PA:RA^A'A:OA PA:RA^OA:VA

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et ceci est la relation obtenue au n" 3.

Si A et V sont donnés, on pourra d'une manière analogue construire le centre de courbure A' (^).

Cette construction renferme la précédente comme cas particulier.

Si le point R de la fig. 12 vient au pôle des inflexions J, la fig. 12 se transforme en \difiig. 11.

6. Quelques exemples pour appliquer les résultats acquis. Nous nous servirons des théorèmes suivants : Si un point de a se

meut sur une droite, il est sur le cercle des inflexions w de a.

Si une droite de cr passe constamment par le même point, celui-ci décrira dans le mouvement inverse une droite, et se trouve sur le cercle des inflexions w' de g' .

{a) Le système plan a se déplace de telle façon que deux points A et R se meuvent sur deux droites fixes a' et b' de a' .

Chaque point du système décrit alors une ellipse.

On construira immédiatement le centre de rotation, et le

(') Cette construction est due à Grublcr {SclilômilclCs Zeitschvi/t, t. XXIX, p. 3io).

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 35

cercle des inflexions (yZ,^'-. i3). Les perpendiculaires élevées en A et B sur a' et b' se coupent au centre instantané de rotation 0. Le cercle des inflexions est déterminé, car il passe par 0, A et B. Si S' est le point d'intersection de a! et de h' , ABOS' est un quadrilatère inscriptible, et, comme l'angle formé par a' et y est constant, on en conclut que le cercle des inflexions est dans ce cas un cercle invariable du système a.

Tous les points du cercle des inflexions se déplacent donc sur des lignes droites, comme A et B.

Commelestangentesd'inflexion passent toutes parle centre des inflexions (III, 9) et que a' et y sont les tangentes aux points A et B, il en résulte que S' est le centre des inflexions, et de là il suit que chaque point G du cercle des inflexions se déplace sur une droite C passant par S'. Nous pouvons donc définir le mouvement en remplaçant les points A et B par deux autres points du cercle des inflexions, par exemple par les extrémités d'un diamètre. Si F et G sont ces points, /' et g^ seront perpendiculaires l'une sur l'autre. Donc le mouvement peut être déterminé de telle façon que deux points F et G de a se déplacent sur deux droites/' et ,^' perpendiculaires entre elles.

Si M est le point milieu de FG, on a MF = MG = MS'. Le point M est donc toujours à égale distance de S', et pour lui l'ellipse devient un cercle qui a S' pour centre.

Comme l'angle (AOB) est toujours le supplément de l'angle formé par a' et h' ^ le lieu des points 0 du système mobile qui deviennent des centres instantanés de rotation au cours dii mouvement est le segment décrit sur AB, capable de l'angle (AOB). La courbe polaire de a est donc identique avec le cercle des inflexions.

La courbe polaire de a' est un cercle décrit autour de S' comme centre, car OS' est une droite de longueur constante.

Le mouvement peut donc être défini de telle façon qu'un cercle de rayon a roule à l'intérieur d'un cercle de rayon ia.

(b) Le mouvement est défini de telle façon qu'une droite g de a passe toujours par un point fixe P', tandis qu'un point A de g- parcourt une droite a' de a'. Chaque point de la droite décrit alors une conchoïde.

La perpendiculaire élevée en A sur a' et celle élevée en P'

sur ^ se coupent au centre instantané de rotation. Nous connaissons déjà deux points du cercle des inflexions, 0 et A. De plus, P' est sur le cercle des inflexions de a'. Si nous prenons le point B de OP', de telle façon que P'O = OB, B est un troisième point du cercle des inflexions de a.

On peut facilement démontrer que le lieu des pôles forme dans le système fixe cr' une parabole dont le sommet est le point P', dont l'axe est perpendiculaire à la droite a', et dont la directrice passe par le milieu de la distance comprise entre P' et a'; la courbe polaire du système mobile est du quatrième ordre.

(c) Définissons le mouvement de C en assujettissant un poiiil A à se mouvoir sur un cercle K', et un point B sur un diamètre b' du cercle (engrenage de Lahire).

Le rayon passant par A et la perpendiculaire élevée en B sur b' se coupent au centre instantané de rotation 0. Le cercle des inflexions passe par 0 et B. Le centre de courbure A' de A est le centre du cercle K'. Donc on sait, d'après ce qui a été dit, construire le point du cercle des inflexions situé sur AA'.

Les courbes polaires sont de l'ordre quatre et six; la dernière appartient au système mobile, la première au système fixe.

{d) Imaginons que le mouvement d'un système plan s'effectue de telle façon qu'un point A de ce système se déplace sur un cercle fixe K', tandis qu'une droite ^ menée par A passe toujours par un point fixe P' de K'. Alors chaque point de la droite décrit un limaçon de Pascal.

Le rayon passant par A et la perpendiculaire élevée en P' sur ^ se coupent au centre de rotation 0. Le cercle des inflexions passe parO et le point V de OP' pour lequel 0V= OP'. Si A' est le centre du cercle K', on pourra au moyen de A et de A', déterminer un troisième point du cercle des inflexions.

(e) On peut encore considérerl'exemple précédentà un autre point de vue. Nous avons vu que, dans le mouvement étudié en («), le point M décrit un cercle de centre S'. Ce mouvement peut donc encore se définir en assujettissant un point M de oà décrire un cercle, pendant qu'un second point A parcourt une droite a'. Dans le mouvement inverse, la droite a' passera donc

MOUVEMENT d'l'N SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 07

toujours par un point fixe A de cj, el, comme M parcourt un cercle de centre S', ce point sera sur un cercle dont le centre est en M, et qui passe en A. L'inversion du mouvement (<7) est donc identique avec le mouvement {cl), et toutes les constructions etîectuées dans le premier cas sont valaijles pour le dernier. En particulier, il suit de là que non seulement a', mais toute droite du faisceau de rayons dont le centre est S', passe |)ar un point fixe, et que le cercle des inflexions du système conserve toujours la même grandeur. Donc le point d'ondulation (III, 10) coïncidera à chaque instant avec le centre des inflexions.

Nous voyons ainsi de quelle utilité peut être l'inversion du mouvement même dans ces cas spéciaux.

(/) Les exemples précédents sont en grande partie des cas particuliers d'un mode plus général de mouvement qui est défini par la condition que deux points A et B de o- se meuvoni sur deux courbes fixes a' et b' de g' . Les normales aux courbes a' et b' en A et B déterminent alors le centre instantané. Si l'on sait construire les centres de courbure des courbes a' et b' pour les points A etB, chacun des couples (A, A') et (B,B') déterminera un point du cercle des inflexions, el, par suite, ce cercle lui même sera déterminé. Pour chaque point P de la figure mobile a on pourra donc construire le centre de courbure de la trajectoire.

Le mode de déplacement dont il vient d'être parlé acquiert un intérêt particulier lorsque les courbes a' et b' sont des cercles.

Alors trois barres de longueurs invariables, mais faisant entre elles des angles variables, à savoir AA', AB, BB', se déplacent de toutes les façons possibles. La courbe décrite paiun point quelconque du système mobile s'appelle courbe des trois barres et a été souvent étudiée (*). Il est très facile, d'après ce qui vient d'être dit, de déterminer son rayon de courbure. La courbe est du sixième ordre; les points cycliques sont des points triples; de plus, elle a trois points tri-

(') f^oyez par exemple S. Roberts, On the three-bar motion in plane space{Proceed. of the Lond. Math. Soc, t.YII, p. i4), et Three-bar motion {Ibid., p. i36).

pies à distance finie. Ceux-ci sont sur le segment décrit sur A'B', et capable de l'angle (APB), P étant le point dont on étudie le mouvement.

En particulier, lorsque les rayons des cercles sont égaux, et si AB = A'B', le mouvement peut s'effectuer, d'une part, de telle sorte que AB reste toujours parallèle àA'B', les quatre points A, B, A', B' formant un parallélogramme. Le centre instantané est alors toujours à l'infini, et tous les points décrivent des éléments parallèles.

Mais on peut aussi faire glisser la droite AB de telle façon sur la circonférence de cercle, qu'elle ne soit pas parallèle à A'B'. Les quatre points A,B,A',B' définissent alors un antiparallélogramme.

Le centre de rotation 0 est encore à l'intersection de AA' etBB'.

De plus, comme AA' = BB', le triangle OAB est égal au triangle OB'A'. Par suite, OB - OA =r p = OA'— OB', p étant le rayon du cercle. Ces équations montrent que la courbe polaire est, pour le système fixe comme pour le système mobile, une hyperbole, ayant pour foyers A et B, ou A' et B'; si AA'>AB, les hyperboles sont remplacées par des ellipses.

L'idenlité des deux courbes polaires est évidente si l'on envisage le mouvement inverse. Lorsque deux points A et B se meuvent sur des circonférences dont les centres sont en A' et B', ce mouvement peut toujours être défini par le déplacement de A' et B' sur deux circonférences dont les centres sont en A et B. Les deux mouvements sont donc complètement identiques ; ils sont engendrés par le roulement l'une sur l'autre de courbes de même nature. Dans le cas de l'antiparallélogramme, ces courbes sont égales et se touchent en des points correspondants , c'est-à-dire qu'elles sont à chaque instant symétriques par rapport à leur tangente commune.