BU TOISÉ DES SURFACES PLANES, DE LA DIVISION DES TERRAINS
Bt; TOISÉ BES SUHFACES PI. AMES.
Nous avons considéré Tétendue comme ayant trois dimensions : longueur ^ largeur, et épaisseur ou profondeur. Nous allons la considérer dans celle partie sous les deux premiers rapports, c'est-à-dire sous celui des surfaces ou superficies.
Ce qu'on entend en général par toisé des surfaces ^ c'est la méthode de faire les multiplications nécessaires pour évaluer les surfaces lorsqu'on en a mesuré toutes les dimensions nécessaires, comme nous allons l'expliquer.
Avant de donner la manière d'obtenir par le calcul la superficie d'une figure quelconque,
1.^ Nous renvoyons le lecteur à l'art. ^2, p. 20 , concernant les bases et les hauteurs des figures 3
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2. ° Nous posons en principe qu un triangle est moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur que lui : car, si de l'angle A.^Jîg. lOa, du triangle ABC on tire AD^ parallèle à BC, et de l'angle C la ligne CD, parallèle à AB, on aura un parallélogramme ABCDj de même base et de même hauteur que le triangle ABC, et Ton démontrera que les triangles ABC, ADC, sont égaux à cause des parallèles (44). De plus, le côté ACleur est commun : donc la proposition ci-dessus est vraie.
Cette démonstration s'applique à tous les triangles, comme on le voit par l'examen des triangles EGH,j?^. 104, et ACD, 16, qui sont moitié des parallélogrammes EGHF et ACDB;
3. ® Qu'on distingue les quadrilatères en quadrilatères simplement dits, trapèzes, et parallélogrammes : nous avons déjà parlé de ces figures ;
4. ^ Que les parallélogrammes qui ont même base et même hauteur sont égaux en surface (56), quelle que soit leur inclinaison.
5. ° Qu'il suit de ce principe que les triangles qui ont même base et même hauteur sont égaux en surface.
MESURER UNE SURFACE OU l'AIRE d'uNE FIGURE.
C'est chercher combien de fois cette surface contient une autre surface connue. La mesure qu'on emploie est le carré. C'est pour cela qu'on nomme quadrature l'évaluation des surfaces.
Exemple.
MESURER LA SURFACE d'uN PARALLELOGRAMME RECTANGLE,
Mesurer la surface de la figure ACBD, jÇ^. 103, cest déterminer combien cette figure contient de carrés tels que abcd. Si le côté ab est d'un mètre, c est déterminer combien la surface ACBD contient de mètres carrés.
On obtiendra cette surface en multipliant le nombre de mesures contenues dans sa longueur BD, par celles contenues dans sa largeur CD, et le produit exprimera le nombre des mesures carrées contenues dans ce rectangle. Par exemple ; si BD contient ab six fois , et que CD contienne ab cinq fois, le rectangle ACBD contiendra 30 carrés tels qu^ abcd^ ou 30 mètres carrés.
Remarque. Si ab était une fraction de Fumléj comme, par exemple, un carreau qui aurait I six pouces de chaque face, alors il ne produij 3?ait que trente-six pouces carrés. Car, en prenant l'unité pour terme de comparaison, un cari reau qui aurait un pied ou un mètre de toutes I faces, ne produirait qu'un pied ou un mètre carré.
On voit qu'il est essentiel de déterminer l'espèce de mesure courante qu'on emploie j comme terme de comparaison. Le mètre étant la mesure prescrite pour toute l'étendue de la France, nous n'avons employé dans ce traité que cette seule espèce de mesure. D'ailleurs , comme nous avons des ouvrages qui traitent
de la comparaison des différentes mesures autrefois en usage Ç^)^ il sera toujours facile, lorsque l'on connaîtra une surface en mètres carrés, de connaître son rapport avec une surface d'une autre espèce proposée, soit en perches carrées, pieds carrés ^ etc. (*'^).
MESURER LA SURFACE d'UxN PARALLÉLOGRAMME INCLINÉ.
Un parallélogramme quelconque est égal en surface à un autre ( quelle que soit l'inclinaison de ses côtés) qui aurait même base et même hauteur que lui.
Les deux -parallélogrammes ABCD^ et ECFD^ fîg. 24, même base et de même hauteur^ sont égaux en surface.
Ces deux parallélogrammes ont une partie commune ECBD : ainsi leur égalité dépend de celle des triangles ACE, BDF. Or nous allons prouver que ces deux triangles sont égaux : car AC est égal à BD, ces lignes étant des parallèles comprises entre parallèles (Û7); et par la même raison, CE est égal à DF. D'ailleurs l'angle ACE est égal à l'angle BDF : ces deux triangles ont donc un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun (52); ils
f^) Le Noiweau Système des Poids et Mesures^ par M. Lucotte, inspecteur des eaux et forêts, et M. Noirot, arpenteurvérificateur à Dijon, peut être regardé coinrne le meilleur oii- Trage qu'on ait fait sur cette matière. Ce volume se vend 1 i'r. 50 c. chez Bo7îne fond-Dumoulin libraire, à Dijon, et chez les principaux libraires de la Côte-d'Or.
^ C*^*^) Voyez , dans le même ouvrage , l'exemple cité à la conversion des mètres carrés en journaux , etc.
sont donc égaux. Donc aussi les parallélogrammes ACBD et ECDF sont égaux (ce qui est conforme à la démonstration donnée par Be- ^out).
D'après ce principe 5 si la base commune CD des deux parallélogrammes ACBD et EFCD est de 1/i mètres, et leur hauteur commune AC ou FG [à cause des parallèles (^7)], de 20 mètres, ils auront chacun en surface 280 mètres carrés; et,puisqu^/^^ triangle est moitié (ï un parallélogramme qui aurait même base et même hauteur que lui^ le calcul des triangles CEF, CDF, du parallélogramme EFCD compris entre les parallèles AC, FG, donnera aussi le même résultat.
Donc, en résumé, la surface d'un parallélogramme quelconque est égale au produit des parties de sa base multipliées par les parties de sa hauteur, ou simplement au produit de sa base par sa hauteur. Ainsi la surface de la figure 19 (ou le terrain qu'elle représente) est égale à CD X AF; et la figure 18 sera égale à ABxEF.
MESURER LA SURFACE d'un TRIANGLE.
Puisqu'un triangle est moitié d'un parallélogramme qui aurait même base et même hauteur que lui, il faut donc, pour en obtenir la surface, multiplier sa base par sa hauteur, et prendre la moitié du produit. Ainsi, pour avoir la surface du triangle ABC, 7%-. 10, il faut multiplier le nombre de mesures contenues dans sa base AC par le nombre de celles contenues dans la perpendiculaire DBj ou, si l'on a considéré CB
202 i^oisÉ comme base, on multipliera GB par AB; mais on est dans l'usage de prendre le plus grand côté pour base.
Dans le triangle obtusangle ABC , fig. 11 , il est préférable de prendre le côté AC pour base , par exemple, au côté CB (quoiqu'on obtiendrait le même résultat). Dans le premier cas BE serait la hauteur, et dans le second cas AD serait la hauteur du triangle ABC ; mais le choix de la perpendiculaire AD exigerait plus de travail sur le terrain 5 et même au cabinet : il faut donc toujours prendre le plus grand côté pour base.
La surface et la base d'un triangle étant connues, on obtiendra la perpendiculaire en divisant le double de sa surface par sa base.
La surface de la figure 18 est égale à CD X EF, ou. à celle de ses deux triangles.
MESURER. LA. SURFACE d'uN TRAPEZE.
Lorsqu'il s'agit de mesurer la surface d'un trapèze, on le considère comme s'il était divisé en deux triangles par une diagonale; on calcule la valeur de chacun de ces triangles, et Ton prend la moitié de leurs sommes réunies : ainsi la surface du trapèze ACDB,jÇ^. 20 , est égale à la moitié de ADxBF, ADX ECrdonc il suffira de mesurer (sur le terrain ou sur le papier) seulemxcnt la diagonale AD et les perpendiculaires BF, EC.
Autre manière. Ajoutez ensemble les deux côtés parallèles, prenez la moitié de leur somme, et multipliez-la par la perpendiculaire menée entre ces deux côtés parallèles (^Bezout.) Donc la
surface du trapèze jig. 20 pourrait être exprimée ainsi :
^XGH.
En supposant AB de 18 mètres, CD de 30 mètres, la largeur moyenne mètres doit être multipliée par la hauteur GH, supposée de 32 mètres. Le résultat sera 24 >< 32, ou 768 mètres carrés, ou 7 ares 68 centiares.
MESURER LA SURFACE d'c]^ POLYGONE REGULIER.
Un polygone régulier, fig. 26, ayant tous ses côtés égaux, et les perpendiculaires abaissées du centre sur les côtés étant égales , il doit être considéré commie étant formé par des triangles semblables qui ont leur sommet au centre E: donc, pour avoir la surface d'un polygone régulier, il faut multiplier Tun des côtés par la moitié de la perpendiculaire, et multiplier ce produit par le nombre des côtés. Exemple : Le côté HD (ou tout autre) est de 57 mètres ; et la perpendiculaire EF, qu'on nomme apothème^ de 52 mètres : j'aurai donc 26 X 57 X 6 = 8892 mètres carrés, ou 88 ares 92 centiares , pour la surface de l'hexagone régulier ABCDHG.
