CINQUIÈME PARTIE

Le nivellement est une opération qui nous fait connaître la hauteur d'un lieu à l'égard d'un autre, c'est-à-dire la différence de leur distance au centre C de la tevve^jftg. 113. Le point K. est moins élevé que le point G, ou, ce qui est la même chose, le point K est moins éloigné du centre de la terre que le point G. Niveler j c'est se servir du niveau (*) pour connaître la différence de cette élévation entre deux ou plusieurs points.

Une ligne dont tous les points sont également éloignés du centre de la terre, comme AIB, est une ligne du nweau vrai; la forme de la terre étant sphérique, cette ligne sera un arc de cercle qui aura le même centre que la terre.

Mais la ligne de visée que donne le niveau est un rayon visuel, comme IG, qui forme toujours un angle droit GIC avec le demi-diamètre IC de la terre. On peut considérer ce rayon

C^) Voyez la description de cet instrument, pag. fig'ire

\isuel comme une tangente dont l'extrémité G est éloignée du point C en raison de la grandeur de ce rayon visuel.

Ce rayon visuel IG, parallèle à l'horizon ^ s'appelle ligne du niveau apparent^ pour la distinguer de la ligne du niveau vrai, qui est une ligne courbe 5 comme on vient de le démontrer.

Si un observateur est placé en un point A sur la surface du globe AGH, etc., 114, et que la tangente AE soit le rayon visuel qu'il ait dirigé parallèlement à l'horizon, le point E sera le point du niveau apparent, le point G celui du niveau vrai, et la différence GE du rayon TG à la ligne TE sera la hauteur du niveau apparent, c'est-à-dire la quantité dont le point E est plus élevé que le point G du vrai niveau.

TROUVER DE COMBIEN UN POINT DU NIVEAU APPA- RENT EST PLUS ÉLEVÉ QUE LE POINT CORRES- PONDANT DU VRAI NIVEAU.

La ligne AE,yÇ^. 114, étant parallèle à l'horizon, et formant un angle droit avec le rayon AT de la terre, pour connaître l'élévation du point E à l'égard du point G, on imaginera la ligne TE tirée du centre au point E ; on aura un triangle EAT (qui sera rectangle au point A, d'où Tobservation aura été faite), duquel on connaîtra deux côtés, le rayon AT de la terre, qui a été trouvé, d'après des calculs fort exacts, être de 3,269,297 toises, et le côté AE, qu'on aura mesuré. Il sera alors facile de trouver l'hypoténuse TEj et, en ôtaut le rayon ou demi-diamètre

254 DU NIVELLEMENt.

de la terre AT ou TG, le reste GE représente rélévation du point du niveau apparent E audessus du point du vrai niveau G.

Autre manière. Le carré formé sur l'hypoténuse est égal aux carrés des deux autres côtés (EuCLiDE, prob. XLVii, Iw. 1.^'): donc, pour connaître la hauteur GE,^^. 114, d'un point du niveau apparent E, il faut ajouter le carré du rayon de la terre AT, avec le carré de la ligne AE du niveau apparent, extraire la racine carrée de leur somme, et de cette racine soustraire le rayon AT ou TG; le reste exprimera la hauteur du point du niveau apparent E au-dessus de celui du vrai niveau G.

Exemple. Supposons que le point du niveau apparent E soit distant de 600 toises (1169 mètres 424 millimètres) du point A, d'où il a été observé, et qu'on veuille savoir de combien ce point E est élevé au-dessus du point du vrai niveau G : il faudra carrer le nombre 3,269,297 toises, qui est la longueur du rayon de la terre, et le nombre 600 toises, ajouter ensemble ces deux résultats, et extraire la racine carrée de leur somme; enfin, lorsqu'on aura obtenu cette racine, on en soustraira le même rayon 3,269,297, et les quatre pouces que l'on trouve pour reste satisfont à la question proposée.

Connaissant de combien l'extrémité d'un rayon de 600 toises s'élève au-dessus du vi;ai niveau, il sera facile actuellement de trouver la hauteur de tout autre point du niveau apparent dont on connaîtra la longueur du rayon visuel.

Dt NIVELLEMENT. 255

Exemple. Si Ton demande quelle est la hauteur du niveau apparent d'un point éloigné de 400 toises du point d'oii il a été observé , on aura cette proportion :

Le carré de 600 îoises est à H pouces comme le carré de 400 îoises est à la hauteur du niveau apparent du point proposé. Le quatrième terme, 1 pouce 9 lignes un tiers ou k points, satisfait à la question.

En supprimant les zéros , qui sont en même nombre dans le premier et dans le deuxième terme, on aura :

ou

Cest sur ce principe qu'on a calculé la table des haussemens du niveau apparent. Nous avons joint ici cette table calculée en toises et parties de la toise, pour la commodité des personnes qui sont encore dans Fusage de se servir de la toise dans^ les opérations du nivellement.

Nous avons aussi calculé en mètres et parties du mètre une table des haussemens du niveau apparent, laquelle fera aussi connaître une troisième manière d'obtenir les corrections du même niveau. On pourra juger laquelle de ces méthodes est la plus prompte : elles sont également' exactes.

On conçoit actuellement comment les lignes du niveau apparent peuvent servir à en déterminer d autres qui soient du vrai niveau. On peut

cependant négliger de rectifier le niveau apparent lorsque les distances n'excèdent pas 100 toises ou environ 200 mètres, parce que les différences du rayon visuel à la ligne du vrai niveau sont si petites 5 qu'elles peuvent être considérées comme nulles dans la pratique, où l'on a rarement besoin d'une exactitude aussi rigoureuse*

DU NIVELLEMEHTé