, ainsi que des angles formes par les lignes du périmètre de la commune; ce procès - verbal est signé du maire de la commune et de ceux des communes adjacentes, etc.

RECTILIGNÈ. 181

Observation essentielle. Le géomètre char^ gé de la triangulation d'une commune doit relever autant de points quil lui est possible; et il faut qu'il les choisisse de manière que ceux qui doivent figurer les détails puissent établir facilement leurs opérations secondaires sur des bases déterminées et de peu de longueur, et former tous les raccordemens nécessaires sur les points de première opération*

Les opérations trigonométriques étant faites, on lèvera le plan du périmètre ( ou des lignes qui forment la circonscription ) de la commune de cette manière: les points I et la borne 11 ayant été observés, on les prolongera jusqu'à la borne 10, et l'on cotera la longueur de ce prolongement (^y^ on se transportera au point C; la borne 5 étant déterminée ^ on mesurera la distance dudit point C à la borne k , et celle qui existe entre la 4.^ et la 5.^; ensuite on mesurera la longueur de la borne 6 à la borne 7, et de cette dernière au point E; de ce point on mesurera la distance à la borne 9 , qui est un point trigonométrique d'où l'on déterminera des lignes dont la dernière aboutira au point G; du point G on déterminera d'autres lignes qui se dirigeront au point de la borne n.° 10; sur ces lignes on lèvera les détails de la rive nord de la rivière.

On voit que les lignes de la circonscription de la commune ont été déterminées par des

C^) Quoique la longueur de la ligne I borne i\ ait été trouvée par le calcul, puisqu'elle est un des côtés du triangle AI borne 11, on la mesurera, ainsi que toutes les distances qui existent entre chaque borne.

observations trigonométriques et par des points d'intersection obtenus sur les lignes de base. On ^ mesurera aussi quelques lignes transversales^ comme de la borne 3 à la borne 10 /de la borne 4.® à la 9.^, ou au point G si cela est possible*

On rapportera sur le papier le plan de toutes ces lignes ; ensuite on lèvera celui de tous les chemins intérieurs de la commune, de la manière suivante :

On placera un grapbomètre au point déterminé par le calcul, d'oii l'on mesurera les angles entre le point Q et un jalon planté du côté de N, et entre ce dernier jalon et un autre placé du côté de Bj de ce dernier jalon on prendra une direction au point B; on reviehdaa au premier jalon, qu'on a fait planter du côté de d'où l'on prendra une direction au point N, et l'on continuera ainsi jusqu'au point I, duquel on reviendra au point B; on lèvera sur toutes ces lignes les détails extérieurs des maisons et les chemins. Du point B on lèvera la partie du chemin au point a ( dont on aura marqué la rencontre sur la ligne de la borne IJ^ àla 2.^, ainsi qu'on a fait pour toutes les rencontres des chemins sur les lignes du périmètre). Sur cette ligne on marquera un point à l'embranchement de la route avec le chemin, d'où l'on partira pour lever la partie de ladite route jusqu'à sa rencontre avec la ligne I borne 11 (du périmètre); ensuite on reviendra au point B, d'où on lèvera la partie du chemin au point b; de là on retournera au point d'où on lèvera la partie du chemin au point e; et du même point Q on

lèvera sur la ligne QD les détails du chemin jusqu'à son embranchement au point D; et de ce point, apercevant les points c et ( où Ton aura fait planter des jalons ou signaux), on mesurera ces deux lignes, sur lesquelles on lèvera les portions de chemin à droite et à gauche^ aux points désignés, rapportant les lignes de tous ces chemins avec leurs détails. On aura alors les plans de tous les polygones qui forment l'ensemble de la commune : c'est ce qu'on appelle le plan de masse. Il est très-essentiel que ce plan soit d'une grande exactitude, puisqu'il doit servir de base aux opérations du parcellaire^ ainsi que nous allons le démontrer.

Après avoir rapporté le plan de masse ^ et s*être assuré de son exactitude par les mesures et les directions, on procédera à la levée du plan du village. On le circonscrit ordinairement entre plusieurs lignes : dans cet exemple, sur la ligne QG on marque un point O; sur la ligne GH un point N; sur la ligne BC un point K; et sur la ligne CQ un point R. Comme on a marqué le point L sur k ligne KN, on a la ligne OL, sur laquelle on marque un point J, et sur la partie QO de la hgne QG on marque un point P. On aura alors renfermé le village entre les lignes KR, RQ, QP, PJ^ JL, LR, c'est4-dire dans un hexagone irrégulier. On lèvera sur ces lignes les détails extérieurs de tous les jardins; on mesurera dans l'intérieur des diagonales, et les détails des maisons s^'obtiendront par la méthode indiquée pour la jfigure 67 ; ensuite on procédera à l'opération du parcellaire ^ ainsi que nous allons l'expliquer.

184 TIVÏGONOMKTRÏE

On est dans l'usage de considérer une commune comme étant divisée par sections. Dans cet exemple j la section C est renfermée entre les points Qjj(i I, borne 10, G, borne 9, borne 8, et ^.

Nous prendrons pour exemple la section D. On fera remarquer que les lignes qui circonscrivent la section sont levées géométriquement, ainsi que la partie comprise entre les points

J] N, g. Afin d'avoir les plans de chaque pièce de terre , on marquera sur la ligne BI les points S, U, Vj et sur la ligne n.° 1, borne 11, on marquera les points Y, etc. Ensuite on prendra sur la ligne du chemin aB les largeurs de chacune des pièces (pour plus de commodité, on cotera ces mesures, ainsi qu'on l'a indiqué à la note page 81, les mesures cumulées étant plus faciles à rapporter); sur la ligne BI on cotera les distances BS, Sï, TU, etc. , ainsi que les distances n.^ 1 Y, YZ, etc., prises sur la ligne n.° 1 à la borne 11 ; on mesurera aussi la ligne du n.^ 11 au point I, sur laquelle on prendra les largeurs de chaque pièce, comme on Ta fait pour la ligne aB; ensuite on marquera la rencontre de chaque pièce sur chacune des lignes S n.^ 1, TY, UZ, etc.; ayant coté exactement sur un canevas tous ces détails, on les rapportera sur les lignes de base, et l'on aura les plans parcellaires des héritages renfermés dans le polygone D.

On procédera ensuite aux opérations parcellaires de la partie g^l^g du polygone, à l'orient du village, et contigu au premier» Les

lignes qui le forment, étant déterminées par les opérations précédentes j serviront à lever le parcellaire.

Sur la ligne GN marquez leâ points de rencontre ^ 71^ Oe Les points gy étant déterminés, mesurez les trois côtés du triangle hjg. Sur le côté jg vous formerez le triangle ja^g>^ en mesurant la ligne ]a\ (Le point a été marqué sur la ligne ^N). Sur jo} marquez le point k; sur ]k déterminez le triangle jmky en mesurant les cMés km^ jm. Vérifiez la longueur mn; mesurez aussi 772/^ ni : vous aurez déterminé le triangle nmL Les points / et o étant déterminés, mesurez d'abord la longueur io j ensuite la ligne oL Sur ol déterminez le triangle opl^ en mesurant op ^ plj et sur le côté op élevez une perpendiculaire au point q. Sur BI marquez les points s. v; les points i et l étant déterminés j mesurez la ligne il^ sur laquelle vous élèverez une perpendiculaire au point b\ Sur les lignes HB, HA, marquez leurs points de rencontre et sur la ligne ps. Les points u V étant déterminés, mesurez la ligne Ui^ et la distance Ix, qui est la rencontre de la ligne IH avec la ligne

Il faudra aussi mesurer plusieurs diagonales, comme jiy Vs^ ip^ np ^ etc. : ces diagonales serviront à vérifier l'exactitude de l'opération.

Si l'on a bien compris cette explication (qui n'est que le développement de tout ce qu'on a dit précédemment ) , il sera facile d'obtenir les plans des héritages renfermés entre les lignes de la section D, lesquels on rapportera

par des points d'intersection et par les points de rencontre desdits héritages sur les lignes d'opération.

On emploierait les mêmes procédés pour lever le parcellaire de tous les polygones circonscrits par les chemins, et qui forment l'ensemble de la commune 5 ou, comme nous l'avons dit, le plan de masse.

Remarque. Les géomètres du cadastre forment le plan de masse ou d'ensemble au fîir et à mesure qu'ils déterminent les différens polygones de la commune sur les lignes tri^ gonométriques. Ainsi ils le font donc en même temps que le parcellaire , et il n'est achevé qu'à la fin des opérations générales et parcellaires. Cette marche parait plus prompte, et ne ' change rien aux opérations que nous avons expliquées.

Ce plan, rédigé dans un petit rapport, représente Tensemble de la commune, chemins, rivières, bois, etc. , etc.

Chaque section est rapportée sur une feuillé particulière, et offre les plans des propriétés individuelles renfermées dans chacune de ces divisions principales.

En levant le plan des chemins, on a pu véri- ^ fier les distances des points observés, sur lesquels on s'est dirigé; on voit aussi comment ces points, qui servent à former le fond de la carte d'un pays, sont nécessaires pour obtenir ^ les objets de détail qu'on veut y figurer. Cependant nous donnerons encore un dernier exemple de la manière de lever le parcellaire avec la planchette.

Supposons qu'on ait rapporté sur la planchette les points F, G, borne 8 et borne 9 : placez bien horizontalement la planchette au point F, en faisant correspondre le point du plan avec celui du terrain. Placez l'alidade sur la ligne FG, et tournez la tablette (sans déranger ralidade)^ jusqu'à ce que vous aperceviez à travers les pinnules le point G, auquel on aura fait planter un jalon. Fixez une aiguille verticalement au point F représenté sur la planchette; faites tourner le centre de l'alidade autour de l'aiguille, et dirigez-la successivement sur les points du terrain d, etc., et tracez les rayons visuels Fc^ prolongé en F^^ F^/, F^5 etc. 3 et, ayant déterminé par des longueurs proportionnelles les points etc.j tracez les lignes hc^ cdj de ^ etc.3 transportez ensuite la planchette à l'un des points déterminés, sur l'un des rayons duquel vous puissiez apercevoir plusieurs objets de détail que vous lèverez comme à l'ordinaire.

Ayant ainsi fixé les points li^ r ^

tracez les lignes ba^ ^f^fgy g^^ '^q^ cjOj om^ my : vous aurez alors déterminé les lignes hgy gfyfcL^ dby bc^ cdj de^ er^ rq^ qo^ om^ et my*

Sur la ligne GF déterminez un point I, et sur gh un autre point z; ensuite, sur les lignes j^G, I/, et i borne 9^ levez les sinuosités de la rivière.

L'opération du terrain sera terminée; mais il sera bonde mesurer quelques diagonales, telles que çf \ cr^ etc. Voici une vérification qu'on peut obtenir pendant le cours de l'opéra-

18â TRIGONOMÉTRIE

tioti (*) : loj'sque vous avez -placé et orien-^ té la plancheîte à un point quelconque du terrain^ et déjà déterminé sur cet instrument^ posant la pinnule sur ce point et sur ceux Jîxés sur le plan de la ta^ blette^ vous devez apercevoir à travers les pinnules leurs correspondans du terrain^ ainsi que nous l'avons dit pour les raccords de là planchettej^^. 127.

iVb/^w L'explication que nous venons de donner n'est qu'une conséquence de ce que nbus avons enseigné pages 127 ^ 128, 129, et suivantes.

Pour orienter ce plan, Jîg. 102, on a observé au point n.° 2 Tangle formé par l'aiguille de la boussole 775^ et la ligne de la seconde borne à la troisième, et l'on a tracé sur le plan cette direction ^ qui forme avec la ligne observée un angle de 25 degrés: ainsi l'on voit la manière de tracer cette ligne sur une caxte ou sur un plan.

C^) On voit que cette méthode peut servir à vérifier des points que l'on soupçonnerait douteux, sur un plan ou une carte topot graphique, ainsi qu'à ajouter des objets de détail qu'on auraiomis.

On a vu aussi qu'il n'y a qu'une seule manière de déterminer les points qui servent à faire le fond d'un plan, et pour former le plan de masse; mais que les méthodes qu'on emploie pour lever le parcellaire , dépendent de la figure du terrain : c'est poUrquioî nous avons fait usage de trois procédés différens pour obtenir Jes détails de trois polygones de la figure \ 02. On peut aussi se servir avec succès de la boussole, de l'équerre, ou de la planchette, pour lever les objets de détail ; mais il faut toujours avoir le soin de faire correspondre les lignes qui servent de base à ces opérations secondaires , avec celles qui auront été déterminées par des observations trigonoraétriques ; par ce moyen on obtiendra un plan qui sera exact dans son ensemble ainsi que dans ses détails.

RECTIIIGNE.