MESURER LA SURFACE D UN POLYGONE ÎRREGULIER

Pour avoir la surface d'un polygone irrégulier (ou d'un polygone quelconque) , il faut le partager en triangles par des diagonales (57), comme on le voit en la figure 25 ; on calcule séparément la surface de chacun de ces triangles ;

et^ réunissant tous leurs produits, on a la surface totale du polygone. Voici comme on dispose ces sortes de calculs (on assigne une lettre à chacun de ces triangles, lorsque leur nombre n'excède pas 25): Supposez qu'on ait mesuré toutes les bases et toutes les hauteurs des triangles delà figure 25; vous écrirez ces mesures comme il suit (effectivement,, ou sur l'échelle du plan):

Bases. Hauteurs.

a 85... X... 24 = 2049 ^^tres,

Produit 11732 mètres.

Ayant écrit le nombre de mesures contenues dans les perpendiculaires, il faut prendre la moitié du produit pour avoir la surface réelle 5866 m. c.

La surface du polygone ABCEDF sera de 58 ares 66 centiares.

On peut aussi diviser un polygone irrégulier en rectangles et carrés, et le surplus en triangles. On fera les calculs des rectangles et carrés ; ensuite on évaluera les triangles; et, ayant réuni leurs produits à celui des carrés, on pourrait obtenir la preuve du premier calcul fait par triangles.

D'ailleurs il sera toujours prudent de se procurer cette preuve lorsqu'il s'agit d'une propriété d'une certaine étendue. Quelques géomètres calculent deux fois la surface de leurs

plans; ou, après avoir fait les premiers calculs, ils les font faire une seconde fois par un autre.

Nota. Afin d'obtenir avec le plus d'exactitude possible la surface d'une figure quelconque, il faut la rapporter sur une échelle d'une grande dimension; et, lorsqu'on l'aura calculée, on la réduira par quelqu'un des moyens qu'on a indiqués pour la réduction des figures.

Comme presque toutes les figures qu'on a à mesurer sur le terrain sont irrégulières, on doit regarder cette méthode comme étant d'un usage général. Si les bases et les hauteurs de ces triangles (de la figure 25 et de toute autre) peuvent être mesurées sur le terAin , on obtiendra les surfaces de ces figures sans en faire les plans l mais il se présente souvent des obstacles qui empêchent qu'on ne puisse mesurer toutes ces lignes. On pourrait aussi, si le terrain n'est pas embarrassé, mesurer les cotés de ces triangles , les rapporter sur une échelle de plan, comme le sont ceux des figures 25 et 57 , et les calculer sur l'échelle; mais lorsque les figures sont trèsirrégulières , comme le sont les figures 66, 68, 69, et 8^J, on en lève les plans géométriques, et l'on calcule leurs surfaces sur l'échelle du plan t c'est ainsi qu'on obtient les surfaces des bois , des étangs, rivières, etc. Cette méthode est adoptée par le cadastre, puisque c^est par son moyen qu'on calcule les plans des communes : elle doit donc être regardée comme étant suffisamment exacte; d'ailleurs elle est aussi beaucoup plus expéditive dans un grand nombre de cas.

Lorsqu'il s'agit d'évaluer les surfaces des îles,

2Ô6 TOISÉ royaumes j provinces ou départemens , on trace des carrés sur la carte, dont les côtés sont en proportion avecréchelle de cette carte: tels sont ceux tracés sur la figure 91. Chaque carré représente une lieue, ou 1000 mètres carrés, etc. On compte le nombre de ceux qui sont remplis ^ et Ton évalue ceux qui ne le sont qu'en partie. La surface du département de la Côte-d'Or, évaluée d'après cette manière, est de 876,956 hectares.

MESURER LA SURFACE d'uN CERCLE.

On peut considérer un cercle comme un polygone régulier d'une infinité de côtés. D'après cette définition, la surface d'un cercle doit être égale au -produit de la circonférence par la moitié du rayon. Afin d'être en état de trouver la surface d'un cercle quelconque, dont le diamètre serait connu, on voit qu'il est nécessaire de connaître le rapport d'un cercle à un diamètre déterminé. Voici quelques-uns de ces rapports : Archimède a trouvé qu'un cercle qui aurait 7 pieds de diamètre aurait 22 pieds de circonférence; on se sert aussi du rapport de 100 à 514 ; mais le plus exact de tous est celui ^Adrien Métius, de 113 à 355. Si donc on demande la surface d'un cercle ABED,^^. 5, qui aurait 75 mètres de diamètre, on aurait cette proportion :

Ayant trouvé que le quatrième terme de cette proportion est de 235 mètres 62 centimètres, je multiplie ce nombre par la moitié du rayon,

DES SURï'ACES PLACES. 207

c est-à-dire par 18 mètres 75 centimètres, et j'ai 4417 mètres 88 centimètres carrés, ou 44 ares 17 centiares 88 milliares, pour la surface du cercle proposé.