IV. — Les cônes des inflexions

1. Nous avons montré que les cônes orthogonaux W et W jouent par rapport à la correspondance quadratique des deux gerbes S et S' le même rôle que les cercles des inflexions dans le plan; mais les cercles des inflexions ont une double signification cinématique. Ils forment en effet le lieu des points qui passent par un point d'inflexion de leur trajectoire, et cette propriété ne s'étend pas aux génératrices des cônes orthogonaux. Un rayon de S qui, à ce point de vue, sera analogue à un point du cercle des inflexions doit jouir de cette propriété que ses trois positions consécutives soient dans un même plan, c'est-à-dire que a et a' seront perpendiculaires l'un sur l'autre. Mais ceci n'a pas lieu, en général, pour les génératrices des cônes orthogonaux. Si, en effet, p est une génératrice du cône W, le plan déterminé par p et v' passe par l'axe de rotation x, et comme v' est dans le plan ^' normal à Xy v' ne peut être perpendiculaire qu'à œ. Il se pose maintenant ce problème : Existe-t-il des rayons de l'espèce considérée, et quel est le lieu de ces rayons?

2. Pour répondre à cette question, nous partirons encore de trois positions So, Si, Sachoisies arbitrairement pour la gerbe mobile S. Si s est un plan quelconque de Si, les faisceaux égaux de rayons situés dans So et e^ engendrent un cône de deuxième classe qui est celui que nous avons déjà considéré plus particulièrement au § I, k. De même, les faisceaux situés dans £1 et £2 engendreront un pareil cône. Les deux cônes n'auront en général que £1 comme plan tangent commun. Il existe donc encore trois plans tangents communs et différents l'un de l'autre; dans chacun d'eux se trouvent trois rayons correspondants «o, «1, a^. Le plan £ contient donc trois

7^ CHAI'irUE II.

rayons de l'espèce considérée, et l'ensemble de ces rayons l'orme un cône du troisième ordre Kli^. Sur ce cône se trouvent aussi les trois axes de rotation .ri,, 0-=,^^ œ^i, car, pour chacun d'eux, deux positions coïncident.

Les plans a perpendiculaires aux génératrices de KJ,2 jouissent de cette propriété que a^, «i, ac^ se coupent suivant une seule et même droite. Il existe donc une infinité de plans de cette espèce, et leur ensemble constitue un cône de la troisième classe ÂJ,, qui est le cône supplémentaire de KJi,.

Si ^12, l-20f loi sont les plans perpendiculaires sur œ^^, œ.^y .roi, ces plans seront tangents à kl^^. Le plan ^01 est le plan uni commun aux deux gerbes S» et Si. Si la gerbe S tourne autour de œ^i, ^01 subit un déplacement dans son plan en tournant autour du point 0. Ce plan renferme donc deux rayons doubles : ceux qui joignent 0 aux points circulaires de l'infini (Chap. I, § III, 5). Désignons-les par Îqi ety'oi. Avec œ^^ ils forment les trois rayons unis des deux gerbes en collinéation.

Comme Îqi ety'oi doivent être considérés comme immobiles lors de la rotation effectuée autour de .Toi, chacun d'eux jouit de la propriété d'être dans le même plan pour trois positions consécutives, c'est-à-dire que «oi ^^Joi sont des génératrices du cône K^j^. La même chose a lieu pour les rayons analogues des plans ^12 et ^20» c'est-à-dire que les six droites imaginaires «12, 712, hoy j\o, 4i» y'oi sont sur le cône K^^,2.

Nous avons donc le théorème suivant ;

Si Sq, Si, S2 sont trois positions arbitraires de la gerbe S, celle-ci contient une infinité de rayons pour lesquels a^y «1, a-i sont situés dans un même plan. Ces rayons forment un cône du troisième ordre K^i 2 (J^ii contient les trois axes de rotation ^ et six droites imaginaires : /12, 712, 4o> ./20J hi^j'oi- ^^ même il existe une infinité de plans on appartenant à la gerbe S, pour lesquels «o, «1,^2 se coupent suivant une même droite. Ces plans enveloppent un cône de troisième classe kl^^ qui est le cône supplémentaire du cône K^ig*

Les cônes analogues existent dans la gerbe S' pour le mouvement inverse. Nous les désignerons par KJ^g et kl\^.

MOUVEMExM d'l>' CORPS AUTOUR d'uN POINT FIXE. 78

La droite d'intersection des plans «o, aj, a-i est perpendiculaire au plan des droites a^, a^, a.2. Elle ne diffère donc pas (le la droite a' qui correspond à a dans la relation quadratique qui lie les deux gerbes.

Considérons maintenant le mouvement inverse. Comme on doit désigner par a' la droite d'intersection de «o, «i, a, considérée comme faisant partie de la gerbe S', nous pouvons dire que, pour les trois positions So, Sj, S,, le plan a passe toujours par a'. Dans le mouvement inverse, le rayon a' restera dans le plan a pour ses trois positions a'^, a\, a'^, c'està-dire que c'est un rayon du cône KJ^g- Donc la droite correspondant à une génératrice a du cône K^jg sera toujours sur le cône KJi,» c'est-à-dire que :

Les deux cônes K^j, et K^'12 se correspondent dans la relation quadratique qui lie les deux gerbes S et W .

Désignons par a' le plan des trois droites a^, «i, a^^ en tant ([ue plan de S'; le rayon a restera pour les trois positions Se, Si, S2 dans le même plan a' de S'. Dans le mouvement inverse, les plans aj,, a'j, a'^ se couperont suivant une même droite a de S. Donc a est un plan tangent au cône kl\^.

4. Rapprochons indéfiniment les trois positions So, Si, S2, les génératrices a du cône K^^ 2 jouiront de la propriété de passer par des génératrices d'inflexion de leurs cônes trajectoires, et les plans a de AJ^^ seront caractérisés par ce fait qu'ils touchent leurs cônes enveloppes suivant des génératrices de rebroussement.

D'où il suit que :

Si un corps se déplace autour d' un point fixe, il existe à chaque instant une infinité de rayons qui coïncident avec des génératrices d' inflexion de leurs cônes trajectoires. Ces droites sont sur un cône du troisième ordre ^L^qui touche le plan tangent commun aux cônes polaires, suivant l'axe instantané de rotation. Il existe un cône analogue K^' dans la gerbe S' pour le mouvement inverse (^), Le cône supplémentaire k^ du

( ' ) Schell déjà mentionne brièvement le cône IC' ( Théorie cler Bewegung und der Kràfte, t. I, p. 497 ).

cone K^ Jouit de cette propriété que ses plans tangents passent par des génératrices de rehroussement de leurs enveloppes. La même chose a lieu pour le cône supplémentaire fâ' du cône K^' dans le mouvement inverse.

On désignera les cônes K^ et K^' sous le nom de cônes des inflexions, et les cônes k^ et k^' seront les cônes de rehroussement. Toute droite de S, qui se meut dans un plan, est située sur K% et tout plan qui passe toujours par une même droite est tangent à A^^

Comme à tout rayon a de K^ correspond, dans la relation quadratique qui caractérise l'instant considéré du mouvement, un rayon a' de S', nous pourrons encore énoncer le théorème suivant :

Le cône des inflexions K^' est le lieu des axes de courbure des génératrices de K^; de même, lors du mouvement inverse, le cône des inflexions K'* sera le lieu des axes de courbure des rayons de K^'.

Les cônes K^ et k^' ont aussi une certaine relation géométrique. Nous venons de faire voir que tout plan tangent a' de k^' contient les trois droites a^, «j, a^. De même toute droite a' de K^' est la droite d'intersection de trois plans «o, a,, «2*

En passant à la limite :

Les plans du cône k^' sont les plans tangents d' Inflexion des génératrices de K^ ; et les rayons de K^' sont les génératrices de rebroussement des cônes enveloppes des plans de k^\ des propositions analogues ont lieu pour le mouvement inverse.

Pour deux rayons correspondants a et a' des deux cônes des inflexions, on a la relation (§ 111, 2)

(cot A -1- col A') cos a = cotcp.

Dans le cas présent, a et a' sont perpendiculaires l'un sur

l'autre.

Donc :

(cotX -h tangX) cos a = tang9

sin 2 X = 2 cos a tang 9.

MOUVEMENT d'UN CORPS AUTOUR d'uN POINT FIXE. 76

Celte équation détermine pour chaque plan passant par l'axe instantané de rotation les deux rayons qu'il a en commun avec le cône des inflexions.

5. Considérons maintenant quatre positions données à volonté So, Si, S2, S3 de la gerbe S. Le cône des inflexions qui correspond aux positions Sq, S,, S2 du système sera encore K5,2 6t le cône des inflexions qui correspond aux positions Sj, S2, S3 et qui, par conséquent, contient tous les rayons a de S pour lesquels «j, a^, a^ sont dans un même plan , sera désigné par K1.23. Les deux cônes se couperont, en général, suivant neuf génératrices a, et chacune d'elles est caractérisée par ce fait que a^, a^, a,, ainsi que a,, «2» <^3 sont dans un même plan. Les quatre positions «o? <^i> <^2j ^3 sont donc, pour chacune de ces génératrices, dans un môme plan. Mais le cône K^ia contient les axes de rotation ^12, ^20» -^oi et le cône KJgs les axes ^23» -^su ^n» Les deux cônes ont donc en commun l'axe œ^^. Cet axe est une droite pour laquelle la seconde et la troisième position, c'est-à-dire celles qui correspondent aux gerbes S^ et S2, se confondent; elle ne jouira donc pas, en général, de la propriété d'être dans le même plan pour quatre positions consécutives. La même chose a lieu pour les deux droites imaginaires ii2,/i2 qui sont sur les deux cônes des inflexions; mais la proposition dont il vient d'être question subsiste pour les six autres génératrices d'intersection. Il suit de là que :

Si l'on prend arbitrairement quatre positions Sq, Si, S2, S3 de la gerbe, il existe, en général, six rayons a pour lesquels <7o, a,, «2» ^3 sont contenus dans un seul et même plan.

De même, il existe six plans a de la gerbe S, ayant la propriété de passer par une même droite pour les quatre positions «0) «1» «2? oL-i, Ce sont les plans perpendiculaires aux six droites.

Si les positions des gerbes se rapprochent indéfiniment, nous obtiendrons des propositions analogues se rapportant au mouvement continu d'un corps autour d'un point fixe. Nous voyons qu'il existe à chaque instant dans le corps six rayons pour lesquels quatre positions consécutives sont dans le même plan. On pourra, par analogie avec ce qui a été

7^ CHAPITRK 11.

fait pour les trajectoires de points, les désigner par génératrices d'ondulation des surfaces coniques sur lesquelles elles se trouvent. Un quelconque des six plans, qui sont perpendiculaires sur ces rayons, jouit de la propriété de passer par une même droite pour quatre positions consécutives.

La même chose a lieu pour le mouvement inverse. Si, de plus, a' est l'un des six plans de S', ce sera un plan tangent à la surface trajectoire de l'un des six rayons, et, de même, chacun des six rayons a' est une des droites par lesquelles passe l'un des six plans dans ses quatre positions consécutives.

6. Chaque génératrice œ du cône polaire F passe par une génératrice de rebroussement de son cône trajectoire au moment oii elle devient axe instantané de rotation, et, en général, il n'y aura que les génératrices de la gerbe S, appartenant au cône polaire, qui jouiront de la propriété de décrire des surfaces trajectoires ayant des génératrices de rebroussement.

De même, il est visible que le plan \ perpendiculaire à x, dans le moment oii x est axe instantané de rotation, se trouve être un plan tangent d'inflexion du cône qu'il enveloppe, et, en général, en dehors des plans tangents au cône supplémentaire de r, il n'existe pas d'autre plan enveloppant une surface conique qui possède un plan tangent d'inflexion. Ici nous pourrions répéter le raisonnement fait au Chapitre précédent (§ V, 6) pour le mouvement plan.

Il nous suffira de transporter à la géométrie de la gerbe les résultats acquis. Appelons donc ^ et ^' les angles que les axes de courbure instantanés des cônes polaires forment avec l'axe de rotation, il s'ensuivra immédiatement que :

Si, à un instant quelconque, les axes de courbure des cônes polaires sont du même côté du plan tangent commun, et que la différence ( ip — ^') change en même temps de signe, tout rayon des deux gerbes est une génératrice de rebroussement de sa surface trajectoire, et chaque plan des deux gerbes est un plan tangent d' inflexion de la surface conifjue quil enveloppe.

MOUVEME>T d'un CORPS AUTOUR d'uN POLNT FIXE. 77

Enfin, nous pourrons encore énoncer le théorème suivant :

L'enveloppe de tous les cônes cV inflexion de la gerbe S se compose de deux parties dont la signification géométrique est bien distincte. L'une de ces parties est le cône polaire F, dont les rayons jouissent de la propriété de décrire des surfaces coniques à génératrices de rebroussement. Vautre est le lieu des rayons de la gerbe dont les surfaces trajectoires ont des gén ératrices d'on du la tio n .

Les théorèmes correspondants s'appliquent à l'enveloppe de tous les cônes de rebroussement.