V. — Les cônes des axes de courbure stationnaires

1. Soient encore So, Si, S2, S3 quatre positions arbitraires de la gerbe S. Soient «"% a"\ <2^" les bissectrices des angles (ao<2i), (<2j«2)> («i<^3)j et aj, a(, ai\ les plans normaux correspondants.

Si £ est un plan quelconque de S, les droites d'intersection des plans a'^, oC[ qui correspondent aux rayons a de s sont sur un cône du second ordre qui contient aussi les axes de rotation x\^y jt'^o, x\q. De même, les droites d'intersection des plans normaux aj, a.\ forment un cône du second ordre qui renferme x'^^^ x'.^^, x\.^. Les deux cônes ont en commun Taxe <Zj2. En général, ils se couperont donc encore suivant trois autres génératrices par chacune desquelles passent trois plans a^ ol' r/y

Le plan s renferme donc trois rayons a, tels que leurs plans normaux passent par une seule et même droite. L'ensemble de ces droites forme donc un cône du troisième ordre. On désignera cette surface par ÏIJ123, ou plus brièvement par H03. Pour chacun des rayons a de cette surface, a^^a^^a-^^a-^ sont sur un même cône de révolution.

Les mêmes conclusions subsistent quant au mouvement de la gerbe S' dans S. Le mouvement inverse comporte donc une surface conique HJ',23 ou HJ3, telle que, pour une quelconque de ses génératrices b' les trois plans normaux 3^» (3\'', jS'j passent par une seule et même droite, c'est-à-dire telle que ^é, b\^ b'.,, b'.^ soient sur un même cône de révolution.

La surface conique IIJ3 n'est autre chose que la surface formée par les axes de courbure des génératrices a de HJ3. En effet, on peut faire voir que l'axe de courbure a' de tout rayon a est sur HJg. Cela résulte, d'une part, du théorème donné au § I, 7 de ce Chapitre; d'autre part on peut le voir directement de la manière suivante : comme les droites «0, <^ij ^2> «3 sont sur un cône de révolution, l'axe de révolution de ce cône est la droite d'intersection de trois plans normaux aj, a(, a\. Cet axe est relié à a par la condition de former avec «0, <^i, City ctz des angles égaux. Cette propriété a lieu, que nous considérions le mouvement de S ou celui de S'.

Donc a'o, <2^, a'^, a'^ font avec a des angles égaux entre eux, c'est-à-dire que a est l'intersection des plans normaux a^', aX, a'^. Donc a' est sur H^^. De plus, dans le mouvement inverse, a est l'axe de courbure de la surface décrite par a' .

2. Les deux cônes HJg et H^g sont donc des surfaces correspondantes des gerbes S et S' qui sont liées par une relation quadratique. Chacun de ces cônes contient les génératrices principales de sa gerbe, c'est-à-dire les axes de rotation, car, pour chacun d'eux, deux des quatre positions considérées se confondent. Donc, les axes de rotation ^ria, ^2o> -^-oi sont sur HJ., et les axes du mouvement inverse -^i a» -^'20' ^'01 sont sur HJ3. Nous avions défini les génératrices a de H^g au moyen des trois faisceaux de plans normaux a^, a\, ai. Il esl évident que, pour chacune de ces génératrices, les plans qui correspondent aux angles (aoa^), (a^a^), {a^a^) passent par l'axe a' du cône de révolution envisagé. Ces cônes se comportent absolument de la même façon vis-à-vis des quatre positions So, Si, S2, S3, et trois quelconques des six groupes

peuvent être employés à leur génération. Donc, H^j contient les six axes de rotation ^oi> •3^02? ^^qz^ ^m ^m ■^23» Gt, de même, 11 0 3 lenierme oc^ i,>2?q25'^03''^i2'"^i3'*^23' Nous arrivons par suite au résultat suivant :

Si So, Si, S2, S3 sont quatre positions de la gerbe S, choisies à volonté, il existe dans cette gerbe une surface conique du

MOUVEMENT d'uN CORPS AUTOUR Dl^ POINT FIXE. 79

troisième ordre HJ3 dont les génératrices a sont telles que ÛQ, «1, <22> <^3 sont les génératrices d'un même cône de révolution. Cette surface de révolution renferme les six axes de rotation qui correspondent à deux quelconques des quatre gerbes Sq, Sj, S,, S3. Les axes de révolution forment une surface conique \\\'^, située dans S', et qui passe par les six axes du mouvement inverse. Lors de l'inversion du mouvement, les deux cônes échangent leur signification.

Sur ces surfaces coniques se trouvent aussi (§IV ) les six génératrices communes à deux cônes des inflexions successifs.

3. Si les positions des gerbes se rapprochent indéfiniment, les surfaces coniques décrites par le rayon a jouissent de la propriété d'avoir des axes de courbure stationnaires. Tout point du rayon a décrit donc une courbe qui a un contact du troisième ordre avec son cercle osculateur. On démontrera comme au § V, 5 du Chapitre I que chacune des deux surfaces coniques possède une génératrice double qui est l'axe instantané.

Donnons cette fois Ténoncé du théorème en considérant, non pas le rayon a lui-même, mais ses différents points, MOUS aurons la proposition suivante :

Si un corps invariable se meut autour d'un point fixe, il existe dans ce corps, et à chaque instant; une surf ace conique du troisième ordre tP, dont tous les points sont caractérisés par ce fait que leurs trajectoires ont un contact du troisième ordre avec leur cercle osculateur. Les axes de courbure de ces trajectoires forment une surface conique H^' située dans S'. I^ors de l'inversion du mouvement, les deux surfaces coniques échangent leur signification. Chacune des deux surfaces contient l'axe instantané et touche suivant cette droite le cône polaire de son système.

k. Soient enfin Sq, Si, S2, S3, S4 cinq positions de la gerbe S choisies à volonté. Aux quatre positions Si, S,, S3, S4 correspond un cône HJ^ qui est le lieu géométrique des droites pour lesquelles «i, «,, «3, «4 sont sur un cône de révolution. Les cônes 11^3 et H?^ renferment tous les deux les axes de rota-

8o CHAPITRE II.

tion ^23>-*^'3i) •3^12- l's se couperont donc encore, en général, suivant six autres génératrices, et, pour chacune d'elles, «0, ^ij cLiy «3»<^4 sont les génératrices d'un même cône de révolution. Cela n'aura pas lieu, en général, pour les axes ^23? -^ai» ^^12. Donc :

Si l'on prend arbitrairement cinq positions de la gerbe S, cette gerbe renfermera, en général, six rayons a tels que «o> «1, «2) ^3> <^4 soient sur un cône de révolution. Les axes de ces cônes sont les rayons analogues dans le mouvement inverse.

De même, lorsqu'un solide invariable tourne d'une manière quelconque autour d'un point fixe, il y aura, en général, six droites telles que leurs points aient un contact du cinquième ordre avec leurs cercles de courbure. Les axes de courbure sont les rayons analogues de S' lors du mouvement inverse.

5. Les recherches faites dans ce paragraphe peuvent être étendues aux surfaces coniques enveloppées par les plans de la gerbe.

Si, par exemple, a est un rayon de IIJ3, le plan perpendiculaire à a' est tel que ao, «i, a,, ^3 sont des plans tangents d'un seul et même cône de révolution. H existe donc un cône h\.^ de troisième classe, cône supplémentaire de HJ3 qui est le lieu géométrique des plans a de la gerbe S. Nous pourrons donc tirer de chacun des théorèmes démontrés plus haut un nouveau théorème, si nous retendons aux gerbes polaires des gerbes de rayons S et S'.

On voit donc encore ici que, dans le mouvement d'une gerbe, les rayons et les plans sont soumis à des lois semblables. Nous aurions ainsi pu présenter les considérations faite dans ce Chapitre d'une manière complètement dualistique, en considérant toujours les cônes supplémentaires liés aux gerbes S et S'. Les plans des deux systèmes polaires sont alors également en relation quadratique, et cela de telle façon que deux plans seront correspondants s'ils sont perpendiculaires sur deux rayons correspondants a et a' . Si l'on ne considère les deux systèmes polaires que comme des gerbes de plans, il existera pour eux aussi deux surfaces coniques y et y', supplémentaires de F et F, dont le mouvement relatif détermine le déplacement du système invariable, etc.

MOUVEMENT d'uN CORPS AUTOUR d'uN POINT FIXE. 8l

Lors du mouvement d'un solide invariable autour d'un point fixe, il existe donc une dualité complète entre les cônes décrits par les rayons, et ceux qu'enveloppent les plans du système. Cela n'avait pas lieu pour le mouvement d'un système plan dans son plan. Tandis que, par exemple, le cercle des inflexions, lieu des points pour lesquels trois positions Aq, Al, A2 sont en ligne droite, est une courbe du second ordre, les droites g, pour lesquelles g^, g^ g^ passent par un même point, forment un faisceau du piemier ordre.

La raison de cette différence réside, comme on le sait, dans la manière différente de déterminer la ponctuelle et le faisceau de rayons. Pour le faisceau de plans, au contraire, le mode de détermination est le même que pour le faisceau de rayons, et c'est à cela qu'il faut ramener la dualité qui se présente dans le déplacement d'un système invariable autour d'un point fixe.