MESURER LA SURFACE D UN SEGMENT DE CERCLE
Pour avoir la surface d'un segment AIHA, Jîg. 5 (23) , il est évident qu'il faut retrancher du secteur ICADI la surface du triangle AGI.
MESURER LA SURFACE d'uN SECTEUR DE CERCLE.
La surface dun secteur (27) est égale au -produit de Tare qui lui sert de base j, par la moitié du rayon.
On a vu que dans un même cercle les longueurs des arcs sont proportionnelles à leurs nombres de degrés : ainsi, lorsqu'on connaîtra la longueur de la circonférence, on pourra toujours déterminer celle d'un arc d'un nombre de degrés proposé, en faisant cette proportion :
360 degrés : nombre de degrés de l'arc proposé : : la longueur de la circonférence : celle de ce même arc.
Donc, s'il s'agit de trouver la surface du secteur ICADI, fig. 5, de 117 degrés, dans une circonférence dont le diamètre DB est de 75 mètres ^ je calcule la longueur de cette circon-
i08 *roisÉ férence, que je trouve, comme ci-dessus , de 235 mètres 62 centimètres j j'aurai alors cette proportion :
360 degrés t 117 degrés :: 235,62 : x Ayant trouvé que le quatrième terme de cette proportion est 76 mètres 58 centimètres, qui est la longueur de l'arc proposé, je multiplie ce nombre par la moitié du rayon, c^est-à-dire par 18 mètres 75 centimètres, et j'ai 1^35 mètres 88 centimètres carrés, ou 1^ ares 35 centiares 88 milliares, ou simplement 1^ ares 36 centiares, pour la surface du secteur ICADI de 117 degrés.
MESURER LA. SURFACE d'uNE ELLIPSE.
Z/a surface dune ellipse est égale à celle dun cercle qui aurait -pour diamètre une ligne moyenne proportionnelle entre les deux axes de cette ellipse : donc le rapport de la surface du rectangle HIRL,^^. 51, fait par les deux axes AC, BD, à la surface de cette même ellipse, est le même que celui du carré du diamètre d'un cercle à la surface de ce cercle, qu'on a trouvé être de 1000 à 785; ainsi, pour avoir la surface d'une ellipse, il faut mesurer ses deux axes, et faire de leur produit le troisième terme d'une proportion dont les deux premiers sont déterminés.
Exemple. L'axe AC est de 42 mètres, et l'axe BD de 30 mètres: la surface du rectangle HIRL sera donc de 1260 mètres carrés; on aura cette proportion :
et le nombre 989, qii^on a pour réponse, est celui des mètres carrés que contient la surface de l'ellipse qu'il fallait mesurer.
On obtiendra la preuve de cette opération par le problème XYIII , fig. 5 G : car la ligne proportionnelle entre les deux axes AC , BD, est de 55 mètres 50 centimètres. Ce nombre peut être considéré comme la longueur du diamètre d'un cercle; et la surface d'un cercle qui aurait 35 mètres 50 centimètres de diamètre, serait de 989 mètres 68 centimètres carrés; la différence 68 centimètres avec le premier résultat peut être regardée comme nulle; donc la proposition est vraie.
Autre manière. Supposez une ellipse dont le grand aXe soit de 20 mètres, et le petit de 12 mètres : multipliez 20 par 14, le produit sera 280 mètres. Ensuite faites une règle de trois dont le premier terme sera 14, et le second 11. Multipliez 280 par 11 : vous aurez 3080 mètres, que vous diviserez par 14, et vous aurez 220 mètres carrés, ou 2 ares 20 centiares, pour la surface ou Faire de l'ellipse.
MESURER LA SURFACE d'uNE PARABOLE.
La surface d'une parabole ARB, Jig* 52, est égale aux deux tiers d'un rectangle APQB foriilé par la base AB et l'axe RC de cette parabole : ainsi, si l'on donne la base AB de 8 4 mètres, et l'axe RC de 45 mètres, on aura un produit de 3780 mètres carrés, dont les deux tiers, 2520 mètres, seront le nombre de mètres carrés contenus dans l'espace parabolique ARB.
MESURER LA SURFACE d'uNE COURONNÉ*
On appelle couronne l'espace compris entre les deux circonférences concentriques AIGH et BDEF, jÇ^, 7. Il est évident que, pour avoiï la surface de cette couronne, il faut calculer séparément les surfaces de chacune de ces circonférences, et retrancher la plus faible de la plus forte : le reste sera la surface de la couronne qu'il fallait mesurer.
A Pégard de la figure mixtiligne 8, on aurait cinq triangles et trois segmens à calculer.
Pour la figure curviligne 9, on aurait quatre segmens et deux triangles à calculer.
La surface de la figure 18 est égale au produit de la base AC par la moitié de BD, ou au double du triangle ABC ou ADC.
On obtiendra aussi cette surface en multipliant la base CD par la hauteur EF^ comme on a fait pour la figure 19.
Dans le premier cas, la base AC est de 28 mètres, et la perpendiculaire abaissée du point B sur cette base est de 10 mètres, ce qui donne une surface de 280 mètres carrés.
Dans le deuxième cas , la base CD est de 1 7 mètres 50 centimètres, et la hauteur EF de 16 mètres : le produit de ces deux nombres est égal au premier résultat, ce qu'il fallait démontrer (échelle fig. 36).
MESURER LA SURFACE d'uN OVALE
(^figure 50)* Mesurez les secteurs CAHL , LEG, IDC,
BIKGj ainsi qu'on l'a indiqué à la page précédente. De ces quatre secteurs retranchez le losange HDKE', qui est commun aux deux grands secteurs, et ce qui restera sera l'aire de l'ovale.
MESUREE LA SURFACE b'UN CHAMP.
Avant de passer à la division des terrains^ nous allons encore donner un exemple sur Farpentage et le calcul de la surface (ou superficie) d'une pièce de terre dont la figure se rencontre le plus fréquemment.
Nous avons coté sur la figure 109 toutes les dimensions du terrain /telles que nous les avons trouvées.
Pour obtenir la surface d'une pièce de terre analogue à la figure 109 5 on peut faire usage de trois procédés diff erens.
Premier procédé. On divisera la pièce en plusieurs quadrilatères à-peu-près rectangulaires, en faisant placer des jalons l'un vis-à-vis de l'autre sur les côtés AE, FK de la pièce, ayant soin que les lignes AB, BC, etc., FG, GH, etc. , soient droites.
Cette préparation étant faite , on mesurera les côtés AB, FG, AF, BG du premier quadrilatère AFBG; on fera de même pour les autres quadrilatères BGCH, CHDI, DIEK.
Pour calculer la contenance de cette pièce , on additionnera ensemble les deux longueurs AB , FG, et les deux largeurs AF, BG; on prendra, 1.° la moitié de la somme de AB, FG, et 2.^ la moitié de la somme de AF, BG; et, multi-
212 TOTSÈ
pliantla moitié de AP+BG par la moitié de AB+ FG, on obtiendra la surface du quadrilatère AFBG.
On appliquera le même procédé aux trois autres quadrilatères de cette figure ^ et, réunissant les résultats des calculs de ces quatre quadrilatères, on obtiendra la surface de la pièce de terre représentée par la figure 109.
Un moyen plus expéditif, et qu'on emploie ordinairement ^ est de mesurer la longueur moyenne LM de chacun des quadrilatères, et les deux largeurs AF, BG ; mais il faut toujours mesurer ces largeurs d'équerre autant que possible, et jamais obliques ou diagonales : car on obtiendrait une fausse surface. Exemple : Dans la figure 112 C, la longueur méridionale est DE et non DF. Le triangle FDE se mesure séparément.
l^ota. Nous ferons remarquer que les côtés AB, FG, AF, BG, ne diffèrent pas sensiblement (ce qu'il sera toujours facile de voir au premier coupd'œil). Ce procédé est juste^ parce que les mesures moyennes des longueurs et des largeurs transforment en un rectangle cîiacun des quadrilatères de cette figure. Et l'on sait que la surface d'un rectangle est le produit de sa hauteur (ou sa largeur), multipliée par sa base (ou sa longueur).
Deuxième procédé* Après avoir partagé le terrain en plusieurs quadrilatères, on mesure lés quatre côtés de chacun d'eux, et une dia* gonale, comme on le voit en la figure 109 : ces quadrilatères seront alors divisés chacun en deux triangles.
Les deux triangles du quadrilatère CHDI sont HCD, H!D, ainsi des autres.
Connaissant les trois côtés de ces triangles, on les rapportera ( toujours sur une grande échelle), et on les calculera suivant la méthode ordinaire 3 après quoi on prendra la moitié de leur produit, qui exprimera la surface de la pièce arpentée.
Troisième procédé. Si sur les bases HD , lE, fig. 109, des triangles des deux derniers quadrilatères , on élève sur le terrain , et avec une équerre d'arpenteur, des perpendiculaires aux points C, I, Dj K, on sera dispensé de rapporter ces triangles , parce que , connaissant la base et la hauteur de chacun d'eux ( ces mesures seront plus exactes que si elles étaient déduites d'après l'échelle de plan ) , on pourra faire les calculs sur le terrain, et obtenir de suite la superficie de la pièce arpentée (de même que d'après le premier procédé).
On fera à volonté usage de ces trois procédés ; mais le dernier nous semble préférable parce qu'il est plus géométrique.
Voici les résultats d'après chacun de ces procédés.
Le 1.^^ donne 21 92
Le 2.® donne 21 79
Le 3.^ donne 21 75
65 liQ
On pourrait prendre le 21 82
pour la surface réelle de la pièce fîg. 109. C'est ici le lieu^ d^^vertir que lorsque deux ou
plusieurs arpentages d'une même pièce ne différent entre eux que du centième^ cette différence est considérée comme nulle dans la pratique.
Cette latitude est aussi applicable à la longueur des lignes.
Quelques arpenteurs prétendent qu'on peut accorder une latitude d'un cinquantième pour les parcelles 3 mais celle du centième doit suffire si Ton opère avec exactitude.
Voici un cas qui peut souvent se présenter : la pièce arpentée, 109, en adoptant le
premier résultat (21 ares 92 centiares), est trop faible par rapport au titre, qui indique qu'elle doit contenir en surface -j- de journal (25 ares 71 centiares, le journal de 360 perches de 9 pieds chacune). On arpentera dans ce cas les deux pièces qui limitent au nord et au midi la pièce arpentée, et l'on comparera les contenances obtenues atix titres respectifs qu'on devra produire. Nous supposons que la pièce au midi ne contienne pas plus que l'énonce le titre, mais que la pièce au nord, qui ne doit contenir qu'un journal, soit de 38 ares 78 centiares: elle a donc en plus 4 ares ftO centiares; alors on fera la contenance de la pièce, j^^. 109, en prenant sur la pièce au nord 396 mètres carrés, qu'il faut calculer d'après la longueur développée de la ligne ABCDE. Cette longueur étant de 102 mètres 20 centimètres, on ajoutera à la pièce jig. 109 3 mètres 87 centimètres de largeur sur toute la longueur de ladite pièce, parce que 102 mètres 20 eentimètres >< 5
mètres 87 centimètreszz: 396 mètres carrés^ ou 3 ares 96 centiares qui manquaient à la pièce dont il s'agit. Ensuite on plantera les bornes ^ et l'on dressera le procès-verbal de cette opération ^ où l'on indiquera exactement les différentes largeurs du champ 5 etc. , conformément aux modèles que nous avons rapportés à la fin de cette quatrième partie de notre ouvrage.
Il arrive souvent qu'après avoir arpenté plusieurs pièces de terre, on trouve que les unes sont plus fortes, et les autres plus faibles en raison des contenances énoncées dans les titres. Dans ce cas il convient de faire des répartitions proportionnelles, comme nous allons l'expliquer.
Supposons que l'arpentage de quatre pièces de terre donne les résultats suivans :
Pour la première. . • 17 80
Pour la seconde 25 30
Pour la troisième 32 60
Pour la quatrième 52 00
Masse de l'arpentage 125 70
Et que les titres partiels réclament , Pour J a première ( ) ^ 7 ares, j/jc»
Pour la seconde ( -|- ) 25 71 Pour la troisième (1 ) 34 28
Pour la quatrième (1 -f ) 51 li2
Masse des titres. ........ 128 55
Voici la formule générale applicable à tous les cas semblables.
âl6 TOISÉ
La masse des titres est à la masse de T arpentage comme V énoncé d'un des titres est à la portion proportionnelle qui lui est relative.
Dans cet exemple on aura la proportion suivante :
titres. arpentage.
Le 4."^^terme donne 16 76% i.^^^ po^''<>«-
Partant de ce terme de comparaison, la 2.'"^
portion sera de 25 14
La troisième, de. ... 35 52
La quatrième, de. • . 50 28
Total. ..... ..125 70 égale la masse
de l'arpentage (à moins d'un centiare), ou preuve des calculs.
Les portions proportionnelles étant ainsi préparées , il s'agit de consommer l'opération sur les lieux. Voici la marche qu'on doit suivre : il faut d'abord comparer le résultat de l'arpentage de chaque pièce avec la portion qui lui est relative, et diminuer ou augmenter chacune d'elles en raison du rapport qui a servi de base à l'opération. y
Exemple. La première pièce rendra 1 are li centiares, qui étant ajoutés à la deuxième, cette dernière contiendra 24 ares 54 centiares : donc il faudra reprendre sur la troisième 80 centiares, et cette dernière ne contiendra plus que 31 ares 80 centiares. On prendra donc 1 are 72 centiares sur la quatrième pièce (pour complé-
BES SDEFACES PLANES. 217
ter ses portions proportionnelles) j et cette dernière sera réduite à 50 ares 28 centiares, qui est ce qu'elle doit contenir ( comme on l'a vu ) , d'après le rapport qui a réglé les contenances de chaque héritage.
Remarque. Ces augmentations ou diminutions de contenance se font en calculant les largeurs à prendre ou à rendre à chacune des pièces en raison des longueurs de chacune d'elles. Par exemple, la première pièce doit rendre 1 are ^ centiares ou 104 mètres carrés à la deuxième: la longueur de cette pièce étant de 220 mètres ^ il faudra y prendre 0 mètre lï7 cent, de largeur ; mais, comme en arpentage on néglige les centimètres, on prendra 0 mètre 5 décimètres. On fera de même pour les autres pièces.
Voici une manière prompte et commode pour faire les parts proportionnelles : supposez que^ trois pièces de terre étant arpentées, la première
donne en surface. \ . 33 i\Q
la deuxième. 24 15
et la troisième 50 00
Total 107 55
On suppose que les titres réclament pour
la première \ joum.
la deuxième ^
et la troisième. ± \
Dans ce cas il y aura de l'avantage à réduire chaque part en quarts dejournal: vous aurez donc pour la première pour la seconde^ et pour la troisième , : ce qui fait en tout Ensuite vous diviserez 107 ares 55 centiares ou
10755 mètres carrés par 13. Vous aurez 8 ares 27 cent., ou 827 mètres carrés (le reste peut être négligé). Pour faire la part du premier, vous multiplierez 8 ares 27 cent. ( ou le de 10755 mètres carrés) par 4; pour former celle du second, vous multiplierez ce même nombre par 53 pour déterminer la part du troisième, vous multiplierez ce même quotient par 6, et vous aurez formé ainsi les trois parts proportionnelles. S'il y avait eu des huitièmes , on aurait réduit chaque part en huitièmes, etc.
Mais lorsqu'il y a un certain nombre de perches à ajouter aux journaux et parties du journal, comme dans l'exemple suivant, il faut déterminer la valeur de la perche, ainsi qu'on va l'expliquer.
Exemple. Trois pièces de terre donnent en surface :
Pour la première. 35 40 *''^*°
la deuxième 69 50
la troisième 27 30
Total 132 20
Les titres réclament pour
la première 1 15 ^"
la deuxième 2 25
la troisième. 1 20
Il faut dans ce cas réduire chaque part en
perches. Pour la première vous aurez. . 375 p""*
la deuxième. 745
la troisième. 290
Total des perches. . . . . ... 1410
DES SUilFAGES PLANES. 219
Il faut actuellement diviser la iiiasse de Farpentage, 15220 mètres carrés, par 1/ilO percliest il viendra au quotient 9 mètres 37586. La part de chacun se formera en multipliant ce quotient par le nombre de perches relatif à chaque portion.
Nota. On fera observer qu'on doit pousser les décimales au moins à 5 , comme dans cet exemple^ parce que^ ce résultat devant être multiplié par 575, 7^5, 290 , lés différences seraient d'autant plus sensibles , que le multiplicateur serait plus grand.
On voit aussi que la valeur de la perche est toujours en raison des contenances des pièces arpentées.
