III. — Relations métriques et exemples

1. Comme on l'a montré plus haut, les deux gerbes S et S' sont coupées par tout plan f\ perpendiculaire à l'axe instantané de rotation, suivant deux systèmes en correspondance quadratique. Les cercles des inflexions de ces deux systèmes

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sont les cercles d'inlerseclion de to avec les cônes orthogonaux W et W.

Donc, toute construction relative au mouvement d'une gerbe doit être considérée comme effectuée, si nous savons faire la construction correspondante dans le mouvement d'un système plan; car il nous suffit de la transporter du domaine de la géométrie du plan dans celui de la géométrie de la gerbe.

Qu'il nous soit permis de ne pas énoncer, dans le cas d'une gerbe de rayons, les constructions indiquées au § IV. Nous ne ferons qu'établir quelques-unes des relations précédemment obtenues sous la forme qui convient à la géométrie de la gerbe.

2. Si les rayons a de S sont dans un plan s, qui passe par l'axe instantané de rotation, les rayons correspondants a' seront aussi dans ce plan. Les rayons a et a' forment deux faisceaux projeclifs superposés de rayons qui ont en commun le rayon uni œ, axe de rotation. Si s et t' sont les rayons différents de ^, suivant lesquels W et W sont coupés par le plan £, nous poserons

/\{aœ)~l, N{a'œ) — 1\ h {s x)=: K {t' x) ~ ij.;

et dans ces relations on définira les angles À et V d'une manière analogue à ce qui a été fait pour les longueurs /■ et /•' dans le plan. Alors, du Chap. I, § IV, 3, on tire immédiatement la relation

COtX -h COt>/= COl/JL.

Désignons par a l'angle que fait le plan £ avec le plan normal commun aux cônes polaires, et appelons o l'angle sous lequel ce plan normal coupe les cônes orthogonaux, nous aurons

(cotA + cotX') cosa zir cotcp.

L'expression qui se trouve dans le premier membre de cette équation est donc une constante pour tous les couples de rayons correspondants. Les axes de courbure des deux cônes r et F pour la génératrice de contact forment un couple de

rayons correspondants, a et a! . Désignons par ^ et ^' les angles de ces axes avec x^ nous aurons

COtlL + COt-y m COlcp.

Dans les systèmes plans a et o-', à chaque cercle de l'un des systèmes qui touche la tangente aux courbes polaires au centre instantané de rotation, correspond un cercle analogue de l'autre système. Donc, à un cône orthogonal de l'une des gerbes qui touche le plan tangent aux cônes polaires le long de l'axe de rotalion, et tel que l'axe de rotation soit perpendiculaire à un plan de sections circulaires, correspond un cône orthogonal analogue dans l'autre gerbe. Cela nous donne une image nette de la distribution des rayons a et a' dans l'espace.

3. Appliquons les résultats précédents à quelques exemples. Le mouvement d'un corps autour d'un point fixe est déterminé aussitôt que l'on connaît à chaque instant la correspondance quadratique qui lie les deux gerbes S et S'.

Du Chapitre précédent nous concluons que pour cela la connaissance de deux couples de rayons correspondants est nécessaire et suffisante. Si nous obligeons deux rayons de l'une (les gerbes à parcourir deux surfaces coniques fixes, ou que, plus généralement, nous nous donnions deux couples de cônes K et K' dont l'un soit l'enveloppe de l'autre, les gerbes se déplaceront l'une par rapport à l'autre d'une façon bien déterminée.

k. Le mouvement de la gerbe S est déterminé par la condition que deux rayons a ç^ih restent dans deux plans fixes at! et (3'. Le plan mené par «, perpendiculairement à a', et le pian mené par h, perpendiculairement à |3', se coupent suivant l'axe instantané de rotation x. Comme a décrit le plan a'. Taxe de courbure a' est la droite perpendiculaire à a'; de même l'axe de courbure de h est la droite h' normale à (3'. On a déterminé ainsi deux couples de rayons correspondants des deux gerbes; par conséquent aussi leur correspondance quadratique, et celle des sections planes o- et ct'. Considérons le mouvement inverse. 11 est défini par la condition imposée ;i

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deux plans a' et (3' de la gerbe S' de tourner autour de deux rayons fixes a et ^ de S. En particulier, si l'angle de a' et (3' est droit (a' (3') engendrera un cône orthogonal dont les plans de sections circulaires sont perpendiculaires à a et à ^, car {cc'^') sera toujours la droite d'intersection de deux plans perpendiculaires l'un sur l'autre, qui tournent autour de deux droiles fixes a et b. De là résulte une construction simple du plan normal à un cône orthogonal. En effet, si c est une génératrice quelconque de ce cône, nous déterminerons les deux plans

{ca)=za' et {cb) — ^';

par a et b nous mènerons les plans normaux à a' et (3'. Ces plans se couperont suivant une droite a: par laquelle passe le plan normal au cône orthogonal pour le rayon c, c'est-;i-dire (jue [cjc] est le plan normal. Pour construire l'axe de courbure du cône orthogonal, nous transporterons à la gerbe de rayons la construclion indiquée au Chapitre précédent, § IV, 5. Désignons par (3 le plan [bb'], et par y le plan [cjc]. Construisons les plans [ab] et [a' b' \, et faisons passer un plan [hx] = f] par leur droite d'intersection hi et r. Maintenant, contruisons un plan x de telle façon que

déterminons le plan [ac], et par a/ et la droite suivant laquelle /. est coupé par [ac] menons un plan; celui-ci coupera y suivant l'axe de courbure c'.

5. Revenons au mouvement considéré en premier lieu. La surface conique enveloppe des plans [ab] est, dans le cas particulier où a et b sont à angle droit, le cône supplémentaire d'un cône orthogonal. Cela suit immédiatement de ce qu'on a vu dans ce Chapitre au § I, 4.

En effet, [ab] est le plan d'un angle droit qui se meut autour de son sommet de telle façon que l'un de ses côtés reste toujours dans le plan a', et l'autre dans le plan [3'.

Si donc A' est un cône quelconque dont le cône supplémentaire soit orthogonal et que £ soit un de ses plans tangents, on pourra construire comme il suit la génératrice de

conlacl : soient a! et j3' les plans qui sont perpendiculaires sur les lignes focales de A^^; déterminons les droites d'intersection (a's) = a et ((3'£)=: h\ menons par a un plan perpendiculaire à a'; par b un plan perpendiculaire à (3', et, par la droite d'intersection x de ces deux plans, menons un plan perpendiculaire à s, il coupera s suivant la génératrice de contact e.

On pourra aussi construire l'axe de courbure du cône A^ pour la génératrice e. Cela se fera de la même façon que pour le cône orthogonal. Car la droite a\ perpendiculaire à a', est encore le rayon correspondant à a, et de même è' perpendiculaire à (3' correspond à h. On doit considérer le plan s et le cône A- comme s'enveloppant l'un l'autre. Donc l'axe de courbure c' du cône est le rayon de S' qui correspond à la droite c perpendiculaire à s. On peut alors le construire comme on l'a déjà fait pour le cône orthogonal.

6. Supposons que la gerbe S se déplace de telle façon que le plan a passe toujours par un rayon a' de S', pendant qu'un rayon h de ce plan décrit le cône de révolution K'.

On sait immédiatement construire l'axe instantané de rotation. Il se trouve, d'un côté, dans le plan diamétral passant par 6, et comme, d'autre part, lors du mouvement inverse, a' reste toujours dans a, il est aussi dans un plan passant para' et normal à a.

De là il suit que le rayon correspondant à a' est le rayon a de S perpendiculaire à a. Le rayon correspondant à b est l'axe b' du cône de révolution. On a ainsi déterminé encore deux couples de rayons correspondants, et par suite la relation quadratique qui existe entre S et S'.

Dans le mouvement inverse, le rayon «' de S' parcourt le plan a, et le cône K' passe toujours par la droite b de la gerbe S. Mais comme, dans le mouvement direct, b décrit un cône de révolution dont b' est l'axe, dans le mouvement inverse b^ décrira un cône de révolution K dont l'axe est b. Le mouvement inverse peut donc aussi se définir en assujettissant le rayon a' à parcourir le plan a et le rayon b' à rester sur un cône de révolution.

En définissant le mouvement inverse de celte manière,

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nous reconnaissons facilement que le mouvement étudié plus haut n'est qu'un cas particulier de celui-ci. Car, si le cône de révolution dégénère en un plan, non seulement a' se déplacera dans un plan, mais b' en fera autant, c'est-à-dire que les deux rayons de S' se déplacent dans deux plans fixes de la

gerbe S.